7.(吴江区月考)如图,在△ABC中,AC＞AB,射线AD平分∠BAC,交BC于点E,点F在边AB的延长线上,AF=AC,连接EF.
(1)求证:△AEC≌△AEF;
(2)若∠AEB=50°,求∠BEF的度数.

7.(1)证明:
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEC和△AEF中,$\begin{cases}AC=AF,\\∠CAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△AEC≌△AEF(SAS).
(2)解:
∵△AEC≌△AEF,
∴∠C=∠F.
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°,
∴∠FAE+∠F=50°.
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°,
∴∠BEF=180°-50°-50°=80°.

【分析】
(1) 要证明△AEC≌△AEF，可采用SAS判定定理推导：首先由角平分线的定义得到一组对应角相等，再结合题干给出的等边条件和公共边，刚好满足SAS全等的判定条件，即可完成证明。
(2) 求∠BEF的度数时，先利用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质得到∠FAE与∠F的和，最后根据三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠BEF的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEC和△AEF中,$\begin{cases}AC=AF,\\∠CAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△AEC≌△AEF(SAS).
(2) 解:
∵△AEC≌△AEF,
∴∠C=∠F.
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠CAE+∠C=50°,
∴∠FAE+∠F=50°.
∵在△AEF中，∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°,
∴∠BEF=180°-50°-50°=80°.
【答案】
(1) 证明见上述解析，△AEC≌△AEF成立；
(2) $\boldsymbol{80°}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查全等三角形相关知识的基础应用，解题时要注意挖掘角平分线得等角、公共边相等等隐含条件，熟练掌握全等判定定理和角的关系推导即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

8.如图，∠BAC=∠BAD，点E在线段AB上.
(1)添加一个条件，使得可以用“SAS”判定△ACE≌△ADE，你添加的条件是；
(2)根据(1)中你添加的条件，求证：∠BCE=∠BDE.

8.(1)AC=AD
(2)证明:在△ACE和△ADE中,$\begin{cases}AC=AD,\\∠EAC=∠EAD,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ACE≌△ADE(SAS),
∴∠ACE=∠ADE.
在△ACB和△ADB中,$\begin{cases}AC=AD,\\∠BAC=∠BAD,\\AB=AB,\end{cases}$
∴△ACB≌△ADB(SAS),
∴∠ACB=∠ADB,
∴∠ACB-∠ACE=∠ADB-∠ADE,
即∠BCE=∠BDE.

【分析】
(1) 使用“SAS”判定三角形全等，需要满足两边及其夹角对应相等。本题中已知∠BAC=∠BAD，即∠EAC=∠EAD，同时AE是△ACE和△ADE的公共边，即AE=AE，因此缺少夹角的另一组邻边相等的条件，添加AC=AD即可满足SAS判定要求。
(2) 要证明∠BCE=∠BDE，首先通过添加的条件结合已知证△ACE≌△ADE，得到∠ACE=∠ADE；再证△ACB≌△ADB得到∠ACB=∠ADB，最后利用等式的性质，两组等角分别相减即可得到待证结论。
【解析】
(1) 添加的条件为$AC=AD$。
(2) 证明：
在$△ ACE$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AC=AD,\\∠EAC=∠EAD,\\AE=AE,\end{cases}$
∴$△ ACE≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ACE=∠ADE$。
在$△ ACB$和$△ ADB$中，
$\begin{cases}AC=AD,\\∠BAC=∠BAD,\\AB=AB,\end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ADB(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ACB=∠ADB$，
∴$∠ACB-∠ACE=∠ADB-∠ADE$，
即$∠BCE=∠BDE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=AD}$
(2) 证明如上，可证得$\boldsymbol{∠BCE=∠BDE}$。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，重点考查对“SAS”判定定理的掌握程度，解题的关键是准确识别全等三角形的公共边、公共角等隐含条件，结合全等性质和角的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

9.(徐州中考)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD;
(2)求∠AFD的度数.

9.(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:如答图,设BC与AE交于点N.

∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.

【分析】
(1)要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。题中已给出两组对应边相等：AC=BC、DC=EC，结合AC⊥BC、DC⊥EC的垂直条件，可通过角的和差关系推导得到两个三角形的夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。
(2)求角度时可利用全等三角形对应角相等的性质，将未知角转化为已知角，再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，通过角的等量代换即可求出∠AFD的度数。
【解析】
(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:如答图,设BC与AE交于点N.

∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
【答案】
(1)AE=BD得证；(2)∠AFD=90°，过程如下：
(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:如答图,设BC与AE交于点N.

∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题核心是找准全等三角形的对应元素，通过角的和差关系得到全等所需的等角，再利用全等性质转化边和角，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7