登录
1 [2025滨州]某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展。截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个。设全市公共充电桩数量的年平均增长率为$x$，则可列方程为（
A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
B
）A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
答案
B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题时首先明确核心要素：初始量、增长率、增长次数、最终量。第一步先确定增长周期：2023年初到2025年初间隔2年，即连续增长2次，年平均增长率为x。再回忆连续增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的总量为$a(1+x)^n$，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知2023年初公共充电桩数量为10万个（即初始量$a=10$），年平均增长率为$x$。
1. 2024年初的充电桩数量：在2023年基础上增长1次，数量为$10(1+x)$万个；
2. 2025年初的充电桩数量：在2024年基础上再增长1次，数量为$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$万个；
3. 由2025年初充电桩数量为16.9万个，可列方程：$10(1+x)^2 = 16.9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题关键是找准增长次数，熟练掌握连续增长的数量关系模型，即可快速列出正确方程，避免误选将两次增长率直接相加的错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题时首先明确核心要素：初始量、增长率、增长次数、最终量。第一步先确定增长周期：2023年初到2025年初间隔2年，即连续增长2次，年平均增长率为x。再回忆连续增长率的计算公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的总量为$a(1+x)^n$，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
解：已知2023年初公共充电桩数量为10万个（即初始量$a=10$），年平均增长率为$x$。
1. 2024年初的充电桩数量：在2023年基础上增长1次，数量为$10(1+x)$万个；
2. 2025年初的充电桩数量：在2024年基础上再增长1次，数量为$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$万个；
3. 由2025年初充电桩数量为16.9万个，可列方程：$10(1+x)^2 = 16.9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题关键是找准增长次数，熟练掌握连续增长的数量关系模型，即可快速列出正确方程，避免误选将两次增长率直接相加的错误选项。
【难度系数】
0.8
2 [2025 沭阳段考]如图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发，沿BC以1 cm/s的速度向点C运动；当点P运动到点B处时，点Q停止运动。当$△ PQC$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$时，运动时间为（
A.2 s
B.4 s
C.10 s
D.2 s或10 s
A
）A.2 s
B.4 s
C.10 s
D.2 s或10 s
答案
A
解析
【分析】
这是动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：第一步先设运动时间为t s，先确定t的取值范围：点P走完全程AB需要12÷2=6s，因此t的取值范围是0≤t≤6；第二步用含t的代数式表示出相关线段长度：PB=AB-AP=12-2t，QC=BC-BQ=6-t；第三步观察△PQC的面积计算方法：可直接以QC为底、PB为高计算面积，也可以用△PBC的面积减去△PBQ的面积，据此列方程求解；最后要检验解是否在t的取值范围内，舍去不符合运动实际的解。
【解析】
设运动时间为t s，由点P的运动速度和AB长度可得t的取值范围：0≤t≤6。
由题意得：AP=2t cm，BQ=t cm，
∴PB=(12-2t) cm，QC=(6-t) cm。
△PQC的面积可表示为$\frac{1}{2} × PB × QC$，令其等于16，列方程：
$\frac{1}{2}(12-2t)(6-t)=16$
化简得：$(6-t)^2=16$
开方得：$6-t=\pm4$
解得：$t_1=2$，$t_2=10$。
∵t≤6，
∴t=10不符合题意，舍去，即运动时间为2s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，动点面积计算，矩形的性质
【点评】
本题解题关键是用含时间的代数式正确表示相关线段长度，根据面积关系列方程，尤其要注意结合动点的运动范围对得到的解进行取舍，避免忽略实际情况出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是动态几何结合一元二次方程的应用题，解题思路如下：第一步先设运动时间为t s，先确定t的取值范围：点P走完全程AB需要12÷2=6s，因此t的取值范围是0≤t≤6；第二步用含t的代数式表示出相关线段长度：PB=AB-AP=12-2t，QC=BC-BQ=6-t；第三步观察△PQC的面积计算方法：可直接以QC为底、PB为高计算面积，也可以用△PBC的面积减去△PBQ的面积，据此列方程求解；最后要检验解是否在t的取值范围内，舍去不符合运动实际的解。
【解析】
设运动时间为t s，由点P的运动速度和AB长度可得t的取值范围：0≤t≤6。
由题意得：AP=2t cm，BQ=t cm，
∴PB=(12-2t) cm，QC=(6-t) cm。
△PQC的面积可表示为$\frac{1}{2} × PB × QC$，令其等于16，列方程：
$\frac{1}{2}(12-2t)(6-t)=16$
化简得：$(6-t)^2=16$
开方得：$6-t=\pm4$
解得：$t_1=2$，$t_2=10$。
∵t≤6，
∴t=10不符合题意，舍去，即运动时间为2s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，动点面积计算，矩形的性质
【点评】
本题解题关键是用含时间的代数式正确表示相关线段长度，根据面积关系列方程，尤其要注意结合动点的运动范围对得到的解进行取舍，避免忽略实际情况出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3 [2024云南]两年前生产1 kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1 kg甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，可列方程为
$80(1-x)^2=60$
。答案
$80(1-x)^2=60$
解析
【分析】
本题是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题时先明确平均下降率的计算逻辑：每一次下降后的成本 = 下降前的成本×(1-年平均下降率)。首先确定初始成本是两年前的80元，经过2次下降后得到现在的成本60元，我们只需要依次推导每次下降后的成本表达式，再根据“现在成本为60元”的等量关系列方程即可。
【解析】
已知两年前1kg甲种药品成本为80元，年平均下降率为x。
1. 计算一年前1kg甲种药品的成本：在80元的基础上下降x，即成本为 $80(1-x)$ 元；
2. 计算现在1kg甲种药品的成本：在一年前成本 $80(1-x)$ 元的基础上再下降x，即成本为 $80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2$ 元；
3. 题目给出现在的成本为60元，因此可列方程：$80(1-x)^2 = 60$。
【答案】
$80(1-x)^2=60$
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，核心是掌握平均变化率的通用公式：若初始量为a，经过n次变化，平均变化率为x，最终量为b，则可列方程$a(1\pm x)^n = b$（增长用“+”，下降用“-”），解题时找准初始量、最终量和变化次数即可快速列式。
【难度系数】
0.8
本题是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题时先明确平均下降率的计算逻辑：每一次下降后的成本 = 下降前的成本×(1-年平均下降率)。首先确定初始成本是两年前的80元，经过2次下降后得到现在的成本60元，我们只需要依次推导每次下降后的成本表达式，再根据“现在成本为60元”的等量关系列方程即可。
【解析】
已知两年前1kg甲种药品成本为80元，年平均下降率为x。
1. 计算一年前1kg甲种药品的成本：在80元的基础上下降x，即成本为 $80(1-x)$ 元；
2. 计算现在1kg甲种药品的成本：在一年前成本 $80(1-x)$ 元的基础上再下降x，即成本为 $80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2$ 元；
3. 题目给出现在的成本为60元，因此可列方程：$80(1-x)^2 = 60$。
【答案】
$80(1-x)^2=60$
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，核心是掌握平均变化率的通用公式：若初始量为a，经过n次变化，平均变化率为x，最终量为b，则可列方程$a(1\pm x)^n = b$（增长用“+”，下降用“-”），解题时找准初始量、最终量和变化次数即可快速列式。
【难度系数】
0.8
4 美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市近几年来,通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施,使城区绿地面积不断增加.该市某城区2023年底时绿化面积约为10万亩,计划到2025年底时绿化面积达到14.4万亩.
（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；
（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现.
（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；
（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到17万亩，请通过计算说明该目标能否实现.
答案
（1）设该城区绿化面积的年平均增长率为 $x$. 根据题意,得 $10(1+x)^2=14.4$,解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(不符合题意,舍去). 答：该城区绿化面积的年平均增长率为 20%
（2）根据题意,得 $14.4×(1+20\%)=17.28$(万亩). $\because 17.28＞17,\therefore$ 该目标能实现
（2）根据题意,得 $14.4×(1+20\%)=17.28$(万亩). $\because 17.28＞17,\therefore$ 该目标能实现
解析
【分析】
（1）本题为平均增长率类应用题，解题时首先设年平均增长率为$x$，明确初始量为2023年底的10万亩，从2023年到2025年共经过2年增长，最终量为14.4万亩，对应平均增长率的通用等量关系：$初始量×(1+增长率)^{增长年数}=最终量$，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）要判断2026年的目标能否实现，只需用2025年底的绿化面积乘以$(1+年平均增长率)$，计算出2026年底的预计绿化面积，再和17万亩比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设该城区绿化面积的年平均增长率为$x$。
根据题意列方程得：
$10(1+x)^2=14.4$
两边同时除以10得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
（2）按照（1）中求出的20%的年平均增长率，2026年底的绿化面积为：
$14.4×(1+20\%)=14.4×1.2=17.28$（万亩）
$\because 17.28＞17$
$\therefore$该目标能实现。
【答案】
（1）该城区绿化面积的年平均增长率为20%；
（2）该目标能实现。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是结合城市绿化的实际应用题，核心考点为平均增长率问题的等量关系，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，整体计算难度较低，是增长率类问题的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）本题为平均增长率类应用题，解题时首先设年平均增长率为$x$，明确初始量为2023年底的10万亩，从2023年到2025年共经过2年增长，最终量为14.4万亩，对应平均增长率的通用等量关系：$初始量×(1+增长率)^{增长年数}=最终量$，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）要判断2026年的目标能否实现，只需用2025年底的绿化面积乘以$(1+年平均增长率)$，计算出2026年底的预计绿化面积，再和17万亩比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设该城区绿化面积的年平均增长率为$x$。
根据题意列方程得：
$10(1+x)^2=14.4$
两边同时除以10得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，因此$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
（2）按照（1）中求出的20%的年平均增长率，2026年底的绿化面积为：
$14.4×(1+20\%)=14.4×1.2=17.28$（万亩）
$\because 17.28＞17$
$\therefore$该目标能实现。
【答案】
（1）该城区绿化面积的年平均增长率为20%；
（2）该目标能实现。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是结合城市绿化的实际应用题，核心考点为平均增长率问题的等量关系，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，整体计算难度较低，是增长率类问题的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
5 某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了$x$人,则可列方程为 (
A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
C
)A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
答案
C
解析
【分析】
这是一元二次方程实际应用中的传染问题，解题时需分层梳理每一轮的患病人数：首先明确初始患病人数为1人，先算出第一轮传染结束后的总患病人数；再以第一轮的总患者数作为第二轮的传染源，算出第二轮新增的患病人数，最后根据两轮后总患病人数为36的条件列出方程即可。
【解析】
解：由题意可知最初有1人患流感。
1. 第一轮传染：1个患者平均每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染：此时$1+x$个患者均为传染源，平均每人传染x人，第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后总患病人数为36，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传染类数量关系
【点评】
本题是传染类应用题的基础题型，解题关键是准确对应每一轮的传染源数量，理清总患病人数的组成，避免错把第二轮传染源当成初始的1人计算。
【难度系数】
0.8
这是一元二次方程实际应用中的传染问题，解题时需分层梳理每一轮的患病人数：首先明确初始患病人数为1人，先算出第一轮传染结束后的总患病人数；再以第一轮的总患者数作为第二轮的传染源，算出第二轮新增的患病人数，最后根据两轮后总患病人数为36的条件列出方程即可。
【解析】
解：由题意可知最初有1人患流感。
1. 第一轮传染：1个患者平均每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
2. 第二轮传染：此时$1+x$个患者均为传染源，平均每人传染x人，第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
3. 两轮传染后总患病人数为36，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传染类数量关系
【点评】
本题是传染类应用题的基础题型，解题关键是准确对应每一轮的传染源数量，理清总患病人数的组成，避免错把第二轮传染源当成初始的1人计算。
【难度系数】
0.8
6[2025凉山]某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860 t.设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（
A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
C
）A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
答案
C
解析
【分析】
本题是平均增长率的实际应用问题，解题核心是先明确第一季度总产量为一月、二月、三月三个月的产量之和，再依次用含x的式子表示出每个月的产量，最后根据总产量列方程即可。首先已知一月份产量为560t，月平均增长率为x，二月份产量是在一月份基础上增长，故为560(1+x)t；三月份产量是在二月份基础上增长，故为$560(1+x)×(1+x)=560(1+x)^2$t，将三个月产量相加等于1860t即可得到对应方程。
【解析】
首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总产量为三个月产量之和：
1. 一月份产量：已知为560 t；
2. 二月份产量：月平均增长率为x，因此二月份产量为$560(1+x)$ t；
3. 三月份产量：在二月份产量基础上增长x，因此三月份产量为$560(1+x)×(1+x)=560(1+x)^2$ t；
根据第一季度总产量为1860 t，可列方程：
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题关键是准确表示出每个月的产量，注意不要误将第一季度总产量等同于第三个月的产量，也不要混淆平均增长率的表达式，避免出现$1+2x$这类错误的增长率写法。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率的实际应用问题，解题核心是先明确第一季度总产量为一月、二月、三月三个月的产量之和，再依次用含x的式子表示出每个月的产量，最后根据总产量列方程即可。首先已知一月份产量为560t，月平均增长率为x，二月份产量是在一月份基础上增长，故为560(1+x)t；三月份产量是在二月份基础上增长，故为$560(1+x)×(1+x)=560(1+x)^2$t，将三个月产量相加等于1860t即可得到对应方程。
【解析】
首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总产量为三个月产量之和：
1. 一月份产量：已知为560 t；
2. 二月份产量：月平均增长率为x，因此二月份产量为$560(1+x)$ t；
3. 三月份产量：在二月份产量基础上增长x，因此三月份产量为$560(1+x)×(1+x)=560(1+x)^2$ t；
根据第一季度总产量为1860 t，可列方程：
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题关键是准确表示出每个月的产量，注意不要误将第一季度总产量等同于第三个月的产量，也不要混淆平均增长率的表达式，避免出现$1+2x$这类错误的增长率写法。
【难度系数】
0.8
