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1.如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：$□ ABCD$是菱形.
答案
证明:$\because AB=5,OA=4,OB=3,$
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
解析
【分析】
要证明平行四边形ABCD是菱形，可选用判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，因此只需先证明它的对角线AC与BD垂直即可。已知△AOB的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△AOB是否为直角三角形，若∠AOB为直角，即可得到对角线垂直，进而完成证明。
【解析】
证明:$\because AB=5,OA=4,OB=3,$
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
【答案】
证明:$\because AB=5,OA=4,OB=3,$
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
【知识点】
勾股定理的逆定理、菱形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是熟练掌握菱形的判定定理，结合勾股定理的逆定理推导得到对角线垂直的结论即可，需要学生牢记特殊平行四边形的判定条件并灵活应用。
【难度系数】
0.8
要证明平行四边形ABCD是菱形，可选用判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，因此只需先证明它的对角线AC与BD垂直即可。已知△AOB的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△AOB是否为直角三角形，若∠AOB为直角，即可得到对角线垂直，进而完成证明。
【解析】
证明:$\because AB=5,OA=4,OB=3,$
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
【答案】
证明:$\because AB=5,OA=4,OB=3,$
$\therefore AB^{2}=25=OA^{2}+OB^{2},$
$\therefore ∠ AOB=90^{\circ },$
$\therefore AC⊥ BD,$
$\therefore□ ABCD$ 是菱形.
【知识点】
勾股定理的逆定理、菱形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是熟练掌握菱形的判定定理，结合勾股定理的逆定理推导得到对角线垂直的结论即可，需要学生牢记特殊平行四边形的判定条件并灵活应用。
【难度系数】
0.8
2.如图，点 B 在直线 PC 上，BD，BE 分别是$∠ ABC$，$∠ ABP$ 的平分线，且 $AE ⊥ BE$，$AD ⊥ BD$，垂足分别为 E，D。求证：四边形 AEBD 是矩形。
答案
证明:$\because BD,BE$ 分别是$∠ ABC,∠ ABP$的平分线,
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP.$
$\therefore ∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
即$∠ EBD=90°.$
$\because AE⊥ BE,AD⊥ BD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $AEBD$ 是矩形.
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP.$
$\therefore ∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
即$∠ EBD=90°.$
$\because AE⊥ BE,AD⊥ BD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $AEBD$ 是矩形.
解析
【分析】
要证明四边形AEBD是矩形，可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理来推导。首先观察已知条件，AE⊥BE、AD⊥BD，可直接得到∠AEB、∠ADB两个直角，因此只需再证明∠EBD=90°即可。结合BD、BE是邻补角∠ABC、∠ABP的角平分线，利用平角为180°的性质，两个半角之和为180°的一半即90°，即可得到∠EBD=90°，满足三个直角的判定条件，完成证明。
【解析】
1. 根据角平分线的定义推导角的数量关系：
已知BD、BE分别是∠ABC、∠ABP的平分线，因此$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP$。
2. 计算∠EBD的度数：
∠ABC和∠ABP是邻补角，和为平角180°，因此$∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EBD=90°$。
3. 结合垂直条件判定矩形：
由$AE⊥ BE$、$AD⊥ BD$可得$∠ AEB=∠ ADB=90°$，此时四边形AEBD有三个内角为直角，因此四边形AEBD是矩形。
【答案】
证明:$\because BD,BE$ 分别是$∠ ABC,∠ ABP$的平分线,
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP.$
$\therefore ∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
即$∠ EBD=90°.$
$\because AE⊥ BE,AD⊥ BD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $AEBD$ 是矩形.
【知识点】
角平分线的定义、矩形的判定、平角的性质
【点评】
本题属于特殊平行四边形判定的基础题，结合了角平分线、平角的性质与矩形的判定定理，解题的关键是明确矩形判定的所需条件，从已知信息出发推导缺失的证明条件，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明四边形AEBD是矩形，可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理来推导。首先观察已知条件，AE⊥BE、AD⊥BD，可直接得到∠AEB、∠ADB两个直角，因此只需再证明∠EBD=90°即可。结合BD、BE是邻补角∠ABC、∠ABP的角平分线，利用平角为180°的性质，两个半角之和为180°的一半即90°，即可得到∠EBD=90°，满足三个直角的判定条件，完成证明。
【解析】
1. 根据角平分线的定义推导角的数量关系：
已知BD、BE分别是∠ABC、∠ABP的平分线，因此$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP$。
2. 计算∠EBD的度数：
∠ABC和∠ABP是邻补角，和为平角180°，因此$∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ EBD=90°$。
3. 结合垂直条件判定矩形：
由$AE⊥ BE$、$AD⊥ BD$可得$∠ AEB=∠ ADB=90°$，此时四边形AEBD有三个内角为直角，因此四边形AEBD是矩形。
【答案】
证明:$\because BD,BE$ 分别是$∠ ABC,∠ ABP$的平分线,
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABP.$
$\therefore ∠ ABD + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
即$∠ EBD=90°.$
$\because AE⊥ BE,AD⊥ BD,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $AEBD$ 是矩形.
【知识点】
角平分线的定义、矩形的判定、平角的性质
【点评】
本题属于特殊平行四边形判定的基础题，结合了角平分线、平角的性质与矩形的判定定理，解题的关键是明确矩形判定的所需条件，从已知信息出发推导缺失的证明条件，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
3.如图,四边形ABCD是菱形,延长AB到点F,使BF=AB,连接DF交BC于点E.
(1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整(保留作图痕迹),并证明E是BC的中点；
(2)连接BD,若DF⊥BC,AD=4,求BD的长.
数学
(1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整(保留作图痕迹),并证明E是BC的中点；
(2)连接BD,若DF⊥BC,AD=4,求BD的长.
数学
答案
解:(1)补全图形如图所示.
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AB=CD,AB// CD,$
$\therefore ∠ CDE=∠ F,∠ C=∠ FBE.$
$\because BF=AB,$
$\therefore CD=BF.$
在$△ DCE$ 和$△ FBE$ 中,$\begin{cases}∠ CDE=∠ F,\\CD=BF,\\∠ C=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CE=BE,$
$\therefore E$ 是 $BC$ 的中点.
(2)如图.
$\because △ DCE≌△ FBE,$
$\therefore DE=EF.$
$\because DF⊥ BC,$
$\therefore BC$ 是线段 $DF$ 的垂直平分线,
$\therefore BD=BF.$
在菱形 $ABCD$ 中,$AB=AD=4,$
又 $BF=AB=4,$
$\therefore BD=BF=4.$
解析
【分析】
(1)作图思路：先用直尺延长AB，再以B为圆心、AB长为半径用圆规画弧，与AB延长线的交点即为F，保证BF=AB，最后连接DF，DF与BC的交点就是E，保留作图痕迹即可。证明思路：先利用菱形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、AB//CD，进而推出两组对应内错角相等，结合BF=AB得到CD=BF，通过ASA证明△DCE和△FBE全等，根据全等对应边相等即可得到CE=BE，证明E是BC中点。
(2)解题思路：结合第一问的全等结论可得DE=EF，搭配DF⊥BC的条件，可知BC是DF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得BD=BF，再结合菱形边长相等的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
(1)补全图形如图所示。
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AB=CD,AB// CD,$
$\therefore ∠ CDE=∠ F,∠ C=∠ FBE.$
$\because BF=AB,$
$\therefore CD=BF.$
在$△ DCE$ 和$△ FBE$ 中，$\begin{cases}∠ CDE=∠ F,\\CD=BF,\\∠ C=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CE=BE,$
$\therefore E$ 是 $BC$ 的中点。
(2)解：
$\because △ DCE≌△ FBE,$
$\therefore DE=EF.$
$\because DF⊥ BC,$
$\therefore BC$ 是线段 $DF$ 的垂直平分线，
$\therefore BD=BF.$
在菱形 $ABCD$ 中，$AB=AD=4,$
又 $BF=AB=4,$
$\therefore BD=BF=4.$
【答案】
(1)补全图形见，E是BC中点得证；
(2)$BD=4$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，围绕特殊平行四边形和三角形的核心性质设题，解题时需要结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，能够有效锻炼学生的尺规作图能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)作图思路：先用直尺延长AB，再以B为圆心、AB长为半径用圆规画弧，与AB延长线的交点即为F，保证BF=AB，最后连接DF，DF与BC的交点就是E，保留作图痕迹即可。证明思路：先利用菱形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、AB//CD，进而推出两组对应内错角相等，结合BF=AB得到CD=BF，通过ASA证明△DCE和△FBE全等，根据全等对应边相等即可得到CE=BE，证明E是BC中点。
(2)解题思路：结合第一问的全等结论可得DE=EF，搭配DF⊥BC的条件，可知BC是DF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得BD=BF，再结合菱形边长相等的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
(1)补全图形如图所示。
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AB=CD,AB// CD,$
$\therefore ∠ CDE=∠ F,∠ C=∠ FBE.$
$\because BF=AB,$
$\therefore CD=BF.$
在$△ DCE$ 和$△ FBE$ 中，$\begin{cases}∠ CDE=∠ F,\\CD=BF,\\∠ C=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FBE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CE=BE,$
$\therefore E$ 是 $BC$ 的中点。
(2)解：
$\because △ DCE≌△ FBE,$
$\therefore DE=EF.$
$\because DF⊥ BC,$
$\therefore BC$ 是线段 $DF$ 的垂直平分线，
$\therefore BD=BF.$
在菱形 $ABCD$ 中，$AB=AD=4,$
又 $BF=AB=4,$
$\therefore BD=BF=4.$
【答案】
(1)补全图形见
，E是BC中点得证；(2)$BD=4$
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，围绕特殊平行四边形和三角形的核心性质设题，解题时需要结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，能够有效锻炼学生的尺规作图能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
