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1 [2025福建]如图，为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m²的矩形菜地作为实践基地.设矩形菜地的一边长为x m，根据题意可列方程为 （
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：矩形邻边靠直角围墙，因此篱笆仅需围剩下的两条相邻边。第一步先根据篱笆总长表示出矩形的两条边长：已知一边长为x m，那么另一边长为篱笆总长减去x，即(5-x)m；第二步结合矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为6 m²，将两条边长代入公式即可列出对应方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
∵ 矩形菜地的两条邻边依托直角围墙，因此总长5m的篱笆是矩形另外两条相邻边的长度和。
已知矩形一条边长为x m，则另一条相邻边长为(5 - x)m，
又
∵ 矩形菜地面积为6 m²，根据矩形面积公式可得：
$x(5 - x) = 6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实践场景考查根据实际问题列方程，解题的核心是准确理解篱笆围的边数，正确表示出矩形的另一条边长，属于基础类题目，注重对审题能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：矩形邻边靠直角围墙，因此篱笆仅需围剩下的两条相邻边。第一步先根据篱笆总长表示出矩形的两条边长：已知一边长为x m，那么另一边长为篱笆总长减去x，即(5-x)m；第二步结合矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为6 m²，将两条边长代入公式即可列出对应方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
∵ 矩形菜地的两条邻边依托直角围墙，因此总长5m的篱笆是矩形另外两条相邻边的长度和。
已知矩形一条边长为x m，则另一条相邻边长为(5 - x)m，
又
∵ 矩形菜地面积为6 m²，根据矩形面积公式可得：
$x(5 - x) = 6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实践场景考查根据实际问题列方程，解题的核心是准确理解篱笆围的边数，正确表示出矩形的另一条边长，属于基础类题目，注重对审题能力的考查。
【难度系数】
0.8
2 一根长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为160 cm²，则这两个正方形的边长分别为
4 cm,12 cm
.答案
2. 4 cm,12 cm
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：铁丝总长64cm，折成两个正方形后面积和为160cm²。我们可以通过设未知数的方法求解：先设其中一个正方形的边长为x，根据两个正方形的周长总和为64cm，推出另一个正方形的边长表达式，再结合“面积和为160cm²”的等量关系列一元二次方程，求解后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{cm} $。
剩余铁丝长度为$ 64 - 4x \, \mathrm{cm} $，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据两个正方形的面积和为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 \\2x^2 - 32x + 96 = 0 \x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 12) = 0$
解得$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $。
当$ x = 4 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 4 = 12 \, \mathrm{cm} $；当$ x = 12 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 12 = 4 \, \mathrm{cm} $，均符合实际意义。
【答案】
4 cm，12 cm
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长与面积计算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的方程与几何结合的应用题，解题核心是利用周长的数量关系表示出两个正方形的边长，再结合面积的等量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：铁丝总长64cm，折成两个正方形后面积和为160cm²。我们可以通过设未知数的方法求解：先设其中一个正方形的边长为x，根据两个正方形的周长总和为64cm，推出另一个正方形的边长表达式，再结合“面积和为160cm²”的等量关系列一元二次方程，求解后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则该正方形的周长为$ 4x \, \mathrm{cm} $。
剩余铁丝长度为$ 64 - 4x \, \mathrm{cm} $，因此另一个正方形的边长为$ \frac{64 - 4x}{4} = (16 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据两个正方形的面积和为$ 160 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$x^2 + (16 - x)^2 = 160$
展开并整理方程：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160 \\2x^2 - 32x + 96 = 0 \x^2 - 16x + 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 12) = 0$
解得$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 12 $。
当$ x = 4 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 4 = 12 \, \mathrm{cm} $；当$ x = 12 $时，另一个正方形边长为$ 16 - 12 = 4 \, \mathrm{cm} $，均符合实际意义。
【答案】
4 cm，12 cm
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长与面积计算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的方程与几何结合的应用题，解题核心是利用周长的数量关系表示出两个正方形的边长，再结合面积的等量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
3 如图，小明同学用长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm²的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折起即可（损耗不计）。设剪去的正方形的边长为x cm，则可列出关于x的方程为
$(11-2x)(7-2x)=21$
（不必化简）。答案
3. $(11-2x)(7-2x)=21$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需明确折成的无盖长方体纸盒底面的长和宽：原矩形纸板的长为11cm、宽为7cm，四个角各剪去边长为x cm的正方形后，底面的长需要在原长的基础上减去左右两个剪去的正方形的边长，即$(11-2x)$cm；底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个剪去的正方形的边长，即$(7-2x)$cm。再根据“矩形面积=长×宽”，结合已知底面积为$21\mathrm{cm}^2$，即可列出方程。
【解析】
设剪去的正方形的边长为$x$ cm，
则折成的无盖长方体纸盒的底面长为$(11-2x)$cm，底面宽为$(7-2x)$cm，
根据底面积为$21\mathrm{cm}^2$，结合矩形面积公式可得：
$(11-2x)(7-2x)=21$
【答案】
$(11-2x)(7-2x)=21$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是准确找到折叠后未知量和已知量的数量关系，重点考查学生结合图形分析数量关系的能力，掌握该类题的分析逻辑可快速求解同类折叠类面积问题。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需明确折成的无盖长方体纸盒底面的长和宽：原矩形纸板的长为11cm、宽为7cm，四个角各剪去边长为x cm的正方形后，底面的长需要在原长的基础上减去左右两个剪去的正方形的边长，即$(11-2x)$cm；底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个剪去的正方形的边长，即$(7-2x)$cm。再根据“矩形面积=长×宽”，结合已知底面积为$21\mathrm{cm}^2$，即可列出方程。
【解析】
设剪去的正方形的边长为$x$ cm，
则折成的无盖长方体纸盒的底面长为$(11-2x)$cm，底面宽为$(7-2x)$cm，
根据底面积为$21\mathrm{cm}^2$，结合矩形面积公式可得：
$(11-2x)(7-2x)=21$
【答案】
$(11-2x)(7-2x)=21$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是准确找到折叠后未知量和已知量的数量关系，重点考查学生结合图形分析数量关系的能力，掌握该类题的分析逻辑可快速求解同类折叠类面积问题。
【难度系数】
0.8
4 [2025宿迁段考]某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙(墙AB的长为10 m)，另外三边用木栏围成，木栏总长20 m，设动物场CD边的长为x m.
（1）当矩形动物场的面积为48 m²时，求CD边的长.
（2）能否围成面积为52 m²的矩形动物场？请说明理由.
（1）当矩形动物场的面积为48 m²时，求CD边的长.
（2）能否围成面积为52 m²的矩形动物场？请说明理由.
答案
4. (1) $\because CD=x\ \mathrm{m},\therefore DE=(20-2x)\mathrm{m}.\because AB=10\ \mathrm{m}$,木栏总长为20 m,$\therefore 0＜20-2x≤10,\therefore 5≤ x＜10$. 根据题意,得$x(20-2x)=48$,即$-2x^2+20x=48$,解得$x_1=4$(舍去),$x_2=6$. $\therefore CD$边的长为6 m
(2) 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场 理由:假设能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场,则$x(20-2x)=52$,整理,得$x^2-10x+26=0$. $\because \Delta=100-4×1×26=-4＜0,\therefore$ 方程没有实数根,$\therefore$ 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场.
(2) 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场 理由:假设能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场,则$x(20-2x)=52$,整理,得$x^2-10x+26=0$. $\because \Delta=100-4×1×26=-4＜0,\therefore$ 方程没有实数根,$\therefore$ 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：1. 先明确木栏围成的三边关系：CD与EF长度相等均为x m，因此平行于墙的边DE的长度为总长减去2倍的CD长，即(20-2x)m；2. 结合墙长10m的限制，DE的长度需满足0＜20-2x≤10，先求出自变量x的取值范围为5≤x＜10，后续解出的根需符合该范围才有效；3. 第一问根据矩形面积=长×宽列方程，求解后舍去不符合范围的根即可得到CD的长；4. 第二问先假设能围成对应面积的矩形，同样列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不能围成。
【解析】
（1）已知CD边长为x m，则EF=CD=x m，因此平行于墙的边DE的长度为(20-2x)m。
结合墙AB长10m，可得DE的取值范围：$0＜20-2x≤10$，解得$5≤x＜10$。
根据矩形面积为48 m²列方程：
$x(20-2x)=48$
整理得：$-2x^2+20x=48$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
∵ $4＜5$，不符合x的取值范围，故舍去$x_1=4$，因此$x=6$。
（2）不能围成面积为52 m²的矩形动物场，理由如下：
假设能围成面积为52 m²的矩形动物场，根据面积公式列方程：
$x(20-2x)=52$
整理得：$x^2-10x+26=0$
计算根的判别式：$\Delta = 10^2 -4×1×26 = 100-104=-4＜0$
∴ 该一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的x，不能围成面积为52 m²的矩形动物场。
【答案】
(1) CD边的长为6 m；
(2) 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场，理由见解析。
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题是典型的实际背景下的一元二次方程应用问题，解题时需注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，对求解结果进行合理性检验，判断能否达成目标的问题可通过根的判别式快速判断方程是否存在有效实数解，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：1. 先明确木栏围成的三边关系：CD与EF长度相等均为x m，因此平行于墙的边DE的长度为总长减去2倍的CD长，即(20-2x)m；2. 结合墙长10m的限制，DE的长度需满足0＜20-2x≤10，先求出自变量x的取值范围为5≤x＜10，后续解出的根需符合该范围才有效；3. 第一问根据矩形面积=长×宽列方程，求解后舍去不符合范围的根即可得到CD的长；4. 第二问先假设能围成对应面积的矩形，同样列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不能围成。
【解析】
（1）已知CD边长为x m，则EF=CD=x m，因此平行于墙的边DE的长度为(20-2x)m。
结合墙AB长10m，可得DE的取值范围：$0＜20-2x≤10$，解得$5≤x＜10$。
根据矩形面积为48 m²列方程：
$x(20-2x)=48$
整理得：$-2x^2+20x=48$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
∵ $4＜5$，不符合x的取值范围，故舍去$x_1=4$，因此$x=6$。
（2）不能围成面积为52 m²的矩形动物场，理由如下：
假设能围成面积为52 m²的矩形动物场，根据面积公式列方程：
$x(20-2x)=52$
整理得：$x^2-10x+26=0$
计算根的判别式：$\Delta = 10^2 -4×1×26 = 100-104=-4＜0$
∴ 该一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的x，不能围成面积为52 m²的矩形动物场。
【答案】
(1) CD边的长为6 m；
(2) 不能围成面积为$52\ \mathrm{m}^2$的矩形动物场，理由见解析。
【知识点】
矩形面积计算；一元二次方程的应用；根的判别式应用
【点评】
本题是典型的实际背景下的一元二次方程应用问题，解题时需注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，对求解结果进行合理性检验，判断能否达成目标的问题可通过根的判别式快速判断方程是否存在有效实数解，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
5 如图，公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域(涂色部分)栽种鲜花，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m.若剩余空地的面积为18 m²，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为 (
A.$x^2=18$
B.$(x-1)^2=18$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$(x-2)^2=18$
C
)A.$x^2=18$
B.$(x-1)^2=18$
C.$(x-1)(x-2)=18$
D.$(x-2)^2=18$
答案
5. C
解析
【分析】
首先明确剩余空地的形状为长方形。已知原正方形空地的边长为x m，原空地一边减少1m后，剩余长方形的其中一条边长为(x-1)m；另一边减少2m后，剩余长方形的另一条边长为(x-2)m。再根据长方形面积计算公式，结合题目给出的剩余空地面积为18m²，即可列出对应方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m。
由题意可知，剩余空地为长方形，两条邻边的长度分别为$(x-1)\mathrm{m}$和$(x-2)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合剩余空地面积为$18\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题关键是准确分析剩余图形的形状及对应边长，结合面积公式建立等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确剩余空地的形状为长方形。已知原正方形空地的边长为x m，原空地一边减少1m后，剩余长方形的其中一条边长为(x-1)m；另一边减少2m后，剩余长方形的另一条边长为(x-2)m。再根据长方形面积计算公式，结合题目给出的剩余空地面积为18m²，即可列出对应方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m。
由题意可知，剩余空地为长方形，两条邻边的长度分别为$(x-1)\mathrm{m}$和$(x-2)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合剩余空地面积为$18\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(x-1)(x-2)=18$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题关键是准确分析剩余图形的形状及对应边长，结合面积公式建立等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
