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9. [2026徐州部分学校月考]在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“完美点”.
(1)点A(2,-4)的“长距”为
(2)若点B(4a-5,-2)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(3,3b-5)的“长距”为4,点D的坐标为(3b-1,5c+3),且点D是“完美点”,求b,c的值.
(1)点A(2,-4)的“长距”为
4
;(2)若点B(4a-5,-2)是“完美点”,求a的值;
(3)若点C(3,3b-5)的“长距”为4,点D的坐标为(3b-1,5c+3),且点D是“完美点”,求b,c的值.
答案
(1)4
(2)$\because$ 点$B(4a - 5,-2)$是“完美点”,
$\therefore |4a - 5| = |-2|$,
$\therefore 4a - 5 = 2$或$4a - 5 = -2$,
解得$a = \dfrac{7}{4}$或$a = \dfrac{3}{4}$.
(3)$\because$ 点$C(3,3b - 5)$的“长距”为 4,
$\therefore |3b - 5| = 4$,解得$b = 3$或$b = \dfrac{1}{3}$.
$\because$ 点 D 的坐标为$(3b - 1,5c + 3)$,且点 D 是“完美点”,
$\therefore 3b - 1 = 5c + 3$或$3b - 1 = -(5c + 3)$.
当$b = 3$时,$c = 1$或$c = -\dfrac{11}{5}$;
当$b = \dfrac{1}{3}$时,$c = -\dfrac{3}{5}$.
(2)$\because$ 点$B(4a - 5,-2)$是“完美点”,
$\therefore |4a - 5| = |-2|$,
$\therefore 4a - 5 = 2$或$4a - 5 = -2$,
解得$a = \dfrac{7}{4}$或$a = \dfrac{3}{4}$.
(3)$\because$ 点$C(3,3b - 5)$的“长距”为 4,
$\therefore |3b - 5| = 4$,解得$b = 3$或$b = \dfrac{1}{3}$.
$\because$ 点 D 的坐标为$(3b - 1,5c + 3)$,且点 D 是“完美点”,
$\therefore 3b - 1 = 5c + 3$或$3b - 1 = -(5c + 3)$.
当$b = 3$时,$c = 1$或$c = -\dfrac{11}{5}$;
当$b = \dfrac{1}{3}$时,$c = -\dfrac{3}{5}$.
解析
【分析】
解题前先明确两个新定义的含义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，点$(x,y)$到x轴距离为$|y|$，到y轴距离为$|x|$，长距即为两个距离的较大值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即满足$|x|=|y|$。
(1) 先计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即为长距；
(2) 根据“完美点”的定义，列横、纵坐标绝对值相等的方程求解$a$即可；
(3) 先根据点C的“长距”为4，结合点C横坐标的绝对值为3小于4，可得纵坐标的绝对值为4，列方程求出$b$的取值；再根据点D是“完美点”列横纵坐标绝对值相等的方程，将$b$的取值分别代入求解$c$，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
(1) 点$A(2,-4)$到x轴的距离为$|-4|=4$，到y轴的距离为$|2|=2$，较大值为4，故长距为4。
(2) $\because$ 点$B(4a - 5,-2)$是“完美点”，
$\therefore$ 点B到x轴、y轴的距离相等，即$|4a - 5| = |-2|$，
$\therefore 4a - 5 = 2$或$4a - 5 = -2$，
解得$a = \dfrac{7}{4}$或$a = \dfrac{3}{4}$。
(3) $\because$ 点$C(3,3b - 5)$的“长距”为4，点C到y轴的距离为$|3|=3＜4$，
$\therefore$ 点C到x轴的距离为4，即$|3b - 5| = 4$，
解得$b = 3$或$b = \dfrac{1}{3}$。
$\because$ 点$D(3b - 1,5c + 3)$是“完美点”，
$\therefore |3b - 1| = |5c + 3|$，即$3b - 1 = 5c + 3$或$3b - 1 = -(5c + 3)$。
当$b=3$时，代入得$8=5c+3$或$8=-5c-3$，解得$c=1$或$c=-\dfrac{11}{5}$；
当$b=\dfrac{1}{3}$时，代入得$0=|5c+3|$，解得$c=-\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{a=\dfrac{7}{4}}$或$\boldsymbol{a=\dfrac{3}{4}}$
(3) $\boldsymbol{b=3,c=1}$或$\boldsymbol{b=3,c=-\dfrac{11}{5}}$或$\boldsymbol{b=\dfrac{1}{3},c=-\dfrac{3}{5}}$
【知识点】
新定义阅读理解，点到坐标轴的距离，解绝对值方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是准确理解新定义的含义，将陌生规则转化为平面直角坐标系中点的坐标相关的熟悉知识点，求解绝对值方程时要注意多解性，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个新定义的含义：①“长距”是点到x轴、y轴距离的较大值，点$(x,y)$到x轴距离为$|y|$，到y轴距离为$|x|$，长距即为两个距离的较大值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即满足$|x|=|y|$。
(1) 先计算点A到x轴、y轴的距离，取较大值即为长距；
(2) 根据“完美点”的定义，列横、纵坐标绝对值相等的方程求解$a$即可；
(3) 先根据点C的“长距”为4，结合点C横坐标的绝对值为3小于4，可得纵坐标的绝对值为4，列方程求出$b$的取值；再根据点D是“完美点”列横纵坐标绝对值相等的方程，将$b$的取值分别代入求解$c$，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
(1) 点$A(2,-4)$到x轴的距离为$|-4|=4$，到y轴的距离为$|2|=2$，较大值为4，故长距为4。
(2) $\because$ 点$B(4a - 5,-2)$是“完美点”，
$\therefore$ 点B到x轴、y轴的距离相等，即$|4a - 5| = |-2|$，
$\therefore 4a - 5 = 2$或$4a - 5 = -2$，
解得$a = \dfrac{7}{4}$或$a = \dfrac{3}{4}$。
(3) $\because$ 点$C(3,3b - 5)$的“长距”为4，点C到y轴的距离为$|3|=3＜4$，
$\therefore$ 点C到x轴的距离为4，即$|3b - 5| = 4$，
解得$b = 3$或$b = \dfrac{1}{3}$。
$\because$ 点$D(3b - 1,5c + 3)$是“完美点”，
$\therefore |3b - 1| = |5c + 3|$，即$3b - 1 = 5c + 3$或$3b - 1 = -(5c + 3)$。
当$b=3$时，代入得$8=5c+3$或$8=-5c-3$，解得$c=1$或$c=-\dfrac{11}{5}$；
当$b=\dfrac{1}{3}$时，代入得$0=|5c+3|$，解得$c=-\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{a=\dfrac{7}{4}}$或$\boldsymbol{a=\dfrac{3}{4}}$
(3) $\boldsymbol{b=3,c=1}$或$\boldsymbol{b=3,c=-\dfrac{11}{5}}$或$\boldsymbol{b=\dfrac{1}{3},c=-\dfrac{3}{5}}$
【知识点】
新定义阅读理解，点到坐标轴的距离，解绝对值方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是准确理解新定义的含义，将陌生规则转化为平面直角坐标系中点的坐标相关的熟悉知识点，求解绝对值方程时要注意多解性，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中有$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$三点,小明在学习中发现,当$x_1=x_2$时,$AB// y$轴,线段$AB$的长度为$|y_1 - y_2|$;当$y_1 = y_3$时,$AC// x$轴,线段$AC$的长度为$|x_1 - x_3|$.
(1)若点$A(-1,1)$,$B(2,1)$,则$AB//$
(2)若点$C(1,-2)$,$CD// y$轴,且点$D$在$x$轴上,则$CD=$
(3)已知点$P(3,-3)$,$PQ// y$轴,若$△ OPQ$的面积为3,求满足条件的点$Q$的坐标;
(4)已知点$P(3,-3)$,$PQ// y$轴,若$PQ = a$,将点$Q$向右平移$b$个单位长度到达点$M$,已知点$M$在第一象限的角平分线上,请直接写出$a,b$之间满足的关系.
(1)若点$A(-1,1)$,$B(2,1)$,则$AB//$
x
轴(填“$x$”或“$y$”);(2)若点$C(1,-2)$,$CD// y$轴,且点$D$在$x$轴上,则$CD=$
2
;(3)已知点$P(3,-3)$,$PQ// y$轴,若$△ OPQ$的面积为3,求满足条件的点$Q$的坐标;
(4)已知点$P(3,-3)$,$PQ// y$轴,若$PQ = a$,将点$Q$向右平移$b$个单位长度到达点$M$,已知点$M$在第一象限的角平分线上,请直接写出$a,b$之间满足的关系.
答案
(1)$x$
(2)2
$\because CD// y$轴,$\therefore$ 设点$D(1,m)$.$\because$ 点 D 在 x 轴上,$\therefore D(1,0)$,$\therefore CD = |-2 - 0| = 2$.
(3)$\because PQ// y$轴,$\therefore$ 设点$Q(3,n)$,
$\therefore PQ = |-3 - n|$.
易知点 O 到 PQ 的距离为 3.
根据题意,得$S_{△ OPQ} = \dfrac{1}{2}· PQ × 3 = 3$,
$\therefore |-3 - n| = 2,\therefore n = -5$或$n = -1$,
$\therefore$ 点 Q 的坐标为$(3,-5)$或$(3,-1)$.
(4)$a - b = 6$.
$\because PQ// y$轴,$PQ = a$,$\therefore$ 设点$Q(3,-3 + a)$,则点 M 的坐标为$(3 + b,-3 + a)$.$\because$ 点 M 在第一象限的角平分线上,$\therefore 3 + b = -3 + a$,$\therefore a - b = 6$.
(2)2
$\because CD// y$轴,$\therefore$ 设点$D(1,m)$.$\because$ 点 D 在 x 轴上,$\therefore D(1,0)$,$\therefore CD = |-2 - 0| = 2$.
(3)$\because PQ// y$轴,$\therefore$ 设点$Q(3,n)$,
$\therefore PQ = |-3 - n|$.
易知点 O 到 PQ 的距离为 3.
根据题意,得$S_{△ OPQ} = \dfrac{1}{2}· PQ × 3 = 3$,
$\therefore |-3 - n| = 2,\therefore n = -5$或$n = -1$,
$\therefore$ 点 Q 的坐标为$(3,-5)$或$(3,-1)$.
(4)$a - b = 6$.
$\because PQ// y$轴,$PQ = a$,$\therefore$ 设点$Q(3,-3 + a)$,则点 M 的坐标为$(3 + b,-3 + a)$.$\because$ 点 M 在第一象限的角平分线上,$\therefore 3 + b = -3 + a$,$\therefore a - b = 6$.
解析
【分析】
本题围绕平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征展开，解题思路如下：
(1) 观察两点的纵坐标，若纵坐标相同则连线平行于x轴，横坐标相同则平行于y轴，据此判断即可；
(2) 平行于y轴的点横坐标相等，先确定D点横坐标，再结合D在x轴上（纵坐标为0），利用平行于y轴的线段长度公式计算CD长度；
(3) 由PQ平行于y轴可知Q点横坐标与P相同，设出Q点坐标，先确定原点O到PQ的水平距离为PQ边上的高，再结合三角形面积公式列方程求解Q的纵坐标，注意绝对值运算的多解性；
(4) 先根据PQ平行于y轴且长度为a表示出Q点坐标，再根据平移规则得到M点坐标，结合第一象限角平分线上的点横纵坐标相等的性质列等式整理即可得到a、b的关系。
【解析】
(1) 已知$A(-1,1)$，$B(2,1)$，两点纵坐标相等，根据规律，当两点纵坐标相等时连线平行于$x$轴，故填$x$；
(2) $\because CD// y$轴，$\therefore$ 点$D$的横坐标与$C$相同，设$D(1,m)$，又$\because$ 点$D$在$x$轴上，$x$轴上的点纵坐标为0，$\therefore D(1,0)$，则$CD=|y_C-y_D|=|-2-0|=2$；
(3) $\because PQ// y$轴，点$P$坐标为$(3,-3)$，$\therefore Q$点横坐标与$P$相同，设$Q(3,n)$，则$PQ=|-3-n|$。
直线$PQ$为$x=3$，原点$O$到直线$PQ$的距离为3，即$△ OPQ$中$PQ$边上的高为3。
根据三角形面积公式，代入$S_{△ OPQ}=3$得：
$\dfrac{1}{2} × |-3-n| × 3 = 3$
化简得$|-3-n|=2$，即$-3-n=2$或$-3-n=-2$，解得$n=-5$或$n=-1$，
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(3,-5)$或$(3,-1)$；
(4) $\because PQ// y$轴，$PQ=a$，$P(3,-3)$，$\therefore$ 设$Q(3,-3+a)$（线段长度为正，且$M$在第一象限，故纵坐标取加$a$），将$Q$向右平移$b$个单位，横坐标加$b$，纵坐标不变，得$M(3+b,-3+a)$。
$\because$ 第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，$\therefore 3+b=-3+a$，整理得$a-b=6$。
【答案】
(1) $x$
(2) $2$
(3) $(3,-5)$或$(3,-1)$
(4) $a - b = 6$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；三角形面积计算；平移的坐标变化
【点评】
本题综合考察了平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，结合了线段长度计算、图形面积、平移变换等知识点，解题核心是熟练掌握平行于坐标轴的直线、特殊直线（x轴、象限角平分线）上点的坐标性质，解题时要注意绝对值运算的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征展开，解题思路如下：
(1) 观察两点的纵坐标，若纵坐标相同则连线平行于x轴，横坐标相同则平行于y轴，据此判断即可；
(2) 平行于y轴的点横坐标相等，先确定D点横坐标，再结合D在x轴上（纵坐标为0），利用平行于y轴的线段长度公式计算CD长度；
(3) 由PQ平行于y轴可知Q点横坐标与P相同，设出Q点坐标，先确定原点O到PQ的水平距离为PQ边上的高，再结合三角形面积公式列方程求解Q的纵坐标，注意绝对值运算的多解性；
(4) 先根据PQ平行于y轴且长度为a表示出Q点坐标，再根据平移规则得到M点坐标，结合第一象限角平分线上的点横纵坐标相等的性质列等式整理即可得到a、b的关系。
【解析】
(1) 已知$A(-1,1)$，$B(2,1)$，两点纵坐标相等，根据规律，当两点纵坐标相等时连线平行于$x$轴，故填$x$；
(2) $\because CD// y$轴，$\therefore$ 点$D$的横坐标与$C$相同，设$D(1,m)$，又$\because$ 点$D$在$x$轴上，$x$轴上的点纵坐标为0，$\therefore D(1,0)$，则$CD=|y_C-y_D|=|-2-0|=2$；
(3) $\because PQ// y$轴，点$P$坐标为$(3,-3)$，$\therefore Q$点横坐标与$P$相同，设$Q(3,n)$，则$PQ=|-3-n|$。
直线$PQ$为$x=3$，原点$O$到直线$PQ$的距离为3，即$△ OPQ$中$PQ$边上的高为3。
根据三角形面积公式，代入$S_{△ OPQ}=3$得：
$\dfrac{1}{2} × |-3-n| × 3 = 3$
化简得$|-3-n|=2$，即$-3-n=2$或$-3-n=-2$，解得$n=-5$或$n=-1$，
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(3,-5)$或$(3,-1)$；
(4) $\because PQ// y$轴，$PQ=a$，$P(3,-3)$，$\therefore$ 设$Q(3,-3+a)$（线段长度为正，且$M$在第一象限，故纵坐标取加$a$），将$Q$向右平移$b$个单位，横坐标加$b$，纵坐标不变，得$M(3+b,-3+a)$。
$\because$ 第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，$\therefore 3+b=-3+a$，整理得$a-b=6$。
【答案】
(1) $x$
(2) $2$
(3) $(3,-5)$或$(3,-1)$
(4) $a - b = 6$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；三角形面积计算；平移的坐标变化
【点评】
本题综合考察了平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，结合了线段长度计算、图形面积、平移变换等知识点，解题核心是熟练掌握平行于坐标轴的直线、特殊直线（x轴、象限角平分线）上点的坐标性质，解题时要注意绝对值运算的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 在平面直角坐标系中，已知点$ A(m - 4,m + 2) $，$ B(m - 4,m) $，$ C(m,0) $，$ D(2,0) $，$△ ABD$的面积是$△ ABC$面积的2倍，则$ m $的值为
-2或14
。答案
$\because A(m - 4,m + 2),B(m - 4,m),\therefore AB// y$轴，$AB = m + 2 - m = 2,\therefore \dfrac{1}{2}× 2× |m - 4 - 2| = \dfrac{1}{2}× 2× |m - 4 - m| × 2$,解得$m = 14$或$m = -2$.
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，二者横坐标相同，可判断线段AB平行于y轴，先求出AB的固定长度。△ABC和△ABD都以AB为底，两个三角形的高分别是点C、点D到直线AB的水平距离（即横坐标差的绝对值）。结合题目给出的面积倍数关系，列出含绝对值的方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵ 点$A(m - 4,m + 2)$、$B(m - 4,m)$的横坐标相等，
∴ $AB// y$轴，$AB$的长度为纵坐标之差：$AB=(m+2)-m=2$。
直线AB对应的横坐标为$m-4$，
点C到AB的水平距离为$|(m-4)-m|=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 4$；
点D到AB的水平距离为$|(m-4)-2|=|m-6|$，因此$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × |m-6|$。
根据题意$S_{△ ABD}=2S_{△ ABC}$，代入$AB=2$得：
$\frac{1}{2}×2×|m-6|=2×(\frac{1}{2}×2×4)$
化简得$|m-6|=8$，
∴ $m-6=8$或$m-6=-8$，
解得$m=14$或$m=-2$。
【答案】
$14$或$-2$
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；三角形面积计算；绝对值方程求解
【点评】
本题解题核心是通过A、B横坐标相同判断AB为竖直线段，将同底三角形的面积关系转化为高的倍数关系，求解时要注意距离是非负数，需考虑绝对值的两种取值情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察点A、B的坐标特征，二者横坐标相同，可判断线段AB平行于y轴，先求出AB的固定长度。△ABC和△ABD都以AB为底，两个三角形的高分别是点C、点D到直线AB的水平距离（即横坐标差的绝对值）。结合题目给出的面积倍数关系，列出含绝对值的方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵ 点$A(m - 4,m + 2)$、$B(m - 4,m)$的横坐标相等，
∴ $AB// y$轴，$AB$的长度为纵坐标之差：$AB=(m+2)-m=2$。
直线AB对应的横坐标为$m-4$，
点C到AB的水平距离为$|(m-4)-m|=4$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 4$；
点D到AB的水平距离为$|(m-4)-2|=|m-6|$，因此$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × |m-6|$。
根据题意$S_{△ ABD}=2S_{△ ABC}$，代入$AB=2$得：
$\frac{1}{2}×2×|m-6|=2×(\frac{1}{2}×2×4)$
化简得$|m-6|=8$，
∴ $m-6=8$或$m-6=-8$，
解得$m=14$或$m=-2$。
【答案】
$14$或$-2$
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；三角形面积计算；绝对值方程求解
【点评】
本题解题核心是通过A、B横坐标相同判断AB为竖直线段，将同底三角形的面积关系转化为高的倍数关系，求解时要注意距离是非负数，需考虑绝对值的两种取值情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. ▶一题多解 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0),B(5,0),C(3,3),D(2,4),求四边形ABCD的面积.
答案
通解 如图1,过点 C 作$CE⊥ x$轴于点 E,过点 D 作$DF⊥ x$轴于点 F.
则$S_{△ ADF} = \dfrac{1}{2}× (2 - 1)× 4 = 2$,$S_{梯形DCEF} = \dfrac{1}{2}× (3 + 4)× (3 - 2) = 3.5$,$S_{△ BCE} = \dfrac{1}{2}× (5 - 3)× 3 = 3$,$\therefore S_{四边形ABCD} = 2 + 3.5 + 3 = 8.5$.
另解 如图2,把四边形 ABCD 补成正方形 AEGB,
则$S_{四边形ABCD} = S_{正方形AEGB} - S_{△ AED} - S_{△ DCH} - S_{梯形BCHG} = 4× 4 - \dfrac{1}{2}× 4× 1 - \dfrac{1}{2}× 1× 1 - \dfrac{1}{2}× (1 + 4)× 2 = 8.5$.
解析
【分析】
本题是求不规则四边形的面积，无法直接套用面积公式求解，需用割补法将其转化为规则图形的面积和差计算。思路1（分割法）：过D、C两点向x轴作垂线，将四边形拆分为2个直角三角形和1个直角梯形，分别计算各部分面积后求和即可；思路2（补形法）：将四边形补成大正方形，用正方形面积减去周围多余的三角形、梯形的面积，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
方法1（分割法）：
如图1，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，过点D作$DF⊥ x$轴于点F。
由点坐标可得$AF=2-1=1$，$DF=4$，$EF=3-2=1$，$CE=3$，$BE=5-3=2$。
$S_{△ ADF} = \dfrac{1}{2}× AF× DF = \dfrac{1}{2}× 1× 4 = 2$
$S_{梯形DCEF} = \dfrac{1}{2}× (DF+CE)× EF = \dfrac{1}{2}× (4+3)× 1 = 3.5$
$S_{△ BCE} = \dfrac{1}{2}× BE× CE = \dfrac{1}{2}× 2× 3 = 3$
因此$S_{四边形ABCD} = 2 + 3.5 + 3 = 8.5$。
方法2（补形法）：
如图2，将四边形ABCD补成正方形AEGB，正方形边长为$5-1=4$。
$S_{正方形AEGB}=4×4=16$
$S_{△ AED} = \dfrac{1}{2}× 1× 4 = 2$，$S_{△ DCH} = \dfrac{1}{2}× 1× 1 = 0.5$，$S_{梯形BCHG} = \dfrac{1}{2}× (1+4)× 2 = 5$
因此$S_{四边形ABCD} = 16 - 2 - 0.5 - 5 = 8.5$。
【答案】
8.5
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、规则图形面积计算
【点评】
本题解题核心是灵活运用割补法转化不规则图形，两种方法都可得到正确结果，同学们可根据自身习惯选择，计算时要结合坐标准确获取各规则图形的边长，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是求不规则四边形的面积，无法直接套用面积公式求解，需用割补法将其转化为规则图形的面积和差计算。思路1（分割法）：过D、C两点向x轴作垂线，将四边形拆分为2个直角三角形和1个直角梯形，分别计算各部分面积后求和即可；思路2（补形法）：将四边形补成大正方形，用正方形面积减去周围多余的三角形、梯形的面积，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
方法1（分割法）：
如图1，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，过点D作$DF⊥ x$轴于点F。
由点坐标可得$AF=2-1=1$，$DF=4$，$EF=3-2=1$，$CE=3$，$BE=5-3=2$。
$S_{△ ADF} = \dfrac{1}{2}× AF× DF = \dfrac{1}{2}× 1× 4 = 2$
$S_{梯形DCEF} = \dfrac{1}{2}× (DF+CE)× EF = \dfrac{1}{2}× (4+3)× 1 = 3.5$
$S_{△ BCE} = \dfrac{1}{2}× BE× CE = \dfrac{1}{2}× 2× 3 = 3$
因此$S_{四边形ABCD} = 2 + 3.5 + 3 = 8.5$。
方法2（补形法）：
如图2，将四边形ABCD补成正方形AEGB，正方形边长为$5-1=4$。
$S_{正方形AEGB}=4×4=16$
$S_{△ AED} = \dfrac{1}{2}× 1× 4 = 2$，$S_{△ DCH} = \dfrac{1}{2}× 1× 1 = 0.5$，$S_{梯形BCHG} = \dfrac{1}{2}× (1+4)× 2 = 5$
因此$S_{四边形ABCD} = 16 - 2 - 0.5 - 5 = 8.5$。
【答案】
8.5
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、规则图形面积计算
【点评】
本题解题核心是灵活运用割补法转化不规则图形，两种方法都可得到正确结果，同学们可根据自身习惯选择，计算时要结合坐标准确获取各规则图形的边长，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
3. [2026淮安淮阴中学月考]如图,在平面直角坐标系中,已知$A(a,0),B(b,0)$,其中$a,b$满足$\sqrt{a+3} + |b - 2| = 0$.
(1)填空:$a=$
(2)若在第四象限内有一点$P(2,m)$,请用含$m$的式子表示$△ ABP$的面积;
(3)在(2)的条件下,线段$AP$与$y$轴交于$C$,当$m=-2$时,点$D$是$y$轴上的一动点,当满足$△ APD$的面积是$△ ABP$的面积的2倍时,求点$D$的坐标.
(1)填空:$a=$
-3
,$b=$2
;(2)若在第四象限内有一点$P(2,m)$,请用含$m$的式子表示$△ ABP$的面积;
(3)在(2)的条件下,线段$AP$与$y$轴交于$C$,当$m=-2$时,点$D$是$y$轴上的一动点,当满足$△ APD$的面积是$△ ABP$的面积的2倍时,求点$D$的坐标.
答案
(1)$-3\quad 2$
(2)由(1)知$A(-3,0),B(2,0)$,
$\therefore AB = 2 - (-3) = 5$.
$\because$ 点$P(2,m)$在第四象限,
$\therefore S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× 5× (-m) = -\dfrac{5}{2}m$.
(3)当$m = -2$时,$S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× 5× 2 = 5$.
$\because △ APD$的面积是$△ ABP$面积的 2 倍,
$\therefore S_{△ APD} = 2× 5 = 10$.
设$D(0,n)$,
当点 D 在 AB 上方时,如图,过点 D 作 x 轴的平行线,过点 A,B 分别作 y 轴的平行线,与过点 D 的 x 轴的平行线相交于点 M,N,
则$\dfrac{1}{2}(n + n + 2)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3n - \dfrac{1}{2}× 2(n + 2) = 10$,
解得$n = \dfrac{14}{5},\therefore D(0,\dfrac{14}{5})$;
当点 D 在 C 下方时,如图,过点 D 作 x 轴的平行线,过点 A,B 分别作 y 轴的平行线,与过点 D 的 x 轴的平行线相交于点 M,N,
则$\dfrac{1}{2}(-n - 2 - n)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3(-n) - \dfrac{1}{2}× 2(-2 - n) = 10$,
解得$n = -\dfrac{26}{5},\therefore D(0,-\dfrac{26}{5})$.
综上,点 D 的坐标为$(0,\dfrac{14}{5})$或$(0,-\dfrac{26}{5})$.
解析
【分析】
第(1)问：算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此列等式即可求出a、b的值；第(2)问：先根据A、B的坐标求出AB的长度，点P在第四象限，纵坐标为负，△ABP的高等于P点纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式即可用含m的式子表示面积；第(3)问：先代入m=-2求出△ABP的面积，进而得到△APD的面积，设D点坐标为(0,n)，分D在x轴上方、D在点C下方两种情况，用割补法表示△APD的面积并列方程求解，注意分情况讨论避免漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{a+3}≥0$，$|b-2|≥0$，且$\sqrt{a+3} + |b - 2| = 0$，所以$\sqrt{a+3}=0$，$|b-2|=0$，解得$a=-3$，$b=2$。
(2) 由(1)知$A(-3,0),B(2,0)$，因此$AB = 2 - (-3) = 5$。
因为点$P(2,m)$在第四象限，所以$m＜0$，△ABP中AB边上的高为$|m|=-m$，
因此$S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× AB × |m| = \dfrac{1}{2}× 5× (-m) = -\dfrac{5}{2}m$。
(3) 当$m = -2$时，$S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× 5× 2 = 5$。
因为$△ APD$的面积是$△ ABP$面积的2倍，所以$S_{△ APD} = 2× 5 = 10$。
设$D(0,n)$：
① 当点D在AB上方时，过点D作x轴的平行线，过点A,B分别作y轴的平行线，与过点D的x轴的平行线相交于点M,N，
根据割补法列方程：$\dfrac{1}{2}(n + n + 2)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3n - \dfrac{1}{2}× 2(n + 2) = 10$，
解得$n = \dfrac{14}{5}$，即$D(0,\dfrac{14}{5})$；
② 当点D在C下方时，过点D作x轴的平行线，过点A,B分别作y轴的平行线，与过点D的x轴的平行线相交于点M,N，
根据割补法列方程：$\dfrac{1}{2}(-n - 2 - n)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3(-n) - \dfrac{1}{2}× 2(-2 - n) = 10$，
解得$n = -\dfrac{26}{5}$，即$D(0,-\dfrac{26}{5})$。
综上，点D的坐标为$(0,\dfrac{14}{5})$或$(0,-\dfrac{26}{5})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{2}$
(2) $S_{△ ABP}=-\dfrac{5}{2}m$
(3) 点D的坐标为$\boldsymbol{(0,\dfrac{14}{5})}$或$\boldsymbol{(0,-\dfrac{26}{5})}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标系面积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题综合了非负性应用、平面直角坐标系下图形面积计算等考点，解题时要注意第四象限点的纵坐标为负，计算面积时需正确处理符号，针对y轴上的动点要分情况讨论位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
第(1)问：算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此列等式即可求出a、b的值；第(2)问：先根据A、B的坐标求出AB的长度，点P在第四象限，纵坐标为负，△ABP的高等于P点纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式即可用含m的式子表示面积；第(3)问：先代入m=-2求出△ABP的面积，进而得到△APD的面积，设D点坐标为(0,n)，分D在x轴上方、D在点C下方两种情况，用割补法表示△APD的面积并列方程求解，注意分情况讨论避免漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{a+3}≥0$，$|b-2|≥0$，且$\sqrt{a+3} + |b - 2| = 0$，所以$\sqrt{a+3}=0$，$|b-2|=0$，解得$a=-3$，$b=2$。
(2) 由(1)知$A(-3,0),B(2,0)$，因此$AB = 2 - (-3) = 5$。
因为点$P(2,m)$在第四象限，所以$m＜0$，△ABP中AB边上的高为$|m|=-m$，
因此$S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× AB × |m| = \dfrac{1}{2}× 5× (-m) = -\dfrac{5}{2}m$。
(3) 当$m = -2$时，$S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2}× 5× 2 = 5$。
因为$△ APD$的面积是$△ ABP$面积的2倍，所以$S_{△ APD} = 2× 5 = 10$。
设$D(0,n)$：
① 当点D在AB上方时，过点D作x轴的平行线，过点A,B分别作y轴的平行线，与过点D的x轴的平行线相交于点M,N，
根据割补法列方程：$\dfrac{1}{2}(n + n + 2)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3n - \dfrac{1}{2}× 2(n + 2) = 10$，
解得$n = \dfrac{14}{5}$，即$D(0,\dfrac{14}{5})$；
② 当点D在C下方时，过点D作x轴的平行线，过点A,B分别作y轴的平行线，与过点D的x轴的平行线相交于点M,N，
根据割补法列方程：$\dfrac{1}{2}(-n - 2 - n)× 5 - \dfrac{1}{2}× 3(-n) - \dfrac{1}{2}× 2(-2 - n) = 10$，
解得$n = -\dfrac{26}{5}$，即$D(0,-\dfrac{26}{5})$。
综上，点D的坐标为$(0,\dfrac{14}{5})$或$(0,-\dfrac{26}{5})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{2}$
(2) $S_{△ ABP}=-\dfrac{5}{2}m$
(3) 点D的坐标为$\boldsymbol{(0,\dfrac{14}{5})}$或$\boldsymbol{(0,-\dfrac{26}{5})}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标系面积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题综合了非负性应用、平面直角坐标系下图形面积计算等考点，解题时要注意第四象限点的纵坐标为负，计算面积时需正确处理符号，针对y轴上的动点要分情况讨论位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
