1. [2026连云港外国语学校期末] 如图,在平面直角坐标系中,已知$A_1(2,4),A_2(4,4),A_3(6,0),A_4(8,-4),A_5(10,-4),A_6(12,0),···$,按这样的规律,点$A_{2026}$的坐标为 ()


A.$(4050,4)$
B.$(4052,-4)$
C.$(4052,4)$
D.$(4050,-4)$

1 B 观察所给坐标,点$A_n$($n$ 为正整数)的横坐标为$2n$,纵坐标每6个为一个循环,$\therefore$ 点$A_{2026}$的横坐标为 $2 × 2\ 026 =4\ 052$. $\because 2\ 026 ÷ 6 = 337······4$,$\therefore$ 点 $A_{2026}$ 的纵坐标与 $A_4$ 的纵坐标相同,为 $-4$,$\therefore$ 点 $A_{2026}$ 的坐标为$(4\ 052,-4)$.

【分析】
解决这类坐标规律探究题，我们可以将横、纵坐标分开分别找规律：首先观察给出的点的横坐标，推导横坐标与点的序号n的对应关系；再观察纵坐标的变化特点，发现纵坐标是周期循环出现的，先确定循环周期，再计算所求点的序号对应循环中的位置，即可得到对应的纵坐标，最终确定点的坐标。
【解析】
1. 求点$A_{2026}$的横坐标
观察已知点的横坐标：$A_1$横坐标为$2=2×1$，$A_2$横坐标为$4=2×2$，$A_3$横坐标为$6=2×3$，$A_4$横坐标为$8=2×4$，以此类推可得规律：点$A_n$的横坐标为$2n$。
因此$A_{2026}$的横坐标为$2×2026=4052$。
2. 求点$A_{2026}$的纵坐标
观察已知点的纵坐标：$A_1$纵坐标为4，$A_2$纵坐标为4，$A_3$纵坐标为0，$A_4$纵坐标为-4，$A_5$纵坐标为-4，$A_6$纵坐标为0，$A_7$纵坐标为4……可知纵坐标每6个点为一个循环周期，周期内纵坐标依次为：4,4,0,-4,-4,0。
计算$2026÷6=337······4$，即2026除以6余数为4，说明$A_{2026}$的纵坐标和周期内第4个点$A_4$的纵坐标相同，为$-4$。
综上，点$A_{2026}$的坐标为$(4052,-4)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系，坐标规律探究，周期规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是将横、纵坐标拆分后分别归纳变化规律，重点考查学生的观察能力和归纳推理能力，计算余数时要注意避免出错。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始先向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点$A_1(1,1)$;把点$A_1$先向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点$A_2(-1,3)$;把点$A_2$先向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点$A_3(-4,0)$;把点$A_3$先向下平移4个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_4(0,-4)$……按此做法进行下去,则点$A_{10}$的坐标为.

2 $(-1,11)$ 由题图可知,$A_5(5,1)$,把点 $A_5$ 先向上平移6个单位长度,再向左平移6个单位长度,可得$A_6(-1,7)$;把点 $A_6$ 先向下平移7个单位长度,再向左平移7个单位长度,可得$A_7(-8,0)$;把点 $A_7$ 先向下平移8个单位长度,再向右平移8个单位长度,可得$A_8(0,-8)$;把点 $A_8$ 先向上平移9个单位长度,再向右平移9个单位长度,可得 $A_9(9,1)$;把点 $A_9$ 先向上平移 10 个单位长度,再向左平移 10 个单位长度,可得$A_{10}(-1,11)$.

【分析】
解决本题首先需要梳理点的平移规律：从$A_n$到$A_{n+1}$时，平移的单位长度为$n+1$，平移方向每4次为一个周期，依次为“向上平移+向右平移、向上平移+向左平移、向下平移+向左平移、向下平移+向右平移”。我们可以先写出已知点的坐标，再按照该规律依次推导后续点的坐标，直到得到$A_{10}$的坐标即可。
【解析】
根据题意，结合“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规则逐步计算：
1. 已知$A_1(1,1)$，$A_1$向上平移2个单位、向左平移2个单位得$A_2$：$A_2(1-2,1+2)=(-1,3)$；
2. $A_2$向下平移3个单位、向左平移3个单位得$A_3$：$A_3(-1-3,3-3)=(-4,0)$；
3. $A_3$向下平移4个单位、向右平移4个单位得$A_4$：$A_4(-4+4,0-4)=(0,-4)$；
4. $A_4$向上平移5个单位、向右平移5个单位得$A_5$：$A_5(0+5,-4+5)=(5,1)$；
5. $A_5$向上平移6个单位、向左平移6个单位得$A_6$：$A_6(5-6,1+6)=(-1,7)$；
6. $A_6$向下平移7个单位、向左平移7个单位得$A_7$：$A_7(-1-7,7-7)=(-8,0)$；
7. $A_7$向下平移8个单位、向右平移8个单位得$A_8$：$A_8(-8+8,0-8)=(0,-8)$；
8. $A_8$向上平移9个单位、向右平移9个单位得$A_9$：$A_9(0+9,-8+9)=(9,1)$；
9. $A_9$向上平移10个单位、向左平移10个单位得$A_{10}$：$A_{10}(9-10,1+10)=(-1,11)$。
【答案】
$(-1,11)$
【知识点】
点的平移规律，坐标规律探究，平面直角坐标系
【点评】
本题解题关键是准确总结平移方向的周期规律，以及平移长度和点下标的对应关系，计算时注意不要混淆坐标加减的规则，避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列:$(0,0),(1,0),(0,1),(2,0),(1,1),(0,2),(3,0),(2,1),(1,2),(0,3),(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),···,$
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按这个规律,则$(6,7)$是第个点.

3 99 横、纵坐标和是0的有1个点,横、纵坐标和是1的有2个点,横、纵坐标和是2的有3个点,横、纵坐标和是3的有4个点,…,横、纵坐标和是 $n$ 的有 $(n+1)$ 个点. $\because 6+7=13$, $1+2+···+12+13=\frac{1}{2}×13×(13+1)=91$,$\therefore$ 横、纵坐标和小于 13 的有 91 个点. $\because$ 横、纵坐标和是 13 的有 14 个点,分别为$(13,0),(12,1),(11,2),(10,3),(9,4),(8,5),(7,6),(6,7),(5,8),(4,9),(3,10),(2,11),(1,12),(0,13)$,$\therefore (6,7)$是第 $91+8=99$ 个点.

【分析】
解题时先观察已知点的坐标特征，可按横、纵坐标的和进行分组：横、纵坐标和为n的点归为一组，每组共有(n+1)个点，且每组内点的排列规律是横坐标从n依次递减到0，纵坐标从0依次递增到n。要求$(6,7)$的排序，第一步先计算该点横纵坐标之和，确定它所在的分组；第二步计算它前面所有组的总点数；第三步确定它在所在组内的排序，最后将前面总点数加组内排序即可得到结果。
【解析】
观察点的排列规律可得：
1. 横、纵坐标的和为$n$的点共有$(n+1)$个，横、纵坐标和小于$n$的所有点的总个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$；
2. 横、纵坐标和相同的点，排列时横坐标从大到小递减，纵坐标从小到大递增。
对于点$(6,7)$：
横、纵坐标之和为$6+7=13$，先算横、纵坐标和小于13的点的总个数：即和为0到12的点的总数，代入求和公式得$\frac{13×(13+1)}{2}=91$个；
横、纵坐标和为13的点依次为$(13,0),(12,1),(11,2),\dots,(6,7),\dots,(0,13)$，可知$(6,7)$是该组的第8个点；
因此$(6,7)$的排序为$91+8=99$。
【答案】
99
【知识点】
坐标规律探究；等差数列求和；平面直角坐标系
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是通过观察坐标特征找到分组依据和每组的排列规则，结合求和公式计算即可，需要学生具备一定的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在平面直角坐标系中,将边长为3,4,5的$\mathrm{Rt}△ ABO$沿$x$轴向右旋转到$△ AB_{1}C_{1}$的位置,再到$△ A_{1}B_{1}C_{2}$的位置……依次进行下去,发现点$A(3,0),A_{1}(12,3),A_{2}(15,0),···$,那么点$A_{2025}$的坐标为 ()


A.$(12\ 132,0)$
B.$(12\ 132,3)$
C.$(12\ 144,0)$
D.$(12\ 156,3)$

4 D 根据题意,知 $A(3,0)$,$A_1(12,3)$,$A_2(15,0)$,$A_3(24,3)$,$A_4(27,0)$,$\therefore A_{2n-1}(12n,3)$,$A_{2n}(12n+3,0)$. $\because 2\ 025=2×1\ 013-1$,$\therefore$ 点 $A_{2025}$ 的坐标为$(12\ 156,3)$.

【分析】
这是一道平面直角坐标系中的图形旋转规律探究题，解题思路如下：第一步，先结合直角三角形3、4、5的边长，以及题目给出的前几个A系列点的坐标，观察坐标的变化规律；第二步，区分下标为奇数和偶数时，点的横、纵坐标的特征，总结出通用的坐标公式；第三步，判断2025的奇偶性，代入对应公式计算即可得到$A_{2025}$的坐标。
【解析】
解：由题意可知已知点坐标：$A(3,0)$，$A_1(12,3)$，$A_2(15,0)$，$A_3(24,3)$，$A_4(27,0)\dots$
观察坐标变化总结规律：
当点的下标为奇数时，即$A_{2n-1}$（$n$为正整数），横坐标为$12n$，纵坐标为$3$；
当点的下标为偶数时，即$A_{2n}$（$n$为正整数），横坐标为$12n+3$，纵坐标为$0$。
$\because 2025$是奇数，令$2025=2n-1$，解得$n=1013$
$\therefore A_{2025}$的横坐标为$12×1013=12156$，纵坐标为$3$，即坐标为$(12156,3)$。
【答案】
D
【知识点】
坐标规律探究；图形的旋转
【点评】
本题属于规律探究类常考题，解题核心是通过已知点的坐标归纳出下标奇偶性对应的坐标特征，考查学生的观察能力和归纳推理能力，掌握规律探究题“从特殊到一般”的推导方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.6

5. 新情境 [2025威海中考] 某广场计划用如图1所示的A,B两种瓷砖铺成如图2所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是 ()


A.(2024,2025)位置是B种瓷砖
B.(2025,2025)位置是B种瓷砖
C.(2026,2026)位置是A种瓷砖
D.(2025,2026)位置是B种瓷砖

5 B A 种瓷砖:$(1,2),(1,4),(1,6),···,(2,1),(2,3),(2,5),···$,B 种瓷砖:$(1,1),(1,3),(1,5),···,(2,2),(2,4),(2,6),···$.由此可得,A 种瓷砖的位置规律为(单数,双数),(双数,单数),B 种瓷砖的位置规律为(单数,单数),(双数,双数).$(2\ 024,2\ 025)$位置是 A 种瓷砖,故选项 A 不符合题意;$(2\ 025,2\ 025)$位置是 B 种瓷砖,故选项 B 符合题意;$(2\ 026,2\ 026)$位置是 B 种瓷砖,故选项 C 不符合题意;$(2\ 025,2\ 026)$位置是 A 种瓷砖,故选项 D 不符合题意.

【分析】
首先观察图2中已有的A、B两种瓷砖对应的坐标，分别归类A、B瓷砖坐标的横、纵坐标的奇偶性特征：先列出所有A种瓷砖的坐标，发现它们的横纵坐标一个是奇数、一个是偶数；再列出B种瓷砖的坐标，发现它们的横纵坐标奇偶性相同（同奇或同偶）。得到规律后，再逐一分析每个选项中坐标的横纵坐标奇偶性，匹配对应的瓷砖种类即可判断对错。
【解析】
先总结坐标规律：
观察已知瓷砖的坐标可得：
A种瓷砖的位置满足：横坐标和纵坐标奇偶性不同（即单数+双数，或双数+单数）；
B种瓷砖的位置满足：横坐标和纵坐标奇偶性相同（即单数+单数，或双数+双数）。
逐一判断选项：
选项A：(2024,2025)中，2024是双数，2025是单数，奇偶性不同，为A种瓷砖，A错误；
选项B：(2025,2025)中，横纵坐标均为单数，奇偶性相同，为B种瓷砖，B正确；
选项C：(2026,2026)中，横纵坐标均为双数，奇偶性相同，为B种瓷砖，C错误；
选项D：(2025,2026)中，2025是单数，2026是双数，奇偶性不同，为A种瓷砖，D错误。
【答案】
B
【知识点】
点的坐标表示；坐标规律探究；奇偶性判断
【点评】
本题结合生活铺瓷砖的情境，考查规律探究能力，解题关键是从已知的坐标中归纳出两类瓷砖对应的坐标奇偶性规律，再代入判断即可，整体思路清晰，细心分析就不易出错。
【难度系数】
0.7