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11 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
。答案
11. $m＞\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时需从题干给出的两个核心条件入手思考：首先，方程是有两个实数根的一元二次方程，需满足根的判别式非负；其次，两个实数根之积为负数，可结合根与系数的关系（韦达定理）列不等式求解。首先用韦达定理表示出两根之积，结合积为负列不等式得到m的初步范围，再验证该范围下判别式是否满足有实根的要求，最终得到m的取值范围。
【解析】
设方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此：
$x_1x_2=-2m+1$
由题意两根之积为负数，可得不等式：
$-2m+1＜0$
解得：$m＞\frac{1}{2}$
2. 验证根的判别式：$\Delta=b^2-4ac$，代入$a=1,b=2,c=-2m+1$得：
$\Delta=2^2-4×1×(-2m+1)=4+8m-4=8m$
当$m＞\frac{1}{2}$时，$\Delta=8m＞4＞0$，满足方程有两个实数根的要求。
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，解题时要注意不能遗漏验证判别式的步骤，保证所求参数范围下方程确实存在符合条件的实数根。
【难度系数】
0.7
解题时需从题干给出的两个核心条件入手思考：首先，方程是有两个实数根的一元二次方程，需满足根的判别式非负；其次，两个实数根之积为负数，可结合根与系数的关系（韦达定理）列不等式求解。首先用韦达定理表示出两根之积，结合积为负列不等式得到m的初步范围，再验证该范围下判别式是否满足有实根的要求，最终得到m的取值范围。
【解析】
设方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此：
$x_1x_2=-2m+1$
由题意两根之积为负数，可得不等式：
$-2m+1＜0$
解得：$m＞\frac{1}{2}$
2. 验证根的判别式：$\Delta=b^2-4ac$，代入$a=1,b=2,c=-2m+1$得：
$\Delta=2^2-4×1×(-2m+1)=4+8m-4=8m$
当$m＞\frac{1}{2}$时，$\Delta=8m＞4＞0$，满足方程有两个实数根的要求。
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，解题时要注意不能遗漏验证判别式的步骤，保证所求参数范围下方程确实存在符合条件的实数根。
【难度系数】
0.7
12 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -6x +2m -1=0 $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $。
(1) 若 $ x_1=1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2) 新考向 存在性问题 是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m -5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。
(1) 若 $ x_1=1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2) 新考向 存在性问题 是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m -5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。
答案
12. (1) 由题意，得$\begin{cases}1+x_2=6,\\1· x_2=2m-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_2=5,\\m=3\end{cases}$ (2) 存在 根据题意，得$(-6)^2-4(2m-1)≥0$，解得$m≤5$。假设存在实数m，满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$，即$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$。$\because x_1+x_2=6,x_1x_2=2m-1,\therefore 2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$。化简，得$m^2-8m+12=0$，解得$m_1=2,m_2=6$。$\because m≤5$且$m-5≠0,\therefore m=2$。经检验，$m=2$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore$ 假设成立，即存在实数$m=2$，满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程的一个根，可直接利用根与系数的关系（韦达定理），先根据两根之和求出另一个根$x_2$，再根据两根之积求出$m$的值。
(2) 解决存在性问题首先要明确前提：方程有两个实数根，因此先通过根的判别式$\Delta≥0$求出$m$的取值范围；再将等式左边$(x_1-1)(x_2-1)$展开，用韦达定理替换为含$m$的代数式，得到关于$m$的分式方程，解方程后需检验解是否满足判别式范围、分式分母不为0两个条件，符合要求则$m$存在，反之不存在。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$，由根与系数的关系可得：
$\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1x_2=2m-1\end{cases}$
将$x_1=1$代入上述方程组，得：
$\begin{cases}1+x_2=6\\1· x_2=2m-1\end{cases}$
解第一个方程得$x_2=5$，将$x_2=5$代入第二个方程，得$5=2m-1$，解得$m=3$。
(2) 存在，理由如下：
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta≥0$，即：
$(-6)^2-4(2m-1)≥0$
化简得$36-8m+4≥0$，解得$m≤5$，且分式分母不为0，故$m≠5$。
假设存在实数$m$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m -5}$，将左边展开得：
$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$
代入$x_1+x_2=6$、$x_1x_2=2m-1$，得：
$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$
化简得$2m-6=\frac{6}{m-5}$，两边同乘$(m-5)$整理得：
$m^2-8m+12=0$
因式分解得$(m-2)(m-6)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=6$。
结合$m≤5$且$m≠5$的要求，$m=6$不符合条件舍去，$m=2$符合所有要求，且是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；
(2) 存在，$m=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，分式方程的检验
【点评】
本题考查一元二次方程的综合应用，第一问为韦达定理的基础应用，难度较低；第二问的存在性问题需要注意先确定参数的取值范围，解分式方程后必须检验解是否符合前提条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.65
(1) 已知一元二次方程的一个根，可直接利用根与系数的关系（韦达定理），先根据两根之和求出另一个根$x_2$，再根据两根之积求出$m$的值。
(2) 解决存在性问题首先要明确前提：方程有两个实数根，因此先通过根的判别式$\Delta≥0$求出$m$的取值范围；再将等式左边$(x_1-1)(x_2-1)$展开，用韦达定理替换为含$m$的代数式，得到关于$m$的分式方程，解方程后需检验解是否满足判别式范围、分式分母不为0两个条件，符合要求则$m$存在，反之不存在。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$，由根与系数的关系可得：
$\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1x_2=2m-1\end{cases}$
将$x_1=1$代入上述方程组，得：
$\begin{cases}1+x_2=6\\1· x_2=2m-1\end{cases}$
解第一个方程得$x_2=5$，将$x_2=5$代入第二个方程，得$5=2m-1$，解得$m=3$。
(2) 存在，理由如下：
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta≥0$，即：
$(-6)^2-4(2m-1)≥0$
化简得$36-8m+4≥0$，解得$m≤5$，且分式分母不为0，故$m≠5$。
假设存在实数$m$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m -5}$，将左边展开得：
$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$
代入$x_1+x_2=6$、$x_1x_2=2m-1$，得：
$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$
化简得$2m-6=\frac{6}{m-5}$，两边同乘$(m-5)$整理得：
$m^2-8m+12=0$
因式分解得$(m-2)(m-6)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=6$。
结合$m≤5$且$m≠5$的要求，$m=6$不符合条件舍去，$m=2$符合所有要求，且是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；
(2) 存在，$m=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，分式方程的检验
【点评】
本题考查一元二次方程的综合应用，第一问为韦达定理的基础应用，难度较低；第二问的存在性问题需要注意先确定参数的取值范围，解分式方程后必须检验解是否符合前提条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.65
13 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
（1）求实数$k$的取值范围.
（2）是否存在实数$k$,使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立？若存在,请求出$k$的值；若不存在,请说明理由.
（1）求实数$k$的取值范围.
（2）是否存在实数$k$,使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立？若存在,请求出$k$的值；若不存在,请说明理由.
答案
13. (1) $\because$ 方程有两个实数根，$\therefore \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)=1-4k≥0$，解得$k≤\frac{1}{4}$ (2) 不存在 理由：假设存在实数k，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。$\because x_1,x_2$是原方程的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+2k$。$\because x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$，即$x_1x_2-x_1^2-x_2^2≥0,\therefore 3x_1x_2-(x_1+x_2)^2≥0$，即$3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0$。整理，得$(k-1)^2≤0.\therefore k=1$。由(1)，知$k≤\frac{1}{4}$，$\therefore$ 不存在实数k，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根，只需代入方程对应系数计算判别式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）对于涉及两根的代数式不等式问题，优先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将目标不等式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$k$的不等式，求解后结合第一问得到的$k$的取值范围验证，若解在范围内则存在，否则不存在。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$，
代入系数得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+2k) \\&=4k^2+4k+1 - 4k^2 -8k \\&=1-4k\end{aligned}$
即$1-4k≥0$，
解得$k≤ \frac{1}{4}$。
（2）不存在实数$k$使得不等式成立，理由如下：
假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$，
将不等式变形：
$x_1x_2 - x_1^2 -x_2^2 ≥0$，
利用完全平方公式变形得：$x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] ≥0$，
整理得：$3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2 ≥0$，
代入两根和与积的表达式：
$3(k^2+2k) - (2k+1)^2 ≥0$，
展开计算：
$\begin{aligned}3k^2+6k - (4k^2+4k+1) &≥0 \\-k^2+2k-1 &≥0 \\(k-1)^2 &≤0\end{aligned}$
$\therefore$ 只有$k=1$时不等式成立，
由（1）知$k≤ \frac{1}{4}$，$1＞\frac{1}{4}$，不符合条件，
$\therefore$ 不存在实数$k$使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
【答案】
（1）$k≤ \frac{1}{4}$；（2）不存在，理由见解析
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，第一问直接考察判别式的基本应用，难度较低；第二问需要掌握两根代数式的常见变形技巧，同时要注意所求$k$值必须满足方程有实根的前提条件，避免忽略取值范围导致出错。
【难度系数】
0.65
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根，只需代入方程对应系数计算判别式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）对于涉及两根的代数式不等式问题，优先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将目标不等式变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$k$的不等式，求解后结合第一问得到的$k$的取值范围验证，若解在范围内则存在，否则不存在。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$，
代入系数得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+2k) \\&=4k^2+4k+1 - 4k^2 -8k \\&=1-4k\end{aligned}$
即$1-4k≥0$，
解得$k≤ \frac{1}{4}$。
（2）不存在实数$k$使得不等式成立，理由如下：
假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$，
将不等式变形：
$x_1x_2 - x_1^2 -x_2^2 ≥0$，
利用完全平方公式变形得：$x_1x_2 - [(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2] ≥0$，
整理得：$3x_1x_2 - (x_1+x_2)^2 ≥0$，
代入两根和与积的表达式：
$3(k^2+2k) - (2k+1)^2 ≥0$，
展开计算：
$\begin{aligned}3k^2+6k - (4k^2+4k+1) &≥0 \\-k^2+2k-1 &≥0 \\(k-1)^2 &≤0\end{aligned}$
$\therefore$ 只有$k=1$时不等式成立，
由（1）知$k≤ \frac{1}{4}$，$1＞\frac{1}{4}$，不符合条件，
$\therefore$ 不存在实数$k$使得$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$成立。
【答案】
（1）$k≤ \frac{1}{4}$；（2）不存在，理由见解析
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，第一问直接考察判别式的基本应用，难度较低；第二问需要掌握两根代数式的常见变形技巧，同时要注意所求$k$值必须满足方程有实根的前提条件，避免忽略取值范围导致出错。
【难度系数】
0.65
14 [2025 宿迁]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，求$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)$的值。
答案
14. $\because$ 方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n,\therefore m^2-2024m-2025=0,n^2-2024n-2025=0,m+n=2024,mn=-2025,\therefore m^2=2024m+2025,n^2=2024n+2025,\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根，要求含两根的代数式的值，解题时无需直接求解m、n的具体值，可按以下思路推导：①根据一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到关于m²、n²的表达式，实现降次；②将得到的m²、n²代入待求代数式，化简得到含m+n和mn的形式；③利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
对上述根的定义式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将其代入待求式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
再将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程中代数式求值的典型题型，核心是运用降次思想和整体代入思想，避免直接求解方程根带来的复杂运算，能够有效考察对相关知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题已知一元二次方程的两根，要求含两根的代数式的值，解题时无需直接求解m、n的具体值，可按以下思路推导：①根据一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到关于m²、n²的表达式，实现降次；②将得到的m²、n²代入待求代数式，化简得到含m+n和mn的形式；③利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
对上述根的定义式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将其代入待求式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
再将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程中代数式求值的典型题型，核心是运用降次思想和整体代入思想，避免直接求解方程根带来的复杂运算，能够有效考察对相关知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
