11 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是。

11. $m＞\frac{1}{2}$

12 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -6x +2m -1=0 $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $。
(1) 若 $ x_1=1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2) 新考向 存在性问题 是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m -5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。

12. (1) 由题意，得$\begin{cases}1+x_2=6,\\1· x_2=2m-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_2=5,\\m=3\end{cases}$ (2) 存在 根据题意，得$(-6)^2-4(2m-1)≥0$，解得$m≤5$。假设存在实数m，满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$，即$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$。$\because x_1+x_2=6,x_1x_2=2m-1,\therefore 2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$。化简，得$m^2-8m+12=0$，解得$m_1=2,m_2=6$。$\because m≤5$且$m-5≠0,\therefore m=2$。经检验，$m=2$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore$ 假设成立，即存在实数$m=2$，满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$。

13 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
（1）求实数$k$的取值范围.
（2）是否存在实数$k$,使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立？若存在,请求出$k$的值；若不存在,请说明理由.

13. (1) $\because$ 方程有两个实数根，$\therefore \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)=1-4k≥0$，解得$k≤\frac{1}{4}$ (2) 不存在 理由：假设存在实数k，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。$\because x_1,x_2$是原方程的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+2k$。$\because x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$，即$x_1x_2-x_1^2-x_2^2≥0,\therefore 3x_1x_2-(x_1+x_2)^2≥0$，即$3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0$。整理，得$(k-1)^2≤0.\therefore k=1$。由(1)，知$k≤\frac{1}{4}$，$\therefore$ 不存在实数k，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。

14 [2025 宿迁]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，求$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)$的值。

14. $\because$ 方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n,\therefore m^2-2024m-2025=0,n^2-2024n-2025=0,m+n=2024,mn=-2025,\therefore m^2=2024m+2025,n^2=2024n+2025,\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$