【典例1】如图，AB是$\odot O$的直径，C，P是$\overset{\frown}{AB}$上两点，$AB=13$，$AC=5$，点P是$\overset{\frown}{BC}$的中点，求PA的长。

连接 BC,OP,PB，
设 BC 交OP 于 E，$OE=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
$\therefore PE=4,BE=CE=6$，
$\therefore PB^{2}=PE^{2}+BE^{2}=52$，
$\therefore PA^{2}=AB^{2}-PB^{2}=117,\therefore PA=3 \sqrt{13}$。

变式1.在【典例1】的条件下，若$PM ⊥ AB$于点M，则$PM=$.

提示:过点 O 作$ON⊥AC$于点 N，
则 $PM=ON=\sqrt{6.5^{2}-2.5^{2}}=6$。

变式2.如图，△ABC为⊙O内接三角形，AB为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，BE平分∠ABC交AD于E，AB=10，$BE=2\sqrt{10}$，求BC的长.

易知 $BD=DE=2\sqrt{5}$,连接OD，
则 $OD⊥BC$ 交 BC 于 F 点，
设 $DF=x,(2\sqrt{5})^{2}-x^{2}=$
$5^{2}-(5-x)^{2},x=2$，
$\therefore BC=8$。

【典例2】如图，若AB为$\odot O$的直径，AC为弦，AP平分$∠ BAC$交$\odot O$于P，交BC于E，BC＝$4\sqrt{2}$，且AE＝PE，连接PC，PB，求AP的长。

连接 PO 交 BC 于 M，
易证$△ ACE≌△ PME,PM=AC$，
设 $OM=x$,则 $AC=PM=2x$，
在 $\mathrm{Rt}△ BOM$ 中,$x^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=(3x)^{2}$，
$x=1(x=-1\mathrm{ 已舍 }),AB=6,BP=2\sqrt{3}$，
$\therefore AP=\sqrt{36-12}=2\sqrt{6}$。

变式.(2025·江岸)如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{BE}$，连接CE交直径AB于点F，BC交AD于点G.
(1)求证:$AD⊥CE$；
(2)若点G为AD的中点，$AF=2$，求AD的长.

(1)证明:连接 BD,$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}$，
$\therefore ∠ BCE=∠ CBD$，
$\therefore CE// BD$，
$\therefore AD⊥ CE$；
(2)解:连接 DO 交 BC 于点 M,连接 AC，
$\therefore △ ACG≌△ DMG,\therefore DM=AC=AF=2$，
又 $\because MO=\frac{1}{2}AC=1,\therefore R=3$，
$\therefore BM=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\therefore BD=\sqrt{2^{2}+8}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AD=\sqrt{36-12}=2\sqrt{6}$。