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6 [2024通辽]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为 (
A.5 m或6 m
B.2.5 m或3 m
C.5 m
D.3 m
C
)A.5 m或6 m
B.2.5 m或3 m
C.5 m
D.3 m
答案
6. C 【解析】设BC的长为x m,则AB的长为$\frac{1}{2}(10+1-x)$m.根据题意,得$\frac{1}{2}(10+1-x)x=15$,解得$x_1=5$,$x_2=6＞5.5$(不合题意,舍去).$\therefore BC$的长为5 m
解析
【分析】
这是一道矩形面积相关的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确未知量，设BC的长为x m，矩形中AD=BC，AD靠墙，因此铁丝网围的是AB、BC、CD三边，且AB边上有1m宽的门不需要铁丝网，因此铁丝网总长加上门的宽度等于AB+BC+CD的总长度，又AB=CD，因此可以用x表示出AB的长度；2. 根据矩形面积=长×宽，列一元二次方程；3. 解方程后，要结合墙长5.5m的限制条件，舍去不符合实际意义的根，最终得到BC的长度。
【解析】
设BC的长为x m，
∵ 矩形ABCD中AB=CD，AD=BC=x，AD靠墙，AB侧有1m宽的门，铁丝网总长为10m，
∴ AB + CD + BC = 10 + 1，即$2AB + x = 11$，
∴ AB的长为$\frac{1}{2}(11 - x)$ m。
根据矩形面积为15 m²，列方程得：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理得：$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
∵ 墙长为5.5 m，BC=AD≤5.5 m，
∴ $x=6＞5.5$，不符合题意，舍去。
∴ BC的长为5 m。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的核心是准确梳理题意，正确用未知数表示矩形的边长，尤其要注意门的宽度对边长表达式的影响，同时要结合实际场景的限制条件对解得的根进行验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道矩形面积相关的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确未知量，设BC的长为x m，矩形中AD=BC，AD靠墙，因此铁丝网围的是AB、BC、CD三边，且AB边上有1m宽的门不需要铁丝网，因此铁丝网总长加上门的宽度等于AB+BC+CD的总长度，又AB=CD，因此可以用x表示出AB的长度；2. 根据矩形面积=长×宽，列一元二次方程；3. 解方程后，要结合墙长5.5m的限制条件，舍去不符合实际意义的根，最终得到BC的长度。
【解析】
设BC的长为x m，
∵ 矩形ABCD中AB=CD，AD=BC=x，AD靠墙，AB侧有1m宽的门，铁丝网总长为10m，
∴ AB + CD + BC = 10 + 1，即$2AB + x = 11$，
∴ AB的长为$\frac{1}{2}(11 - x)$ m。
根据矩形面积为15 m²，列方程得：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理得：$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
∵ 墙长为5.5 m，BC=AD≤5.5 m，
∴ $x=6＞5.5$，不符合题意，舍去。
∴ BC的长为5 m。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的几何面积类实际应用题，解题的核心是准确梳理题意，正确用未知数表示矩形的边长，尤其要注意门的宽度对边长表达式的影响，同时要结合实际场景的限制条件对解得的根进行验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
7 将一个容积为$360\ \mathrm{cm}^3$的长方体包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中$x(\mathrm{cm})$满足的一元二次方程为$\underline{\hspace{5cm}}$（不必化简）.
答案
7. $15x×\frac{20-2x}{2}=360$
解析
【分析】
要列出关于$x$的一元二次方程，需先结合长方体展开图确定长方体的长、宽、高，再利用“长方体容积=长×宽×高”的公式建立等式。首先观察图形可直接得到长方体的长为$15\mathrm{cm}$、高为$x\mathrm{cm}$；再看顶部总长度为$20\mathrm{cm}$，减去左右两段长度为$x$的部分后，剩余长度对应2倍的长方体的宽，因此宽为$\frac{20-2x}{2}\mathrm{cm}$，最后将三者相乘等于容积$360\mathrm{cm}^3$即可得到方程。
【解析】
解：长方体的容积公式为$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$。
1. 确定长方体各棱长：
由展开图可知，长方体的长为$15\mathrm{cm}$，高为$x\mathrm{cm}$；
水平方向总长度为$20\mathrm{cm}$，减去左右各$x$的长度后，剩余长度是2倍的长方体的宽，因此宽为$\frac{20-2x}{2}\mathrm{cm}$。
2. 代入容积公式列方程：
已知容积为$360\mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$15× x×\frac{20-2x}{2}=360$
【答案】
$15x×\frac{20-2x}{2}=360$
【知识点】
一元二次方程应用，长方体容积计算，几何体展开图
【点评】
本题结合长方体展开图考查方程的列写，解题核心是准确根据展开图的边长关系推导长方体的长宽高，属于基础应用类题型，理清展开图各边对应几何体的棱长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要列出关于$x$的一元二次方程，需先结合长方体展开图确定长方体的长、宽、高，再利用“长方体容积=长×宽×高”的公式建立等式。首先观察图形可直接得到长方体的长为$15\mathrm{cm}$、高为$x\mathrm{cm}$；再看顶部总长度为$20\mathrm{cm}$，减去左右两段长度为$x$的部分后，剩余长度对应2倍的长方体的宽，因此宽为$\frac{20-2x}{2}\mathrm{cm}$，最后将三者相乘等于容积$360\mathrm{cm}^3$即可得到方程。
【解析】
解：长方体的容积公式为$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$。
1. 确定长方体各棱长：
由展开图可知，长方体的长为$15\mathrm{cm}$，高为$x\mathrm{cm}$；
水平方向总长度为$20\mathrm{cm}$，减去左右各$x$的长度后，剩余长度是2倍的长方体的宽，因此宽为$\frac{20-2x}{2}\mathrm{cm}$。
2. 代入容积公式列方程：
已知容积为$360\mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$15× x×\frac{20-2x}{2}=360$
【答案】
$15x×\frac{20-2x}{2}=360$
【知识点】
一元二次方程应用，长方体容积计算，几何体展开图
【点评】
本题结合长方体展开图考查方程的列写，解题核心是准确根据展开图的边长关系推导长方体的长宽高，属于基础应用类题型，理清展开图各边对应几何体的棱长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8 [2025威海]如图，某校有一个长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
答案
8. 设小路的宽度为x m,则9个矩形地块可合成为长为$(20-4x)\mathrm{m}$、宽为$(14-4x)\mathrm{m}$的矩形地块.根据题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$.化简,得$2x^2-17x+8=0$,解得$x_1=0.5$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).答:小路的宽度为0.5 m
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决面积实际问题的题目，解题思路如下：①首先观察图形可知9个小矩形为3行3列分布，我们可以将所有小矩形向中间平移，拼接成一个完整的大矩形，避免单独计算每块面积；②确定拼接后大矩形的长和宽：原种植园长20m，纵向（垂直于长的方向）共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的长为$(20-4x)\mathrm{m}$；原种植园宽14m，横向（垂直于宽的方向）也共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的宽为$(14-4x)\mathrm{m}$；③根据“拼接后大矩形的面积=9个小矩形的面积和”列方程，求解一元二次方程后，结合实际意义（长和宽不能为负数）舍去不符合要求的解，即可得到小路宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
将9个矩形地块平移拼接后，得到的大矩形长为$(20-4x)\mathrm{m}$，宽为$(14-4x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并整理得：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
化简为：$2x^2 -17x +8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以$x=0.5$
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，解题的核心技巧是通过平移将分散的种植区域拼接为整体矩形，大幅简化计算过程，同时要注意求解方程后必须结合实际场景验证解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决面积实际问题的题目，解题思路如下：①首先观察图形可知9个小矩形为3行3列分布，我们可以将所有小矩形向中间平移，拼接成一个完整的大矩形，避免单独计算每块面积；②确定拼接后大矩形的长和宽：原种植园长20m，纵向（垂直于长的方向）共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的长为$(20-4x)\mathrm{m}$；原种植园宽14m，横向（垂直于宽的方向）也共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的宽为$(14-4x)\mathrm{m}$；③根据“拼接后大矩形的面积=9个小矩形的面积和”列方程，求解一元二次方程后，结合实际意义（长和宽不能为负数）舍去不符合要求的解，即可得到小路宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
将9个矩形地块平移拼接后，得到的大矩形长为$(20-4x)\mathrm{m}$，宽为$(14-4x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并整理得：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
化简为：$2x^2 -17x +8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以$x=0.5$
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的取舍
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，解题的核心技巧是通过平移将分散的种植区域拼接为整体矩形，大幅简化计算过程，同时要注意求解方程后必须结合实际场景验证解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
9 如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的矩形空地上修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道的宽为a m.
（1）花圃的面积为
（2）如果通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{3}{8}$，求此时通道的宽.
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价$y_1$(元)、$y_2$(元)与修建面积$x$($m^2$)之间的函数关系如图②所示.如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道的宽为多少米时，修建的通道和花圃的总造价为105 920元？
（1）花圃的面积为
$4a^2-200a+2400$
$m^2$（用含a的式子表示）.（2）如果通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{3}{8}$，求此时通道的宽.
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价$y_1$(元)、$y_2$(元)与修建面积$x$($m^2$)之间的函数关系如图②所示.如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道的宽为多少米时，修建的通道和花圃的总造价为105 920元？
答案
9. (1) $4a^2-200a+2400$
(2) $\because$ 通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{3}{8}$,$\therefore$ 花圃所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{5}{8}$,$\therefore 4a^2-200a+2400=60×40×\frac{5}{8}$,解得$a_1=5$,$a_2=45$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 此时通道的宽为5 m
(3) 当a=10时,花圃面积为$(60-2×10)×(40-2×10)=800(\mathrm{m}^2)$,即修建花圃的最小面积为$800\ \mathrm{m}^2$.根据图象可设$y_1=mx$,$y_2=kx+b$,将$(1\ 200,48\ 000)$代入$y_1=mx$,得$1\ 200m=48\ 000$,解得$m=40$,$\therefore y_1=40x$.将$(800,48\ 000)$,$(1\ 200,62\ 000)$代入$y_2=kx+b$,得$\begin{cases}800k+b=48\ 000,\\1\ 200k+b=62\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=35,\\b=20\ 000,\end{cases}$$\therefore y_2=35x+20\ 000$.$\because$ 花圃面积为$(4a^2-200a+2400)\mathrm{m}^2$,$\therefore$ 通道面积为$2\ 400-(4a^2-200a+2400)=(-4a^2+200a)\mathrm{m}^2$,$\therefore 35(4a^2-200a+2400)+20\ 000+40(-4a^2+200a)=105\ 920$,解得$a_1=2$,$a_2=48$(舍去).答:通道的宽为2 m时,修建的通道和花圃的总造价为105 920元。
(2) $\because$ 通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{3}{8}$,$\therefore$ 花圃所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{5}{8}$,$\therefore 4a^2-200a+2400=60×40×\frac{5}{8}$,解得$a_1=5$,$a_2=45$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 此时通道的宽为5 m
(3) 当a=10时,花圃面积为$(60-2×10)×(40-2×10)=800(\mathrm{m}^2)$,即修建花圃的最小面积为$800\ \mathrm{m}^2$.根据图象可设$y_1=mx$,$y_2=kx+b$,将$(1\ 200,48\ 000)$代入$y_1=mx$,得$1\ 200m=48\ 000$,解得$m=40$,$\therefore y_1=40x$.将$(800,48\ 000)$,$(1\ 200,62\ 000)$代入$y_2=kx+b$,得$\begin{cases}800k+b=48\ 000,\\1\ 200k+b=62\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=35,\\b=20\ 000,\end{cases}$$\therefore y_2=35x+20\ 000$.$\because$ 花圃面积为$(4a^2-200a+2400)\mathrm{m}^2$,$\therefore$ 通道面积为$2\ 400-(4a^2-200a+2400)=(-4a^2+200a)\mathrm{m}^2$,$\therefore 35(4a^2-200a+2400)+20\ 000+40(-4a^2+200a)=105\ 920$,解得$a_1=2$,$a_2=48$(舍去).答:通道的宽为2 m时,修建的通道和花圃的总造价为105 920元。
解析
【分析】
（1）求花圃面积先确定花圃的长宽：通道宽为a m，因此花圃的长为(60-2a)m，宽为(40-2a)m，根据矩形面积公式即可列出含a的表达式并化简。
（2）通道面积占总面积的$\frac{3}{8}$，则花圃面积占总面积的$1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$，先计算整块矩形空地的面积，结合（1）中花圃面积的表达式列一元二次方程求解，再根据实际意义舍去不符合的根。
（3）首先根据函数图象用待定系数法分别求出通道造价$y_1$、花圃造价$y_2$的函数解析式；再用含a的式子分别表示花圃和通道的面积，结合总造价为105920元列方程求解，最后根据通道宽的范围$2≤a≤10$舍去不符合的根。
【解析】
（1）花圃的长为$(60-2a)\mathrm{m}$，宽为$(40-2a)\mathrm{m}$，面积为：
$(60-2a)(40-2a)=4a^2-200a+2400$
（2）整块矩形空地的面积为$60×40=2400\ \mathrm{m}^2$，由题意得花圃面积为总面积的$\frac{5}{8}$，列方程：
$4a^2-200a+2400=2400×\frac{5}{8}$
化简得$a^2-50a+225=0$，解得$a_1=5$，$a_2=45$。
∵ 通道宽需满足$2a＜40$即$a＜20$，
∴$a=45$不符合题意舍去。
（3）① 设$y_1=mx$，将$(1200,48000)$代入得$1200m=48000$，解得$m=40$，即$y_1=40x$。
② 当$a=10$时，花圃面积最小为$(60-2×10)(40-2×10)=800\ \mathrm{m}^2$，设$y_2=kx+b$，将$(800,48000)$、$(1200,62000)$代入得：
$\begin{cases}800k+b=48000\\1200k+b=62000\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=35\\b=20000\end{cases}$，即$y_2=35x+20000$。
通道面积为$2400-(4a^2-200a+2400)=-4a^2+200a$，总造价为105920元，列方程：
$35(4a^2-200a+2400)+20000+40(-4a^2+200a)=105920$
化简得$a^2-50a+96=0$，解得$a_1=2$，$a_2=48$。
∵$2≤a≤10$，
∴$a=48$不符合题意舍去。
【答案】
(1) $4a^2-200a+2400$
(2) $5\ \mathrm{m}$
(3) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景融合了矩形面积计算、一元二次方程求解、待定系数法求一次函数解析式等多个考点，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，要对解进行验证，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.6
（1）求花圃面积先确定花圃的长宽：通道宽为a m，因此花圃的长为(60-2a)m，宽为(40-2a)m，根据矩形面积公式即可列出含a的表达式并化简。
（2）通道面积占总面积的$\frac{3}{8}$，则花圃面积占总面积的$1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$，先计算整块矩形空地的面积，结合（1）中花圃面积的表达式列一元二次方程求解，再根据实际意义舍去不符合的根。
（3）首先根据函数图象用待定系数法分别求出通道造价$y_1$、花圃造价$y_2$的函数解析式；再用含a的式子分别表示花圃和通道的面积，结合总造价为105920元列方程求解，最后根据通道宽的范围$2≤a≤10$舍去不符合的根。
【解析】
（1）花圃的长为$(60-2a)\mathrm{m}$，宽为$(40-2a)\mathrm{m}$，面积为：
$(60-2a)(40-2a)=4a^2-200a+2400$
（2）整块矩形空地的面积为$60×40=2400\ \mathrm{m}^2$，由题意得花圃面积为总面积的$\frac{5}{8}$，列方程：
$4a^2-200a+2400=2400×\frac{5}{8}$
化简得$a^2-50a+225=0$，解得$a_1=5$，$a_2=45$。
∵ 通道宽需满足$2a＜40$即$a＜20$，
∴$a=45$不符合题意舍去。
（3）① 设$y_1=mx$，将$(1200,48000)$代入得$1200m=48000$，解得$m=40$，即$y_1=40x$。
② 当$a=10$时，花圃面积最小为$(60-2×10)(40-2×10)=800\ \mathrm{m}^2$，设$y_2=kx+b$，将$(800,48000)$、$(1200,62000)$代入得：
$\begin{cases}800k+b=48000\\1200k+b=62000\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=35\\b=20000\end{cases}$，即$y_2=35x+20000$。
通道面积为$2400-(4a^2-200a+2400)=-4a^2+200a$，总造价为105920元，列方程：
$35(4a^2-200a+2400)+20000+40(-4a^2+200a)=105920$
化简得$a^2-50a+96=0$，解得$a_1=2$，$a_2=48$。
∵$2≤a≤10$，
∴$a=48$不符合题意舍去。
【答案】
(1) $4a^2-200a+2400$
(2) $5\ \mathrm{m}$
(3) $2\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景融合了矩形面积计算、一元二次方程求解、待定系数法求一次函数解析式等多个考点，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，要对解进行验证，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.6
