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1 [2025 福建]如图，为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地.设矩形菜地的一边长为x米，根据题意可列方程为 （
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察图形可知，矩形菜地的两条边分别倚靠直角围墙，因此总长5米的篱笆仅需围矩形相邻的两条边。已知其中一条边长为x米，可先表示出另一条边的长度，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，且菜地面积为6平方米，即可列出对应方程。
【解析】
解：由题意得，矩形相邻的两条边由篱笆围成，篱笆总长为5米，若其中一条边长为x米，则另一条边长为$(5-x)$米。
已知矩形菜地面积为6平方米，根据矩形面积公式可列方程：
$x(5-x)=6$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景命题，解题关键是结合图形特点，明确篱笆仅需围矩形的两条邻边，正确表示出两条边长后代入面积公式即可列出方程，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，矩形菜地的两条边分别倚靠直角围墙，因此总长5米的篱笆仅需围矩形相邻的两条边。已知其中一条边长为x米，可先表示出另一条边的长度，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，且菜地面积为6平方米，即可列出对应方程。
【解析】
解：由题意得，矩形相邻的两条边由篱笆围成，篱笆总长为5米，若其中一条边长为x米，则另一条边长为$(5-x)$米。
已知矩形菜地面积为6平方米，根据矩形面积公式可列方程：
$x(5-x)=6$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景命题，解题关键是结合图形特点，明确篱笆仅需围矩形的两条邻边，正确表示出两条边长后代入面积公式即可列出方程，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
2 一根长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为160 cm²，则这两个正方形的边长分别为
4 cm,12 cm
.答案
2. 4 cm,12 cm
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是通过铁丝总长度推导两个正方形边长的数量关系，再结合面积和条件列方程求解。第一步，设其中一个正方形的边长为未知数，利用正方形周长公式表示出另一段铁丝的长度，进而得到第二个正方形的边长；第二步，根据正方形面积公式，结合两个正方形面积和为160cm²的条件列出一元二次方程；第三步，解方程后结合边长为正数的实际意义筛选有效结果。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{cm} $。
因为铁丝总长为64cm，所以另一段铁丝的长度为$ (64-4x) \, \mathrm{cm} $，即另一个正方形的周长为$ (64-4x) \, \mathrm{cm} $，因此第二个正方形的边长为$ \frac{64-4x}{4}=(16-x) \, \mathrm{cm} $。
根据两个正方形的面积和为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$x^2 + (16-x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160$
$2x^2 -32x +96 = 0$
化简得：
$x^2 -16x +48 = 0$
因式分解得：
$(x-4)(x-12)=0$
解得$ x_1=4 $，$ x_2=12 $。
当$ x=4 $时，另一个正方形边长为$ 16-4=12 \, \mathrm{cm} $；当$ x=12 $时，另一个正方形边长为$ 16-12=4 \, \mathrm{cm} $，均符合边长为正的实际意义。
【答案】
4 cm,12 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何图形结合的基础应用题，解题关键是抓住周长、面积两个等量关系列方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心思路是通过铁丝总长度推导两个正方形边长的数量关系，再结合面积和条件列方程求解。第一步，设其中一个正方形的边长为未知数，利用正方形周长公式表示出另一段铁丝的长度，进而得到第二个正方形的边长；第二步，根据正方形面积公式，结合两个正方形面积和为160cm²的条件列出一元二次方程；第三步，解方程后结合边长为正数的实际意义筛选有效结果。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{cm} $。
因为铁丝总长为64cm，所以另一段铁丝的长度为$ (64-4x) \, \mathrm{cm} $，即另一个正方形的周长为$ (64-4x) \, \mathrm{cm} $，因此第二个正方形的边长为$ \frac{64-4x}{4}=(16-x) \, \mathrm{cm} $。
根据两个正方形的面积和为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$x^2 + (16-x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160$
$2x^2 -32x +96 = 0$
化简得：
$x^2 -16x +48 = 0$
因式分解得：
$(x-4)(x-12)=0$
解得$ x_1=4 $，$ x_2=12 $。
当$ x=4 $时，另一个正方形边长为$ 16-4=12 \, \mathrm{cm} $；当$ x=12 $时，另一个正方形边长为$ 16-12=4 \, \mathrm{cm} $，均符合边长为正的实际意义。
【答案】
4 cm,12 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何图形结合的基础应用题，解题关键是抓住周长、面积两个等量关系列方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
3 如图，小明同学用长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm²的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折起即可（损耗不计）。设剪去的正方形的边长为x cm，则可列出关于x的方程为
(11−2x)(7−2x)=21
（不必化简）。答案
3. (11−2x)(7−2x)=21
解析
【分析】
解题时先明确剪去正方形后折成的无盖长方体底面的长、宽与原矩形边长的关系：原矩形长11cm，左右各剪去1个边长为x的正方形，因此底面长为(11-2x)cm；原矩形宽7cm，上下各剪去1个边长为x的正方形，因此底面宽为(7-2x)cm。再结合矩形面积=长×宽，已知底面积为21cm²，代入即可列出方程。
【解析】
设剪去的正方形的边长为x cm，
则折成的无盖长方体纸盒的底面长为(11-2x)cm，底面宽为(7-2x)cm，
根据矩形面积公式，底面积=长×宽，已知底面积为21 cm²，
因此可列方程：(11−2x)(7−2x)=21。
【答案】
(11−2x)(7−2x)=21
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形剪折问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是准确推导剪折后长方体底面的长和宽的表达式，再结合面积公式列式即可，解题时注意不要漏算减去的2个x的长度。
【难度系数】
0.8
解题时先明确剪去正方形后折成的无盖长方体底面的长、宽与原矩形边长的关系：原矩形长11cm，左右各剪去1个边长为x的正方形，因此底面长为(11-2x)cm；原矩形宽7cm，上下各剪去1个边长为x的正方形，因此底面宽为(7-2x)cm。再结合矩形面积=长×宽，已知底面积为21cm²，代入即可列出方程。
【解析】
设剪去的正方形的边长为x cm，
则折成的无盖长方体纸盒的底面长为(11-2x)cm，底面宽为(7-2x)cm，
根据矩形面积公式，底面积=长×宽，已知底面积为21 cm²，
因此可列方程：(11−2x)(7−2x)=21。
【答案】
(11−2x)(7−2x)=21
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形剪折问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是准确推导剪折后长方体底面的长和宽的表达式，再结合面积公式列式即可，解题时注意不要漏算减去的2个x的长度。
【难度系数】
0.8
4 [2025苏州工业园区段考改编]如图，小明打算用总长度为51 m的栅栏围成一个矩形花园ABCD，中间用一道与AD平行的栅栏将花园分成两个大小相同的小矩形花园，花园的一面靠墙，墙长MN=25 m.设AD的长为x m.
（1）若矩形花园ABCD的面积为210 m²，求AD的长.
（2）矩形花园ABCD的面积是否有可能达到240 m²？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由.
（1）若矩形花园ABCD的面积为210 m²，求AD的长.
（2）矩形花园ABCD的面积是否有可能达到240 m²？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由.
答案
4.（1）由题意,知3AD+DC=51 m,
∵ AD的长为x m,
∴ DC的长为(51−3x)m.由题意,知DC≤25 m,即51−3x≤25,解得$x≥\frac{26}{3}$.又
∵ 3x＜51,即x＜17,
∴ $\frac{26}{3}≤x＜17$.由题意,知AD·DC=210 m²,即x(51−3x)=210,整理,得x²−17x+70=0,解得x₁=7(不合题意,舍去),x₂=10,
∴ AD的长为10 m （2）不可能 理由:令x(51−3x)=240,整理,得x²−17x+80=0.
∵ Δ=17²−4×1×80=−31＜0,
∴ 该方程没有实数根.
∴ 矩形花园ABCD的面积不可能达到240 m².
∵ AD的长为x m,
∴ DC的长为(51−3x)m.由题意,知DC≤25 m,即51−3x≤25,解得$x≥\frac{26}{3}$.又
∵ 3x＜51,即x＜17,
∴ $\frac{26}{3}≤x＜17$.由题意,知AD·DC=210 m²,即x(51−3x)=210,整理,得x²−17x+70=0,解得x₁=7(不合题意,舍去),x₂=10,
∴ AD的长为10 m （2）不可能 理由:令x(51−3x)=240,整理,得x²−17x+80=0.
∵ Δ=17²−4×1×80=−31＜0,
∴ 该方程没有实数根.
∴ 矩形花园ABCD的面积不可能达到240 m².
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积问题中的实际应用，解题思路如下：①先根据栅栏总长度的等量关系：3倍AD的长度+DC的长度=51m，用含x的代数式表示DC的长度；②结合墙长限制（DC≤25m）和DC长度为正的实际要求，求出x的取值范围，这是后续检验解是否符合实际的关键；③第（1）问根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后对照x的取值范围舍去不符合实际的根，得到AD的长度；④第（2）问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，从而确定面积能否达到240m²。
【解析】
（1）由题意可知，栅栏总长度满足：$3AD + DC = 51\ \mathrm{m}$，
∵ AD的长为$x\ \mathrm{m}$，
∴ DC的长为$(51 - 3x)\ \mathrm{m}$。
结合实际限制：$DC≤$墙长$MN=25\ \mathrm{m}$，且$DC＞0$，
即$\begin{cases}51-3x≤25 \\51-3x＞0 \end{cases}$，解得$\frac{26}{3}≤ x＜17$。
已知矩形ABCD面积为$210\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式得：
$x(51-3x)=210$，
整理得$x^2 -17x +70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
∵ $7＜\frac{26}{3}$，不符合x的取值范围，故舍去，
∴ $x=10$，即AD的长为$10\ \mathrm{m}$。
（2）不可能，理由如下：
假设矩形面积能达到$240\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(51-3x)=240$，
整理得$x^2 -17x +80=0$，
计算根的判别式：$\Delta = 17^2 -4×1×80=289-320=-31＜0$，
∴ 该一元二次方程没有实数根，
因此矩形花园ABCD的面积不可能达到$240\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）AD的长为$10\ \mathrm{m}$；
（2）不可能。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，实际问题取值范围
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题时需注意实际问题中未知数的取值范围，避免求得的解不符合实际要求，同时要掌握利用根的判别式判断方程解的情况的方法，是方程与实际问题结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程在矩形面积问题中的实际应用，解题思路如下：①先根据栅栏总长度的等量关系：3倍AD的长度+DC的长度=51m，用含x的代数式表示DC的长度；②结合墙长限制（DC≤25m）和DC长度为正的实际要求，求出x的取值范围，这是后续检验解是否符合实际的关键；③第（1）问根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后对照x的取值范围舍去不符合实际的根，得到AD的长度；④第（2）问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，从而确定面积能否达到240m²。
【解析】
（1）由题意可知，栅栏总长度满足：$3AD + DC = 51\ \mathrm{m}$，
∵ AD的长为$x\ \mathrm{m}$，
∴ DC的长为$(51 - 3x)\ \mathrm{m}$。
结合实际限制：$DC≤$墙长$MN=25\ \mathrm{m}$，且$DC＞0$，
即$\begin{cases}51-3x≤25 \\51-3x＞0 \end{cases}$，解得$\frac{26}{3}≤ x＜17$。
已知矩形ABCD面积为$210\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式得：
$x(51-3x)=210$，
整理得$x^2 -17x +70=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
∵ $7＜\frac{26}{3}$，不符合x的取值范围，故舍去，
∴ $x=10$，即AD的长为$10\ \mathrm{m}$。
（2）不可能，理由如下：
假设矩形面积能达到$240\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(51-3x)=240$，
整理得$x^2 -17x +80=0$，
计算根的判别式：$\Delta = 17^2 -4×1×80=289-320=-31＜0$，
∴ 该一元二次方程没有实数根，
因此矩形花园ABCD的面积不可能达到$240\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）AD的长为$10\ \mathrm{m}$；
（2）不可能。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，实际问题取值范围
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题时需注意实际问题中未知数的取值范围，避免求得的解不符合实际要求，同时要掌握利用根的判别式判断方程解的情况的方法，是方程与实际问题结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
5 如图，公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域（涂色部分）栽种鲜花，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m. 若剩余空地的面积为18 m²，求原正方形空地的边长. 设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为 （
A.$x^2=18$
B.$(x-1)^2=18$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$(x-2)^2=18$
（第5题）
C
）A.$x^2=18$
B.$(x-1)^2=18$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$(x-2)^2=18$
（第5题）答案
5. C
解析
【分析】
首先明确解题目标是根据题意列方程，先判断剩余空地的形状：原空地是正方形，一边减少1m、另一边减少2m后，剩余部分为长方形。接着确定长方形的邻边长度：原正方形边长为x m，因此剩余长方形的两条邻边分别是(x-1)m和(x-2)m。最后结合“剩余空地面积为18 m²”的等量关系，利用长方形面积公式即可列出方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，
剩余空地为长方形，两条邻边的长度分别为$(x-1)\mathrm{m}$和$(x-2)\mathrm{m}$，
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合剩余面积为18 m²，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积类列方程题型，解题关键是准确表示出剩余图形的边长，找准面积等量关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
首先明确解题目标是根据题意列方程，先判断剩余空地的形状：原空地是正方形，一边减少1m、另一边减少2m后，剩余部分为长方形。接着确定长方形的邻边长度：原正方形边长为x m，因此剩余长方形的两条邻边分别是(x-1)m和(x-2)m。最后结合“剩余空地面积为18 m²”的等量关系，利用长方形面积公式即可列出方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m，
剩余空地为长方形，两条邻边的长度分别为$(x-1)\mathrm{m}$和$(x-2)\mathrm{m}$，
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合剩余面积为18 m²，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积类列方程题型，解题关键是准确表示出剩余图形的边长，找准面积等量关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
