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[2025太原晋源区联考]综合与实践
问题情境:某地计划新建一所高校,该学校包含图书馆、教学楼、实验楼与宿舍楼等公共设施,图1为该学校的平面设计图.为方便施工,需要建立平面直角坐标系,对该学校各公共设施的位置和所需的面积进行描述.
方案设计:
第一步:图2为该学校平面示意图简图,建立以图书馆为原点的平面直角坐标系,记建筑物中心点的坐标为该建筑坐标,该坐标系中1个单位长度表示的距离为50 m.
第二步:描述学校各设施的位置.
| 建筑物 | | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ | 建筑物 | | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 宿舍楼 | $A_1$ | $(4.5,8)$ | $2500$ | 宿舍楼 | $A_5$ | $(4.5,5)$ | $2500$ |
| | $A_2$ | $(6.5,8)$ | $2500$ | | $A_6$ | ① | $2500$ |
| | $A_3$ | $(4.5,6.5)$ | $2500$ | | $A_7$ | $(4.5,3.5)$ | $2500$ |
| | $A_4$ | ② | $2500$ | | $A_8$ | $(6.5,3.5)$ | $2500$ |
| 餐厅 | ③ | $(3.5,1)$ | $15000$ | 教学楼 | $D_1$ | $(-3,-3.5)$ | $7500$ |
| 报告厅 | $C$ | $(-2.5,3)$ | $15000$ | | $D_2$ | ④ | $7500$ |
| 实验楼 | $E$ | $(-3.25,-5.5)$ | ⑤ | | $D_3$ | $(-3,0)$ | $15000$ |
(1)①处应填写
(2)该学校报告厅预计长度150 m,宽度100 m,根据表格中的信息,在图2中画出报告厅的示意图.
深入研究:学生上课最远通行距离.
(3)若按照图1中的白色路线进行建造,学生从哪个建筑到哪个建筑的通行距离最远?估算此时学生最远通行距离.
问题情境:某地计划新建一所高校,该学校包含图书馆、教学楼、实验楼与宿舍楼等公共设施,图1为该学校的平面设计图.为方便施工,需要建立平面直角坐标系,对该学校各公共设施的位置和所需的面积进行描述.
方案设计:
第一步:图2为该学校平面示意图简图,建立以图书馆为原点的平面直角坐标系,记建筑物中心点的坐标为该建筑坐标,该坐标系中1个单位长度表示的距离为50 m.
第二步:描述学校各设施的位置.
| 建筑物 | | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ | 建筑物 | | 中心点坐标 | 所需面积/$m^2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 宿舍楼 | $A_1$ | $(4.5,8)$ | $2500$ | 宿舍楼 | $A_5$ | $(4.5,5)$ | $2500$ |
| | $A_2$ | $(6.5,8)$ | $2500$ | | $A_6$ | ① | $2500$ |
| | $A_3$ | $(4.5,6.5)$ | $2500$ | | $A_7$ | $(4.5,3.5)$ | $2500$ |
| | $A_4$ | ② | $2500$ | | $A_8$ | $(6.5,3.5)$ | $2500$ |
| 餐厅 | ③ | $(3.5,1)$ | $15000$ | 教学楼 | $D_1$ | $(-3,-3.5)$ | $7500$ |
| 报告厅 | $C$ | $(-2.5,3)$ | $15000$ | | $D_2$ | ④ | $7500$ |
| 实验楼 | $E$ | $(-3.25,-5.5)$ | ⑤ | | $D_3$ | $(-3,0)$ | $15000$ |
(1)①处应填写
$(6.5,5)$
;②处应填写$(6.5,6.5)$
;③处应填写$B$
;④处应填写$(-3,-2)$
;⑤处应填写$12500$
.(2)该学校报告厅预计长度150 m,宽度100 m,根据表格中的信息,在图2中画出报告厅的示意图.
深入研究:学生上课最远通行距离.
(3)若按照图1中的白色路线进行建造,学生从哪个建筑到哪个建筑的通行距离最远?估算此时学生最远通行距离.
答案
(1) $(6.5,5)$ $(6.5,6.5)$ $B$ $(-3,-2)$ $12500$
(2) 因为预计长度150 m,宽度100 m,
所以坐标系中报告厅长为3个单位长度,宽为2个单位长度,
报告厅示意图如图所示(画法不唯一).
(3) 根据题图1和平面直角坐标系可知,从宿舍楼$A_2$到实验楼$E$的通行距离最远,
宿舍楼$A_2$的中心点坐标为$(6.5,8)$,实验楼$E$的中心点坐标为$(-3.25,-5.5)$,
$[6.5-(-3.25)]×50+[8-(-5.5)]×50=1162.5(\mathrm{m})$,
即学生最远通行距离约为1162.5 m.
解析
【分析】
(1) 求解坐标和对应建筑、面积时，首先观察同类型建筑的坐标规律：宿舍楼A分左右两列，左列横坐标均为4.5，右列横坐标均为6.5，同行纵坐标相同，据此可推出A₄、A₆的坐标；再结合图像找到坐标(3.5,1)对应的建筑，观察教学楼D的坐标横坐标均为-3的规律推出D₂的坐标，结合图形大小和单位换算得到实验楼E的面积。
(2) 画报告厅示意图时，先将实际的长、宽按照1单位对应50m的比例换算为坐标系中的单位长度，再以给定的中心点为基准，向四周延伸对应长度画出矩形即可。
(3) 求最远通行距离时，沿网格路线通行的距离为横向距离与纵向距离之和，因此先找到横、纵坐标差最大的两个建筑，再将坐标差换算为实际距离即可。
【解析】
(1) 观察宿舍楼的坐标规律：A₃坐标为(4.5,6.5)，同排右列的A₄横坐标为6.5，纵坐标和A₃相同为6.5；A₅坐标为(4.5,5)，同排右列的A₆横坐标为6.5，纵坐标为5；坐标(3.5,1)对应的建筑为标注B的餐厅；教学楼D横坐标均为-3，结合位置可得D₂纵坐标为-2；根据图形大小计算可得实验楼E的面积为12500m²。
(2) 单位换算：$150÷50=3$（单位长度），$100÷50=2$（单位长度），即报告厅长3个单位长度，宽2个单位长度，以中心点(-2.5,3)为基准作图即可。
(3) 最右上的建筑A₂坐标为(6.5,8)，最左下的建筑E坐标为(-3.25,-5.5)，通行的实际距离为横向差加纵向差乘以单位代表距离：$[6.5-(-3.25)]×50+[8-(-5.5)]×50=1162.5(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $(6.5,5)$；$(6.5,6.5)$；$B$；$(-3,-2)$；$12500$
(2) 因为预计长度150 m,宽度100 m,
所以坐标系中报告厅长为3个单位长度,宽为2个单位长度,
报告厅示意图如图所示(画法不唯一).
(3) 从宿舍楼$A_2$到实验楼$E$的通行距离最远，最远通行距离约为1162.5 m.
【知识点】
坐标确定位置；平面直角坐标系实际应用；实际距离计算
【点评】
本题以校园平面设计为真实场景，考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖坐标规律推导、单位换算、路径距离计算等内容，贴合生活实际，能锻炼学生读取信息、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解坐标和对应建筑、面积时，首先观察同类型建筑的坐标规律：宿舍楼A分左右两列，左列横坐标均为4.5，右列横坐标均为6.5，同行纵坐标相同，据此可推出A₄、A₆的坐标；再结合图像找到坐标(3.5,1)对应的建筑，观察教学楼D的坐标横坐标均为-3的规律推出D₂的坐标，结合图形大小和单位换算得到实验楼E的面积。
(2) 画报告厅示意图时，先将实际的长、宽按照1单位对应50m的比例换算为坐标系中的单位长度，再以给定的中心点为基准，向四周延伸对应长度画出矩形即可。
(3) 求最远通行距离时，沿网格路线通行的距离为横向距离与纵向距离之和，因此先找到横、纵坐标差最大的两个建筑，再将坐标差换算为实际距离即可。
【解析】
(1) 观察宿舍楼的坐标规律：A₃坐标为(4.5,6.5)，同排右列的A₄横坐标为6.5，纵坐标和A₃相同为6.5；A₅坐标为(4.5,5)，同排右列的A₆横坐标为6.5，纵坐标为5；坐标(3.5,1)对应的建筑为标注B的餐厅；教学楼D横坐标均为-3，结合位置可得D₂纵坐标为-2；根据图形大小计算可得实验楼E的面积为12500m²。
(2) 单位换算：$150÷50=3$（单位长度），$100÷50=2$（单位长度），即报告厅长3个单位长度，宽2个单位长度，以中心点(-2.5,3)为基准作图即可。
(3) 最右上的建筑A₂坐标为(6.5,8)，最左下的建筑E坐标为(-3.25,-5.5)，通行的实际距离为横向差加纵向差乘以单位代表距离：$[6.5-(-3.25)]×50+[8-(-5.5)]×50=1162.5(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $(6.5,5)$；$(6.5,6.5)$；$B$；$(-3,-2)$；$12500$
(2) 因为预计长度150 m,宽度100 m,
所以坐标系中报告厅长为3个单位长度,宽为2个单位长度,
报告厅示意图如图所示(画法不唯一).
(3) 从宿舍楼$A_2$到实验楼$E$的通行距离最远，最远通行距离约为1162.5 m.
【知识点】
坐标确定位置；平面直角坐标系实际应用；实际距离计算
【点评】
本题以校园平面设计为真实场景，考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖坐标规律推导、单位换算、路径距离计算等内容，贴合生活实际，能锻炼学生读取信息、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
