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1. 若二次函数$y = x^{2} - 2x + c$的图象的顶点在$x$轴上，则$c$等于().
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
1. 首先将二次函数$y = x^{2}-2x + c$化为顶点式：
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h =-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = x^{2}-2x + c$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c=c$。
先求$h$：$h=-\frac{-2}{2×1}=1$。
再求$k$：$k=\frac{4×1× c-(-2)^{2}}{4×1}$。
因为顶点$(h,k)$在$x$轴上，所以$k = 0$。
2. 然后求解$c$的值：
由$k=\frac{4c - 4}{4}=0$。
方程$\frac{4c - 4}{4}=0$，两边同时乘以$4$得：$4c-4 = 0$。
移项可得$4c=4$。
两边同时除以$4$，解得$c = 1$。
所以答案是B。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h =-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = x^{2}-2x + c$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c=c$。
先求$h$：$h=-\frac{-2}{2×1}=1$。
再求$k$：$k=\frac{4×1× c-(-2)^{2}}{4×1}$。
因为顶点$(h,k)$在$x$轴上，所以$k = 0$。
2. 然后求解$c$的值：
由$k=\frac{4c - 4}{4}=0$。
方程$\frac{4c - 4}{4}=0$，两边同时乘以$4$得：$4c-4 = 0$。
移项可得$4c=4$。
两边同时除以$4$，解得$c = 1$。
所以答案是B。
2. 关于二次函数$y = 2x^{2} + 4x - 1$，下列说法中正确的是().
A.该函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B.该函数图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.该函数的最小值为$-3$
A.该函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B.该函数图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.该函数的最小值为$-3$
答案
1. 首先将二次函数$y = 2x^{2}+4x - 1$化为顶点式：
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = 2x^{2}+4x - 1$，$a = 2$，$b = 4$，$c=-1$。
先求对称轴$x=h=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×2}=-1$。
再求$y$轴交点，令$x = 0$，则$y=2×0^{2}+4×0 - 1=-1$，所以函数图象与$y$轴交点坐标为$(0,-1)$，A选项错误。
因为对称轴$x=-1\lt0$，所以对称轴在$y$轴左侧，B选项错误。
对于二次函数$y = 2x^{2}+4x - 1$，$a = 2\gt0$，开口向上，对称轴$x=-1$。
根据二次函数单调性，当$x\lt - 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$-1\lt x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大，C选项错误。
求函数最小值$y = k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，把$a = 2$，$b = 4$，$c=-1$代入：
$y=\frac{4×2×(-1)-4^{2}}{4×2}=\frac{-8 - 16}{8}=\frac{-24}{8}=-3$，D选项正确。
所以答案是D。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = 2x^{2}+4x - 1$，$a = 2$，$b = 4$，$c=-1$。
先求对称轴$x=h=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×2}=-1$。
再求$y$轴交点，令$x = 0$，则$y=2×0^{2}+4×0 - 1=-1$，所以函数图象与$y$轴交点坐标为$(0,-1)$，A选项错误。
因为对称轴$x=-1\lt0$，所以对称轴在$y$轴左侧，B选项错误。
对于二次函数$y = 2x^{2}+4x - 1$，$a = 2\gt0$，开口向上，对称轴$x=-1$。
根据二次函数单调性，当$x\lt - 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$-1\lt x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大，C选项错误。
求函数最小值$y = k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，把$a = 2$，$b = 4$，$c=-1$代入：
$y=\frac{4×2×(-1)-4^{2}}{4×2}=\frac{-8 - 16}{8}=\frac{-24}{8}=-3$，D选项正确。
所以答案是D。
3. 二次函数$y = (x - 1)(x + 2)$的图象的顶点为，对称轴为.
答案
1. 首先将二次函数$y=(x - 1)(x + 2)$化为一般式：
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，则$y=(x - 1)(x + 2)=x^{2}+2x - x - 2=x^{2}+x - 2$。
2. 然后求对称轴：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^{2}+x - 2$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-2$，所以对称轴$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$。
3. 最后求顶点坐标：
把$x =-\frac{1}{2}$代入$y=x^{2}+x - 2$中，$y=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)-2$。
先计算$\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$，则$y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2$。
通分$\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{8}{4}=\frac{1 - 2 - 8}{4}=-\frac{9}{4}$。
所以顶点为$\left(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$，对称轴为$x =-\frac{1}{2}$。
故答案依次为：$\left(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$；$x =-\frac{1}{2}$。
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，则$y=(x - 1)(x + 2)=x^{2}+2x - x - 2=x^{2}+x - 2$。
2. 然后求对称轴：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^{2}+x - 2$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-2$，所以对称轴$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$。
3. 最后求顶点坐标：
把$x =-\frac{1}{2}$代入$y=x^{2}+x - 2$中，$y=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)-2$。
先计算$\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$，则$y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2$。
通分$\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{8}{4}=\frac{1 - 2 - 8}{4}=-\frac{9}{4}$。
所以顶点为$\left(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$，对称轴为$x =-\frac{1}{2}$。
故答案依次为：$\left(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4}\right)$；$x =-\frac{1}{2}$。
4. 二次函数$y = ax^{2} + bx + a^{2} - 9$的顶点坐标为$(0,0)$，且开口向上，则$a + b$的值为.
答案
1. 首先，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（本题$c=a^{2}-9$），其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$：
已知顶点坐标为$(0,0)$，则$-\frac{b}{2a}=0$，$\frac{4a(a^{2}-9)-b^{2}}{4a}=0$。
由$-\frac{b}{2a}=0$（$a\neq0$，因为二次函数$y = ax^{2}+bx + a^{2}-9$是二次函数，所以$a\neq0$），可得$b = 0$。
把$b = 0$代入$\frac{4a(a^{2}-9)-b^{2}}{4a}=0$中，得到$\frac{4a(a^{2}-9)-0}{4a}=0$（$a\neq0$，分子分母同时约去$4a$），则$a^{2}-9 = 0$。
2. 然后，解$a^{2}-9 = 0$：
根据平方差公式$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，这里$x = a$，$y = 3$，则$a^{2}-9=(a + 3)(a - 3)=0$。
所以$a+3 = 0$或$a - 3 = 0$，解得$a=-3$或$a = 3$。
又因为二次函数开口向上，二次函数$y = ax^{2}+bx + a^{2}-9$中，二次项系数$a\gt0$，所以$a = 3$。
3. 最后，求$a + b$的值：
把$a = 3$，$b = 0$代入$a + b$，可得$a + b=3+0=3$。
故$a + b$的值为$3$。
已知顶点坐标为$(0,0)$，则$-\frac{b}{2a}=0$，$\frac{4a(a^{2}-9)-b^{2}}{4a}=0$。
由$-\frac{b}{2a}=0$（$a\neq0$，因为二次函数$y = ax^{2}+bx + a^{2}-9$是二次函数，所以$a\neq0$），可得$b = 0$。
把$b = 0$代入$\frac{4a(a^{2}-9)-b^{2}}{4a}=0$中，得到$\frac{4a(a^{2}-9)-0}{4a}=0$（$a\neq0$，分子分母同时约去$4a$），则$a^{2}-9 = 0$。
2. 然后，解$a^{2}-9 = 0$：
根据平方差公式$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，这里$x = a$，$y = 3$，则$a^{2}-9=(a + 3)(a - 3)=0$。
所以$a+3 = 0$或$a - 3 = 0$，解得$a=-3$或$a = 3$。
又因为二次函数开口向上，二次函数$y = ax^{2}+bx + a^{2}-9$中，二次项系数$a\gt0$，所以$a = 3$。
3. 最后，求$a + b$的值：
把$a = 3$，$b = 0$代入$a + b$，可得$a + b=3+0=3$。
故$a + b$的值为$3$。
5. 将抛物线$y = 2x^{2} - 8x + 1$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度，得到的抛物线是.
答案
1. 首先，将抛物线$y = 2x^{2}-8x + 1$化为顶点式：
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = 2x^{2}-8x + 1$，$a = 2$，$b=-8$，$c = 1$。
先求$h$：$h=-\frac{-8}{2×2}=2$。
再求$k$：$k=\frac{4×2×1-(-8)^{2}}{4×2}=\frac{8 - 64}{8}=\frac{-56}{8}=-7$。
所以$y = 2x^{2}-8x + 1$的顶点式为$y=2(x - 2)^{2}-7$。
2. 然后，根据平移规律：
抛物线平移规律是“左加右减，上加下减”。
向左平移$1$个单位长度，即将$x$变为$x + 1$，得到$y=2(x - 2+1)^{2}-7=2(x - 1)^{2}-7$。
再向上平移$3$个单位长度，即将$y$的值加上$3$，得到$y=2(x - 1)^{2}-7 + 3$。
展开$y=2(x - 1)^{2}-4$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1$，则$y=2(x^{2}-2x + 1)-4$。
去括号得$y=2x^{2}-4x+2 - 4$。
所以得到的抛物线是$y = 2x^{2}-4x - 2$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y = 2x^{2}-8x + 1$，$a = 2$，$b=-8$，$c = 1$。
先求$h$：$h=-\frac{-8}{2×2}=2$。
再求$k$：$k=\frac{4×2×1-(-8)^{2}}{4×2}=\frac{8 - 64}{8}=\frac{-56}{8}=-7$。
所以$y = 2x^{2}-8x + 1$的顶点式为$y=2(x - 2)^{2}-7$。
2. 然后，根据平移规律：
抛物线平移规律是“左加右减，上加下减”。
向左平移$1$个单位长度，即将$x$变为$x + 1$，得到$y=2(x - 2+1)^{2}-7=2(x - 1)^{2}-7$。
再向上平移$3$个单位长度，即将$y$的值加上$3$，得到$y=2(x - 1)^{2}-7 + 3$。
展开$y=2(x - 1)^{2}-4$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1$，则$y=2(x^{2}-2x + 1)-4$。
去括号得$y=2x^{2}-4x+2 - 4$。
所以得到的抛物线是$y = 2x^{2}-4x - 2$。
6. 一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度$h$(单位：m)与时间$t$(单位：s)之间的关系可以用函数$h = -5t^{2} + 150t + 10$表示. 经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
答案
解：对于二次函数$h = -5t^{2} + 150t + 10$，其中$a=-5$，$b = 150$。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，可得$t = -\frac{150}{2×(-5)} = 15$（s）。
将$t = 15$代入函数$h = -5t^{2} + 150t + 10$中，$h=-5×15^{2}+150×15 + 10=-5×225+2250 + 10=-1125+2250 + 10 = 1135$（m）。
所以经过$15s$火箭到达最高点，最高点高度是$1135m$。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，可得$t = -\frac{150}{2×(-5)} = 15$（s）。
将$t = 15$代入函数$h = -5t^{2} + 150t + 10$中，$h=-5×15^{2}+150×15 + 10=-5×225+2250 + 10=-1125+2250 + 10 = 1135$（m）。
所以经过$15s$火箭到达最高点，最高点高度是$1135m$。
7. 在给出的平面直角坐标系中画出函数$y = -\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{3}{2}$的图象，并求：
(1)该函数的顶点与对称轴.
(2)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(3)当$x$取何值时，函数有最大值或最小值？其最值是多少？
(4)当$x$取何值时，①$y ＞ 0$？②$y ＜ 0$？③$y = 0$？
(1)该函数的顶点与对称轴.
(2)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(3)当$x$取何值时，函数有最大值或最小值？其最值是多少？
(4)当$x$取何值时，①$y ＞ 0$？②$y ＜ 0$？③$y = 0$？
答案
1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
在函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}$中，$a = -\frac{1}{2}$，$b = 1$，$c=\frac{3}{2}$。
对称轴：$x = -\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})}=1$。
把$x = 1$代入函数得$y=-\frac{1}{2}×1^{2}+1+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=2$。
所以顶点坐标为$(1,2)$，对称轴为直线$x = 1$。
2. （2）
因为$a = -\frac{1}{2}\lt0$，二次函数图象开口向下。
所以当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而增大。
3. （3）
由于$a = -\frac{1}{2}\lt0$，函数图象开口向下。
所以当$x = 1$时，函数有最大值，最大值为$y = 2$。
4. （4）
令$y = 0$，即$-\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}=0$。
方程两边同时乘以$-2$得$x^{2}-2x - 3 = 0$。
分解因式得$(x - 3)(x + 1)=0$。
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
①当$-1\lt x\lt3$时，$y\gt0$；
②当$x\lt - 1$或$x\gt3$时，$y\lt0$；
③当$x=-1$或$x = 3$时，$y = 0$。
综上，（1）顶点坐标$(1,2)$，对称轴直线$x = 1$；（2）$x\gt1$时$y$随$x$增大而减小，$x\lt1$时$y$随$x$增大而增大；（3）$x = 1$时函数有最大值$2$；（4）①$-1\lt x\lt3$；②$x\lt - 1$或$x\gt3$；③$x=-1$或$x = 3$。
