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7 如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,以3 cm/s的速度向点B移动,当到达点B时停止移动;同时,点Q从点C出发,以2 cm/s的速度向点D移动.当其中一个点停止移动时,另一个点也随之停止,设移动时间为t s,连接PQ.（1）当t=2时,PQ的长为
（第7题）
$6\sqrt{2}$
cm;（2）当PQ=10 cm时,t的值为1.6 或 4.8
. （第7题）答案
(1) $6\sqrt{2}$
(2) 1.6 或 4.8
(2) 1.6 或 4.8
解析
【分析】
本题属于矩形中的动态几何问题，解题核心是构造直角三角形结合勾股定理求解：①先过点Q作AB的垂线，构造以PQ为斜边的直角三角形；②用含t的代数式分别表示出直角三角形两条直角边的长度；③第一问直接代入t=2计算边长，第二问根据PQ长度列方程求解，最后注意验证解是否符合运动时间的取值范围。
【解析】
过点Q作QM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴QM=BC=6cm，
运动t s后，AP=3t cm，CQ=2t cm，
则PM的长度为：$|AB - AP - CQ|=|16 - 3t - 2t|=|16 - 5t|\ \mathrm{cm}$。
（1）当t=2时，$16-5t=16-5×2=6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PM^2 + QM^2}=\sqrt{6^2 + 6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）当PQ=10 cm时，在Rt△PMQ中由勾股定理得：
$PQ^2=PM^2 + QM^2$，即$10^2=(16-5t)^2 + 6^2$，
整理得：$(16-5t)^2=64$，
开方得：$16-5t=8$或$16-5t=-8$，
解得：$t_1=1.6$，$t_2=4.8$。
验证运动时间范围：点P从A到B的最长时间为$16÷3≈5.33\ \mathrm{s}$，1.6＜5.33，4.8＜5.33，两个解均符合题意。
【答案】
（1）$6\sqrt{2}$；（2）1.6或4.8
【知识点】
矩形的性质；勾股定理的应用；动点问题计算
【点评】
本题是动态几何的常见基础题型，将动点的运动路程用代数式表示后，通过构造直角三角形转化为勾股定理的计算问题，求解后要注意结合运动的限制条件验证解的合理性，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题属于矩形中的动态几何问题，解题核心是构造直角三角形结合勾股定理求解：①先过点Q作AB的垂线，构造以PQ为斜边的直角三角形；②用含t的代数式分别表示出直角三角形两条直角边的长度；③第一问直接代入t=2计算边长，第二问根据PQ长度列方程求解，最后注意验证解是否符合运动时间的取值范围。
【解析】
过点Q作QM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴QM=BC=6cm，
运动t s后，AP=3t cm，CQ=2t cm，
则PM的长度为：$|AB - AP - CQ|=|16 - 3t - 2t|=|16 - 5t|\ \mathrm{cm}$。
（1）当t=2时，$16-5t=16-5×2=6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{PM^2 + QM^2}=\sqrt{6^2 + 6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）当PQ=10 cm时，在Rt△PMQ中由勾股定理得：
$PQ^2=PM^2 + QM^2$，即$10^2=(16-5t)^2 + 6^2$，
整理得：$(16-5t)^2=64$，
开方得：$16-5t=8$或$16-5t=-8$，
解得：$t_1=1.6$，$t_2=4.8$。
验证运动时间范围：点P从A到B的最长时间为$16÷3≈5.33\ \mathrm{s}$，1.6＜5.33，4.8＜5.33，两个解均符合题意。
【答案】
（1）$6\sqrt{2}$；（2）1.6或4.8
【知识点】
矩形的性质；勾股定理的应用；动点问题计算
【点评】
本题是动态几何的常见基础题型，将动点的运动路程用代数式表示后，通过构造直角三角形转化为勾股定理的计算问题，求解后要注意结合运动的限制条件验证解的合理性，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
8 在“全民阅读”活动中，某中学社团“海伦读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2023年全校有1000名学生，2024年全校学生人数比2023年增加10%，2025年全校学生人数比2024年增加100人.
（1）求2025年全校学生人数.
（2）2024年全校学生的人均阅读量比2023年多1本，阅读总量比2023年增加1700本（注：阅读总量＝人均阅读量×人数）.
① 求2023年全校学生的人均阅读量；
② 2023年读书社成员的人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2024年、2025年这两年读书社成员的人均阅读量都比前一年增长同一个百分数a，2025年全校学生的人均阅读量比2023年增加的百分数也是a，那么2025年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值.
（1）求2025年全校学生人数.
（2）2024年全校学生的人均阅读量比2023年多1本，阅读总量比2023年增加1700本（注：阅读总量＝人均阅读量×人数）.
① 求2023年全校学生的人均阅读量；
② 2023年读书社成员的人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2024年、2025年这两年读书社成员的人均阅读量都比前一年增长同一个百分数a，2025年全校学生的人均阅读量比2023年增加的百分数也是a，那么2025年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值.
答案
（1）由题意,得 2024 年全校学生人数为 $1000×(1+10\%)=1100$，$\therefore$ 2025 年全校学生人数为 $1100+100=1200$
（2）① 设 2023 年全校学生的人均阅读量为 $x$ 本, 则 2024 年全校学生的人均阅读量为 $(x+1)$本. 由题意,得 $1100(x+1)=1000x+1700$,解得 $x=6$. 答：2023 年全校学生的人均阅读量为 6 本
② 由题意,得 2023 年读书社成员的人均阅读量为 $2.5×6=15$(本),2025 年读书社成员的人均阅读量为 $15(1+a)^2$ 本,2025 年全校学生的人均阅读量为 $6(1+a)$本.
$\therefore 80×15(1+a)^2=1200×6(1+a)×25\%$,整理,得 $2(1+a)^2=3(1+a)$,解得 $a_1=-1$(舍去),$a_2=0.5=50\%$. $\therefore a$ 的值为 50%
（2）① 设 2023 年全校学生的人均阅读量为 $x$ 本, 则 2024 年全校学生的人均阅读量为 $(x+1)$本. 由题意,得 $1100(x+1)=1000x+1700$,解得 $x=6$. 答：2023 年全校学生的人均阅读量为 6 本
② 由题意,得 2023 年读书社成员的人均阅读量为 $2.5×6=15$(本),2025 年读书社成员的人均阅读量为 $15(1+a)^2$ 本,2025 年全校学生的人均阅读量为 $6(1+a)$本.
$\therefore 80×15(1+a)^2=1200×6(1+a)×25\%$,整理,得 $2(1+a)^2=3(1+a)$,解得 $a_1=-1$(舍去),$a_2=0.5=50\%$. $\therefore a$ 的值为 50%
解析
【分析】
（1）求2025年全校学生人数，需先计算2024年人数：2024年人数是2023年人数的（1+10%）倍，用乘法算出2024年人数后，加100即可得到2025年人数。
（2）① 求2023年人均阅读量，可设未知数$x$，根据“2024年阅读总量=2023年阅读总量+1700”这一等量关系列一元一次方程求解即可。
② 先算出2023年读书社人均阅读量，再分别表示出2025年读书社人均阅读量、全校人均阅读量，根据“2025年读书社阅读总量=全校阅读总量×25%”列方程求解，注意舍去不符合增长率实际意义的解。
【解析】
（1）由题意得：
2024年全校学生人数：$1000×(1+10\%) = 1100$（人）
2025年全校学生人数：$1100 + 100 = 1200$（人）
（2）① 设2023年全校学生的人均阅读量为$x$本，则2024年全校学生人均阅读量为$(x+1)$本。
根据阅读总量的关系列方程：
$1100(x+1) = 1000x + 1700$
去括号得：$1100x + 1100 = 1000x + 1700$
移项合并得：$100x = 600$
解得：$x = 6$
② 由题意得，2023年读书社成员人均阅读量为：$2.5×6 = 15$（本）
2025年读书社成员人均阅读量为：$15(1+a)^2$本
2025年全校学生人均阅读量为：$6(1+a)$本
根据等量关系列方程：
$80×15(1+a)^2 = 1200×6(1+a)×25\%$
整理得：$2(1+a)^2 = 3(1+a)$
解得$a_1=-1$（不符合增长率实际意义，舍去），$a_2=0.5=50\%$
【答案】
（1）2025年全校学生人数为1200人；
（2）①2023年全校学生的人均阅读量为6本；②$a$的值为50%。
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，增长率问题
【点评】
本题结合“全民阅读”的实际背景考查方程的实际应用，解题核心是找准各量之间的等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义检验解的合理性，贴合生活实际，综合性适中。
【难度系数】
0.7
（1）求2025年全校学生人数，需先计算2024年人数：2024年人数是2023年人数的（1+10%）倍，用乘法算出2024年人数后，加100即可得到2025年人数。
（2）① 求2023年人均阅读量，可设未知数$x$，根据“2024年阅读总量=2023年阅读总量+1700”这一等量关系列一元一次方程求解即可。
② 先算出2023年读书社人均阅读量，再分别表示出2025年读书社人均阅读量、全校人均阅读量，根据“2025年读书社阅读总量=全校阅读总量×25%”列方程求解，注意舍去不符合增长率实际意义的解。
【解析】
（1）由题意得：
2024年全校学生人数：$1000×(1+10\%) = 1100$（人）
2025年全校学生人数：$1100 + 100 = 1200$（人）
（2）① 设2023年全校学生的人均阅读量为$x$本，则2024年全校学生人均阅读量为$(x+1)$本。
根据阅读总量的关系列方程：
$1100(x+1) = 1000x + 1700$
去括号得：$1100x + 1100 = 1000x + 1700$
移项合并得：$100x = 600$
解得：$x = 6$
② 由题意得，2023年读书社成员人均阅读量为：$2.5×6 = 15$（本）
2025年读书社成员人均阅读量为：$15(1+a)^2$本
2025年全校学生人均阅读量为：$6(1+a)$本
根据等量关系列方程：
$80×15(1+a)^2 = 1200×6(1+a)×25\%$
整理得：$2(1+a)^2 = 3(1+a)$
解得$a_1=-1$（不符合增长率实际意义，舍去），$a_2=0.5=50\%$
【答案】
（1）2025年全校学生人数为1200人；
（2）①2023年全校学生的人均阅读量为6本；②$a$的值为50%。
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，增长率问题
【点评】
本题结合“全民阅读”的实际背景考查方程的实际应用，解题核心是找准各量之间的等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义检验解的合理性，贴合生活实际，综合性适中。
【难度系数】
0.7
9 如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,它们各自到达终点后停止运动,连接PD,PQ,DQ.
(1) 几秒后,PD的长是PQ长的2倍?
(2) 几秒后,△DPQ的面积是24 cm²?
(1) 几秒后,PD的长是PQ长的2倍?
(2) 几秒后,△DPQ的面积是24 cm²?
答案
(1) 设 $t$ s后,$PD$ 的长是 $PQ$ 长的 2 倍, $\therefore PD=2PQ$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ A=∠ B=90°$, $\therefore PD^2=AP^2+AD^2$, $PQ^2=BP^2+BQ^2$. $\because PD^2=4PQ^2$, $\therefore$ 当 $0＜t≤5$ 时,$8^2+(2t)^2=4[(10-2t)^2+t^2]$,解得 $t_1=3$,$t_2=7$(不合题意,舍去). 当 $5＜t≤8$ 时,$PD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{41}$ cm. $\because PD=2PQ$, $\therefore PQ=\sqrt{41}$ cm. $\sqrt{41}÷1=\sqrt{41}$(s). 综上所述,3 s 或 $\sqrt{41}$ s 后,$PD$ 的长是 $PQ$ 长的 2 倍
(2) 设 $x$ s 后,$△ DPQ$ 的面积是 $24\ \mathrm{cm}^2$. 当 $0＜x≤5$ 时,$\frac{1}{2}×8×2x+\frac{1}{2}(10-2x)· x+\frac{1}{2}(8-x)×10=80-24$,整理,得 $x^2-8x+16=0$,解得 $x_1=x_2=4$. 当 $5＜x≤8$ 时,$\frac{1}{2}×10x=24$,解得 $x=\frac{24}{5}$(不合题意,舍去). 综上所述,4 s 后,$△ DPQ$ 的面积是 $24\ \mathrm{cm}^2$
(2) 设 $x$ s 后,$△ DPQ$ 的面积是 $24\ \mathrm{cm}^2$. 当 $0＜x≤5$ 时,$\frac{1}{2}×8×2x+\frac{1}{2}(10-2x)· x+\frac{1}{2}(8-x)×10=80-24$,整理,得 $x^2-8x+16=0$,解得 $x_1=x_2=4$. 当 $5＜x≤8$ 时,$\frac{1}{2}×10x=24$,解得 $x=\frac{24}{5}$(不合题意,舍去). 综上所述,4 s 后,$△ DPQ$ 的面积是 $24\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
本题属于矩形中的动点问题，解题思路如下：
(1) 先确定动点的运动时间范围：点P走完全程AB需10÷2=5s，点Q走完全程BC需8÷1=8s，因此分0＜t≤5（P在AB上运动）和5＜t≤8（P到达B点静止，Q仍在BC上运动）两种情况讨论。设运动时间为t s，用含t的代数式表示各线段长度，结合矩形的直角特性，利用勾股定理表示PD²和PQ²，根据PD=2PQ即PD²=4PQ²列方程求解，最后舍去不符合时间范围的解即可。
(2) 同样分上述两个时间段讨论：①当0＜x≤5时，△DPQ的面积可通过“矩形面积减去周围三个直角三角形的面积”列等式求解；②当5＜x≤8时，P与B重合，直接利用三角形面积公式列方程，舍去不符合时间范围的解即可。
【解析】
(1) 设$t$ s后，$PD$ 的长是$PQ$长的2倍，即$PD=2PQ$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ A=∠ B=90°$，由勾股定理得：$PD^2=AP^2+AD^2$，$PQ^2=BP^2+BQ^2$，因此$PD^2=4PQ^2$。
分两种情况讨论：
①当$0＜t≤5$时，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，代入得：
$8^2+(2t)^2=4[(10-2t)^2+t^2]$
整理得$t^2-10t+21=0$，解得$t_1=3$，$t_2=7$，其中$t=7＞5$，不合题意，舍去。
②当$5＜t≤8$时，点P到达B点静止，此时$PD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
∵$PD=2PQ$，
∴$PQ=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$，此时Q的运动时间$t=\sqrt{41}\ \mathrm{s}$，$\sqrt{41}\approx6.4$，符合$5＜t≤8$的范围。
综上所述，3 s或$\sqrt{41}$ s后，$PD$ 的长是$PQ$长的2倍。
(2) 设$x$ s后，$△ DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$，矩形$ABCD$的面积为$10×8=80\ \mathrm{cm}^2$。
分两种情况讨论：
①当$0＜x≤5$时，$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BP=(10-2x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，$CQ=(8-x)\ \mathrm{cm}$，由题意得周围三个直角三角形的面积和为$80-24=56\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$\frac{1}{2}×8×2x+\frac{1}{2}(10-2x)· x+\frac{1}{2}(8-x)×10=56$
整理得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$，符合$0＜4≤5$的范围，成立。
②当$5＜x≤8$时，点P与B重合，此时$S_{△ DPQ}=\frac{1}{2}×10· x=5x$，令$5x=24$，解得$x=\frac{24}{5}=4.8$，$4.8＜5$，不符合$5＜x≤8$的范围，舍去。
综上所述，4 s后，$△ DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\sqrt{41}\ \mathrm{s}}$；
(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的动态几何综合题，解题的核心是先确定动点的运动时间分界点，分类讨论不同运动阶段的线段与面积关系，结合几何性质列方程求解，最后要注意检验解是否符合对应阶段的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
本题属于矩形中的动点问题，解题思路如下：
(1) 先确定动点的运动时间范围：点P走完全程AB需10÷2=5s，点Q走完全程BC需8÷1=8s，因此分0＜t≤5（P在AB上运动）和5＜t≤8（P到达B点静止，Q仍在BC上运动）两种情况讨论。设运动时间为t s，用含t的代数式表示各线段长度，结合矩形的直角特性，利用勾股定理表示PD²和PQ²，根据PD=2PQ即PD²=4PQ²列方程求解，最后舍去不符合时间范围的解即可。
(2) 同样分上述两个时间段讨论：①当0＜x≤5时，△DPQ的面积可通过“矩形面积减去周围三个直角三角形的面积”列等式求解；②当5＜x≤8时，P与B重合，直接利用三角形面积公式列方程，舍去不符合时间范围的解即可。
【解析】
(1) 设$t$ s后，$PD$ 的长是$PQ$长的2倍，即$PD=2PQ$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ A=∠ B=90°$，由勾股定理得：$PD^2=AP^2+AD^2$，$PQ^2=BP^2+BQ^2$，因此$PD^2=4PQ^2$。
分两种情况讨论：
①当$0＜t≤5$时，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，代入得：
$8^2+(2t)^2=4[(10-2t)^2+t^2]$
整理得$t^2-10t+21=0$，解得$t_1=3$，$t_2=7$，其中$t=7＞5$，不合题意，舍去。
②当$5＜t≤8$时，点P到达B点静止，此时$PD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
∵$PD=2PQ$，
∴$PQ=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$，此时Q的运动时间$t=\sqrt{41}\ \mathrm{s}$，$\sqrt{41}\approx6.4$，符合$5＜t≤8$的范围。
综上所述，3 s或$\sqrt{41}$ s后，$PD$ 的长是$PQ$长的2倍。
(2) 设$x$ s后，$△ DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$，矩形$ABCD$的面积为$10×8=80\ \mathrm{cm}^2$。
分两种情况讨论：
①当$0＜x≤5$时，$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BP=(10-2x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，$CQ=(8-x)\ \mathrm{cm}$，由题意得周围三个直角三角形的面积和为$80-24=56\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$\frac{1}{2}×8×2x+\frac{1}{2}(10-2x)· x+\frac{1}{2}(8-x)×10=56$
整理得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$，符合$0＜4≤5$的范围，成立。
②当$5＜x≤8$时，点P与B重合，此时$S_{△ DPQ}=\frac{1}{2}×10· x=5x$，令$5x=24$，解得$x=\frac{24}{5}=4.8$，$4.8＜5$，不符合$5＜x≤8$的范围，舍去。
综上所述，4 s后，$△ DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\sqrt{41}\ \mathrm{s}}$；
(2) $\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的动态几何综合题，解题的核心是先确定动点的运动时间分界点，分类讨论不同运动阶段的线段与面积关系，结合几何性质列方程求解，最后要注意检验解是否符合对应阶段的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
