7.(江阴月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
(1)求证:AE=CD;
(2)若AC=12 cm,求BD的长.

7.(1)证明:
∵DB⊥BC,CF⊥AE,
∴∠DCB+∠D=90°,∠DCB+∠AEC=90°,
∴∠D=∠AEC.
在△DBC和△ECA中,$\begin{cases}∠D=∠AEC,\\∠DBC=∠ECA,\\BC=CA,\end{cases}$
∴△DBC≌△ECA(AAS),
∴AE=CD.
(2)解:
∵△CDB≌△AEC,
∴BD=CE.
∵AE是BC边上的中线,
∴BD=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=12 cm,
∴BD=6 cm.

【分析】
(1)要证明线段AE=CD，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等，即证△DBC≌△ECA。首先根据垂直的性质可得∠DBC=∠ECA=90°，再结合CF⊥AE、BD⊥BC的条件，利用同角的余角相等可推出∠D=∠AEC，结合已知BC=AC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得到AE=CD。
(2)根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再结合AE是BC边上的中线，可知CE为BC的一半，已知AC=BC=12cm，代入计算即可得到BD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=90°，∠DCB+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC。
在△DBC和△ECA中，
$\begin{cases}∠D=∠AEC,\\∠DBC=∠ECA,\\BC=CA,\end{cases}$
∴△DBC≌△ECA(AAS)，
∴AE=CD。
(2)解：
∵△DBC≌△ECA，
∴BD=CE。
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC。
∵AC=12 cm，
∴BD=6 cm。
【答案】
(1)AE=CD，证明成立；(2)BD的长为6 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形中线的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过垂直关系推导等角，找到全等三角形的判定条件，再结合全等的性质和中线的性质计算线段长度，需熟练掌握AAS判定全等的方法以及全等三角形对应边相等的性质。
【难度系数】
0.75

8.(海陵区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,BC与DE交于点O,BC=ED.求证:(1)∠B=∠E;(2)OE=OB.

8.证明:(1)
∵ED⊥AB,
∴∠E+∠A=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠E.
(2)
∵∠A=∠A,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(AAS),
∴AB=AE,AC=AD.
∴AE−AC=AB−AD,即CE=BD.
∵∠E=∠B,∠EOC=∠BOD,
∴△EOC≌△BOD(AAS),
∴OE=OB.

【分析】
(1) 要证∠B=∠E，可结合已知的两个直角条件，发现∠B和∠E都与∠A互余，利用同角的余角相等即可证明；
(2) 要证OE=OB，可证明这两条线段所在的△EOC与△BOD全等，目前已有∠E=∠B（第一问已证）、∠EOC=∠BOD（对顶角相等），还缺少一组对应边相等，因此先通过AAS证明△ABC≌△AED，得到AE=AB、AC=AD，作差得到CE=BD，即可用AAS证明两个小三角形全等，进而得到OE=OB。
【解析】
(1) 由ED⊥AB可得∠ADE=90°，根据直角三角形两锐角互余，可知∠E + ∠A = 90°；
已知∠ACB=90°，同理可得∠B + ∠A = 90°；
根据同角的余角相等，可推出∠B=∠E。
(2) 在△ABC和△AED中，公共角∠A=∠A，已证∠B=∠E，且已知BC=ED，满足AAS全等判定条件，因此△ABC≌△AED；
由全等三角形对应边相等，可得AB=AE，AC=AD，因此AE-AC=AB-AD，即CE=BD；
在△EOC和△BOD中，已证∠E=∠B、CE=BD，且对顶角∠EOC=∠BOD，满足AAS全等判定条件，因此△EOC≌△BOD；
由全等三角形对应边相等，可得OE=OB。
【答案】
证明:(1)
∵ED⊥AB,
∴∠E+∠A=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠E.
(2)
∵∠A=∠A,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(AAS),
∴AB=AE,AC=AD.
∴AE−AC=AB−AD,即CE=BD.
∵∠E=∠B,∠EOC=∠BOD,
∴△EOC≌△BOD(AAS),
∴OE=OB.
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等证明的常规题型，重点考查直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是先利用互余关系得到等角，再结合已知条件通过两次全等推导待证线段相等，做题时要注意准确匹配全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7

9. CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB. E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD在∠BCA的内部，且点E,F在射线CD上，请解答下面两个问题：
①如图①，若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF,EF |BE−AF|；(均填“＞”“＜”或“=")
②如图②，若0°＜∠BCA＜180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并进行证明；
(2)如图③，若直线CD在∠BCA的外部，∠α=∠BCA,请给出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想.(不要求证明)

易错知识点:AAS

9.(1)①= =
②解:所添加的条件是∠α+∠BCA=180°.证明如下:
在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°−∠BEC=180°−∠α.
∵∠BCA=180°−∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.
又
∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF.
在△BCE和△CAF中,$\begin{cases}∠BEC=∠CFA,\\∠CBE=∠ACF,\\BC=CA,\end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF.
又
∵EF=CF−CE,
∴EF=|BE−AF|.
(2)解:猜想EF=BE+AF.

【分析】
(1)① 先从已知的90°角入手推导角的等量关系：由∠BCA和∠BEC都是90°，可得∠CBE+∠BCE=90°、∠ACF+∠BCE=90°，即可推出∠CBE=∠ACF，结合CA=CB的条件，用AAS判定△BCE和△CAF全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得出BE和CF、EF和|BE-AF|的关系。
② 要使①的结论仍然成立，核心是要证明△BCE≌△CAF，仍需得到∠CBE=∠ACF。在△BCE中，根据三角形内角和可得∠CBE+∠BCE=180°-∠α，而∠ACF+∠BCE=∠BCA，要使两个式子相等，只需180°-∠α=∠BCA，也就是∠α+∠BCA=180°，添加该条件后按全等判定步骤证明，即可推导出对应线段关系。
(2) 当CD在∠BCA外部时，同样先推导角的等量关系证明△BCE≌△CAF，得到BE=CF、CE=AF，观察图形可知EF是CE与CF的和，代入对应边即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
(1)① 当∠BCA=90°，∠α=90°时：
∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又
∵∠BCA=∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\begin{cases}∠BEC=∠CFA\\∠CBE=∠ACF\\BC=CA\end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF=|BE-AF|。
② 所添加的条件是$\boldsymbol{∠α+∠BCA=180°}$，证明如下：
在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°−∠BEC=180°−∠α，
∵∠α+∠BCA=180°，即∠BCA=180°−∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA，
又
∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\begin{cases}∠BEC=∠CFA\\∠CBE=∠ACF\\BC=CA\end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
又
∵EF=CF−CE，
∴EF=|BE−AF|。
(2) 观察图形结合全等性质，可得猜想：$\boldsymbol{EF=BE+AF}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{=}$
②添加条件：$\boldsymbol{∠α+∠BCA=180°}$，证明见解析；
(2)$\boldsymbol{EF=BE+AF}$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题核心是通过角度的和差关系推导相等角，进而证明三角形全等，再结合图形中线段的位置关系推导数量关系，能有效考查几何逻辑推理能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.6