1. 在平面直角坐标系中,已知点$M(2m-6,m+2)$.
(1)若点 M 在第二象限,则 m 的取值范围是;
(2)若点 M 到 y 轴的距离为 5,则 m =;
(3)若 m =2,则点 M 关于 x 轴对称的点$M_1$的坐标是,关于原点对称的点$M_2$的坐标是;
(4)当 m =5时,将点 M 先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的点的坐标是,该点到原点的距离是;
(5)若点 M 到两坐标轴的距离相等,求 m 的值;
(6)若点 M 在坐标轴上,求 m 的值;
(7)若点 M 的纵坐标比横坐标大6,则点 M 在第几象限?
(8)若点 M 和点 N 都在过点 A(2,3)且与 x 轴平行的直线上,AN =3,求点 M,N 的坐标.

(1) 由题意,得$\begin{cases}2m-6＜0,\\m+2＞0,\end{cases}$解得$-2＜m＜3$.
(2) 由题意,得$2m-6=5$或$2m-6=-5$,解得$m=\dfrac{11}{2}$或$m=\dfrac{1}{2}$.
(3) 当$m=2$时,点$M$的坐标为$(-2,4)$,故点$M$关于$x$轴对称的点$M_1$的坐标是$(-2,-4)$,关于原点对称的点$M_2$的坐标是$(2,-4)$.
(4) 当$m=5$时,点$M$的坐标为$(4,7)$.将点$M$先向右平移4个单位长度,得对应点的坐标为$(8,7)$,再向上平移2个单位长度,得对应点的坐标为$(8,9)$.该点到原点的距离是$\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{145}$.
(5) 由题意,得$|2m-6|=|m+2|$,
$\therefore 2m-6=m+2$或$2m-6=-m-2$,解得$m=8$或$m=\dfrac{4}{3}$.
(6) 当点$M$在$x$轴上时,$m+2=0$,解得$m=-2$;
当点$M$在$y$轴上时,$2m-6=0$,解得$m=3$.
综上,$m$的值为$-2$或$3$.
(7) 根据题意,得$2m-6+6=m+2$,
解得$m=2$,
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-2,4)$,
$\therefore$ 点$M$在第二象限.
(8) $\because$ 点$M,N$都在过点$A(2,3)$且与$x$轴平行的直线上,
$\therefore$ 点$M,N$的纵坐标均为$3$.
$\because AN=3,M(2m-6,m+2)$,
$\therefore$ 点$N$的横坐标为$-1$或$5$,$m+2=3$,
$\therefore m=1$,$2m-6=-4$,
$\therefore$ 点$N$的坐标为$(-1,3)$或$(5,3)$,点$M$的坐标为$(-4,3)$.

【分析】
本题围绕平面直角坐标系中点的坐标性质设置问题，解题时可根据每小问的对应考点逐步推导：
1. 第二象限内点的符号特征为横坐标负、纵坐标正，据此列不等式组可求m的取值范围；
2. 点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，列绝对值方程即可求解；
3. 先代入m=2求出点M坐标，再根据对称点的坐标规律：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，写出对应点坐标；
4. 先代入m=5求点M坐标，再根据平移规律“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”求平移后坐标，最后用勾股定理计算该点到原点的距离；
5. 点到两坐标轴距离相等即横、纵坐标的绝对值相等，列绝对值方程求解即可；
6. 坐标轴上的点分两类：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分情况计算即可；
7. 根据“纵坐标比横坐标大6”列方程求出m，得到点M坐标后即可判断所在象限；
8. 与x轴平行的直线上所有点纵坐标相同，先求出m得到点M坐标，再根据AN=3分点N在点A左侧、右侧两种情况求N的坐标。
【解析】
(1) 由点M在第二象限，得$\begin{cases}2m-6＜0,\\m+2＞0,\end{cases}$解得$-2＜m＜3$。
(2) 由点M到y轴的距离为5，得$|2m-6|=5$，即$2m-6=5$或$2m-6=-5$，解得$m=\dfrac{11}{2}$或$m=\dfrac{1}{2}$。
(3) 当$m=2$时，$2m-6=-2$，$m+2=4$，即点$M(-2,4)$；关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标变号，故$M_1(-2,-4)$；关于原点对称的点横、纵坐标均变号，故$M_2(2,-4)$。
(4) 当$m=5$时，$2m-6=4$，$m+2=7$，即点$M(4,7)$；向右平移4个单位后横坐标为$4+4=8$，向上平移2个单位后纵坐标为$7+2=9$，即平移后坐标为$(8,9)$；到原点的距离为$\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{145}$。
(5) 由点M到两坐标轴距离相等，得$|2m-6|=|m+2|$，即$2m-6=m+2$或$2m-6=-m-2$，解得$m=8$或$m=\dfrac{4}{3}$。
(6) 当点M在x轴上时，$m+2=0$，解得$m=-2$；当点M在y轴上时，$2m-6=0$，解得$m=3$；综上$m=-2$或$m=3$。
(7) 由题意得$m+2-(2m-6)=6$，解得$m=2$，此时点M坐标为$(-2,4)$，故点M在第二象限。
(8) 过点A(2,3)且与x轴平行的直线上点的纵坐标均为3，故$m+2=3$，解得$m=1$，则$2m-6=-4$，即点M坐标为$(-4,3)$；由AN=3，得点N的横坐标为$2-3=-1$或$2+3=5$，故点N坐标为$(-1,3)$或$(5,3)$。
【答案】
(1) $-2＜m＜3$
(2) $\dfrac{11}{2}$或$\dfrac{1}{2}$
(3) $(-2,-4)$；$(2,-4)$
(4) $(8,9)$；$\sqrt{145}$
(5) $m=8$或$m=\dfrac{4}{3}$
(6) $m=-2$或$m=3$
(7) 第二象限
(8) $M(-4,3)$，$N(-1,3)$或$(5,3)$
【知识点】
点的坐标特征，坐标的对称与平移，两点间距离计算
【点评】
本题全面覆盖平面直角坐标系中点的坐标相关核心考点，各小问由易到难，既考查基础性质的识记应用，也渗透了分类讨论的数学思想，是巩固坐标系相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7

2. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,现有A,B,C三点,其中点A的坐标为$(-4,1)$,点B的坐标为$(1,1)$.
(1)请根据点A,B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C的坐标:;
(2)依次连接A,B,C,A,得到$△ ABC$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3)若点C关于直线AB的对称点为点D,则点D的坐标为;
(4)在$y$轴上找一点$F$,使$△ ABF$的面积等于$△ ABD$的面积,点$F$的坐标为.

(1) 建立的平面直角坐标系如图所示:
(2)$△ ABC$为直角三角形.理由如下:
由网格图,知$AB^2=5^2=25$,$AC^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=2^2+4^2=20$.
$\because 20+5=25$,即$BC^2+AC^2=AB^2$,
$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(3) $(-3,-1)$
(4) $\because △ ABF$的面积等于$△ ABD$的面积,$\therefore$ 点$F,D$到$AB$的距离相等,则$|y_F-1|=1-(-1)=2$,解得$y_F=-1$或$y_F=3$.
又$\because$ 点$F$在$y$轴上,$\therefore$ 点$F$的坐标为$(0,-1)$或$(0,3)$.

【分析】
(1) 首先分析点A、B的坐标特征：两点纵坐标相同，说明AB所在直线平行于x轴，且y值为1，因此x轴在AB下方1个单位长度处，再根据点B横坐标为1，可确定原点在点B左侧1个单位长度处，由此建立平面直角坐标系，再读取点C的坐标即可。
(2) 判断三角形形状可利用勾股定理的逆定理：先借助网格计算出△ABC三边长度的平方，再验证是否满足两边平方和等于第三边的平方，若满足则为直角三角形。
(3) 关于直线AB对称的点，横坐标不变，纵坐标到直线AB（y=1）的距离相等，据此计算点D的坐标。
(4) △ABF和△ABD同底AB，要面积相等则高相等，即点F到直线AB的距离等于点D到AB的距离，再结合点F在y轴上（横坐标为0）计算F的坐标，注意距离为绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 由点A(-4,1)、B(1,1)的坐标可知，x轴在AB下方1个单位处，原点在B点左方1个单位处，建立平面直角坐标系，读取得点C坐标为$(-3,3)$。
(2) 计算△ABC三边的平方：
AB长度为$1-(-4)=5$，故$AB^2=5^2=25$；
由勾股定理得：$AC^2=(-3+4)^2+(3-1)^2=1^2+2^2=5$，$BC^2=(1+3)^2+(1-3)^2=4^2+(-2)^2=20$；
$\because AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$为直角三角形。
(3) 直线AB的解析式为$y=1$，点C(-3,3)到AB的距离为$3-1=2$，因此对称点D横坐标和C相同为-3，纵坐标为$1-2=-1$，即$D(-3,-1)$。
(4) $△ ABF$和$△ ABD$同底AB，要面积相等则高相等：点D到AB的距离为$1-(-1)=2$，因此点F到AB的距离也为2，即$|y_F -1|=2$，解得$y_F=3$或$y_F=-1$；又因为点F在y轴上，横坐标为0，故F坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示:
点C的坐标为$\boldsymbol{(-3,3)}$
(2) $△ ABC$为直角三角形，理由见解析
(3) $\boldsymbol{(-3,-1)}$
(4) $\boldsymbol{(0,-1)}$或$\boldsymbol{(0,3)}$
【知识点】
平面直角坐标系，勾股定理逆定理，坐标与对称
【点评】
本题综合考查了坐标系建立、直角三角形判定、对称点坐标特征和三角形面积的应用，解题关键是熟练掌握网格内坐标运算方法，注意距离计算时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65