【典例1】如图，AB为$\odot O$的直径，$DE⊥ AB$于E点，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}$，$BC=3$，$DE=2$，求$\odot O$的半径。

连接OD,作$OM⊥BC$于M，
$△ ODE≌△ BOM$，
$\therefore OE=\frac{3}{2}$，
$\therefore DO=\sqrt{DE^2+OE^2}=\frac{5}{2}$，
即$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}$。

变式.如图,已知AB是$\odot O$的直径,C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$CE ⊥ AB$于E,BD交CE于点F.若$CD=5$,$CE=4$,求CF的长.

连接BC,$BC=CD=5$,$CE=4$,延长CE交$\odot O$于点G,易证$\overset{\frown}{BG}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，
设$CF=x$,$x^2=3^2+(4-x)^2$，
$x=\frac{25}{8}$，
$\therefore CF=\frac{25}{8}$。

【典例2】AB为$\odot O$的直径，P为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$PE⊥$弦$AC$于$E$点.
(1)如图1，若$AB=10$，$AC=8$，求$PE$的长；
(2)如图2，若$BC=CE=1$，求$AB$的长.

(1)连接 PO,PC,AP,则$∠ AOP=90°$,$∠ PCE=45°$，
$\because AE^2+PE^2=AP^2$,$\therefore PE=CE=1$。
(2)连接AP,PO,PC,设$AE=x$，
$\therefore AP^2=1^2+x^2$。

变式.如图,AB 为半圆的直径,C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,点 D 在半圆上,BD=6,AB=10,求 CD 的长.

解：连接AD、BC，
∵ AB为半圆的直径，
∴ ∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴ AD=√(AB²-BD²)=√(10²-6²)=8，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ AC=BC，
又∵ ∠ACB=90°，
∴ △ACB为等腰直角三角形，
∴ AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$5\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
过点C作CE⊥CD交AD于点E，
∴ ∠DCE=90°，
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∵ ∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ADC=∠ABC=45°，
又∵ ∠DCE=90°，
∴ △CDE为等腰直角三角形，
∴ CD=CE，
在△ACE和△BCD中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACE=∠BCD \\CE=CD\end{array} $
∴ △ACE≌△BCD(SAS)，
∴ AE=BD=6，
∴ DE=AD - AE=8-6=2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD² + CE² = DE²，
即$2CD^2=2^2=4$，
解得$CD=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
答：CD的长为$\sqrt{2}$。