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【典例1】如图，已知在$\odot O$中，弦$AB⊥$弦$CD$于$E$，若$∠ AOD=140°$，求$∠ BOC$的度数。
答案
解:连接AC，
$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=70°$，
$\therefore ∠ CAB=20°$，
$\therefore ∠ BOC=2∠ BAC=40°$。
变式1.如图,已知在$\odot O$中,弦$AB⊥$弦$CD$于$E$,若点$M$为$AC$的中点,求证:$ME⊥BD$. 
答案
证明:延长ME交BD于F，
证$∠ D=∠ A=∠ MEA=∠ BEF$，
$\therefore EM⊥ BD$。
变式2.如图,已知在$\odot O$中,弦$AB⊥$弦$CD$于$E$,若$AE=DE$,求证:$AB=CD$.
答案
证明:连接AD,BC，
$\therefore ∠ CBE=∠ ADC=45°$，
$\therefore CE=BE$，
$\therefore AB=CD$。
【典例2】如图，在$\odot O$中，弦$BC⊥ DF$于$E$点，且$BC=DF$，连接$BO$并延长交$\odot O$于点$A$，连接$AC$，若$AC=2$，$CE=4$，求$\odot O$的半径。
答案
解:过O作$OM⊥ BC$,$ON⊥ DF$，垂足分别为M,N,连接OD,OC，
易证$OM=ON=1$，
$\therefore CM=3$,$R=\sqrt{10}$。
【典例3】如图，弦$AB⊥$弦$CD$于点$E$，连接$AC$、$BD$，若$ON⊥ BD$于$N$，求证：
$ON=\frac{1}{2}AC.$
$ON=\frac{1}{2}AC.$
答案
证明:作直径BF,连接DF,AF，
$\therefore ON=\frac{1}{2}DF$，
$\therefore ∠ FDC=∠ ABD$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF}$,$\therefore DF=AC$，
$\therefore ON=\frac{1}{2}AC$。
变式.如图,弦$AB⊥$弦$CD$于点$E$,若$AC=8$,$BD=6$,求$\odot O$的直径.
答案
解:连接CO并延长交$\odot O$于M点,连接AM，
易知$AM=BD=6$，
在$\mathrm{Rt}△ CAM$中，
$CM=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
