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6.【传统文化】“方胜”(如图①)是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意.如图②，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案.已知BD'=17.6 cm，点A，C之间的距离为10 cm，则重叠部分的正方形的面积为
2.88
cm².答案
6.2.88
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①利用正方形对角线相等的性质，由AC=10cm得原正方形对角线BD=10cm，再结合平移前后图形全等，得平移后正方形的对角线B'D'=BD=10cm；②观察图形可知，线段BD'是两条对角线重叠后的总长度，用两条对角线长度之和减去BD'的长度，即可得到重叠部分正方形的对角线长度；③最后根据正方形面积可通过对角线乘积的一半计算，代入数据求出结果即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC=10cm，
∴正方形ABCD的对角线BD=AC=10cm（正方形的两条对角线长度相等）。
由平移的性质可知，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD全等，
∴B'D'=BD=10cm。
设重叠部分正方形的对角线长为x cm，
根据重叠线段的长度关系可得：BD + B'D' - x = BD'，
代入数据得：10 + 10 - x = 17.6，
解得x=2.4。
∵正方形的面积=1/2×对角线长×对角线长，
∴重叠部分的面积=1/2×2.4×2.4=2.88（cm²）。
【答案】
2.88
【知识点】
正方形的性质，平移的性质，正方形面积计算
【点评】
本题结合传统纹样“方胜”考查几何知识的实际应用，解题的核心是找到重叠部分正方形的对角线长度，将传统文化与数学知识结合，既考查了基础知识点的掌握，也提升了题目的趣味性。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：①利用正方形对角线相等的性质，由AC=10cm得原正方形对角线BD=10cm，再结合平移前后图形全等，得平移后正方形的对角线B'D'=BD=10cm；②观察图形可知，线段BD'是两条对角线重叠后的总长度，用两条对角线长度之和减去BD'的长度，即可得到重叠部分正方形的对角线长度；③最后根据正方形面积可通过对角线乘积的一半计算，代入数据求出结果即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC=10cm，
∴正方形ABCD的对角线BD=AC=10cm（正方形的两条对角线长度相等）。
由平移的性质可知，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD全等，
∴B'D'=BD=10cm。
设重叠部分正方形的对角线长为x cm，
根据重叠线段的长度关系可得：BD + B'D' - x = BD'，
代入数据得：10 + 10 - x = 17.6，
解得x=2.4。
∵正方形的面积=1/2×对角线长×对角线长，
∴重叠部分的面积=1/2×2.4×2.4=2.88（cm²）。
【答案】
2.88
【知识点】
正方形的性质，平移的性质，正方形面积计算
【点评】
本题结合传统纹样“方胜”考查几何知识的实际应用，解题的核心是找到重叠部分正方形的对角线长度，将传统文化与数学知识结合，既考查了基础知识点的掌握，也提升了题目的趣味性。
【难度系数】
0.6
7.如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$OC$，$OB$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，连接 $BP$，$CP$。
(1)求证:四边形 $BOCP$ 是平行四边形；
(2)当$□ ABCD$ 的对角线满足________时，四边形 $BOCP$ 是正方形，并说明理由。
(1)求证:四边形 $BOCP$ 是平行四边形；
(2)当$□ ABCD$ 的对角线满足________时，四边形 $BOCP$ 是正方形，并说明理由。
答案
7.(1)证明:由题意,得 BP=OC,CP=OB，
∴四边形BOCP是平行四边形.
(2)解:$AC⊥BD$ 且 $AC=BD$
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=2OC,BD=2BO.
∵AC=BD,
∴OC=BO.
∴$□ BOCP$ 为菱形.
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴$□ BOCP$ 是正方形.
∴四边形BOCP是平行四边形.
(2)解:$AC⊥BD$ 且 $AC=BD$
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=2OC,BD=2BO.
∵AC=BD,
∴OC=BO.
∴$□ BOCP$ 为菱形.
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴$□ BOCP$ 是正方形.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BOCP是平行四边形，首先结合题目给出的作图方法，可直接得到两组对边的等量关系：以B为圆心OC长为半径画弧得BP=OC，以C为圆心OB长为半径画弧得CP=OB，再根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可完成证明。
(2) 已知四边形BOCP已经是平行四边形，要使其为正方形，需同时满足两个条件：一是邻边相等（成为菱形），二是有一个内角是直角。结合平行四边形对角线互相平分的性质，OB是BD的一半、OC是AC的一半，要OB=OC则需要AC=BD；要∠BOC=90°则需要AC⊥BD，因此原平行四边形的对角线需满足互相垂直且相等。
【解析】
(1) 证明：由作图题意可得 $BP=OC$，$CP=OB$，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此四边形$BOCP$是平行四边形。
(2) 当$□ ABCD$的对角线满足$\boldsymbol{AC⊥ BD}$且$\boldsymbol{AC=BD}$时，四边形$BOCP$是正方形，理由如下：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，即$AC=2OC$，$BD=2OB$，
∵$AC=BD$，
∴$OC=OB$，
∴邻边相等的平行四边形是菱形，即$□ BOCP$为菱形，
又
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC=90°$，
∴有一个内角为直角的菱形是正方形，因此$□ BOCP$是正方形。
【答案】
(1) 证明：由题意，得 $BP=OC$，$CP=OB$，
∴四边形$BOCP$是平行四边形。
(2) $AC⊥ BD$ 且 $AC=BD$；理由：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AC=2OC$，$BD=2BO$。
∵$AC=BD$，
∴$OC=BO$，
∴$□ BOCP$ 为菱形。
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC=90°$，
∴$□ BOCP$ 是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定；正方形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定，解题关键是结合作图条件提取边的等量关系，再根据特殊平行四边形的判定逻辑逐步推导，能有效巩固对平行四边形、正方形判定定理的理解与应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形BOCP是平行四边形，首先结合题目给出的作图方法，可直接得到两组对边的等量关系：以B为圆心OC长为半径画弧得BP=OC，以C为圆心OB长为半径画弧得CP=OB，再根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可完成证明。
(2) 已知四边形BOCP已经是平行四边形，要使其为正方形，需同时满足两个条件：一是邻边相等（成为菱形），二是有一个内角是直角。结合平行四边形对角线互相平分的性质，OB是BD的一半、OC是AC的一半，要OB=OC则需要AC=BD；要∠BOC=90°则需要AC⊥BD，因此原平行四边形的对角线需满足互相垂直且相等。
【解析】
(1) 证明：由作图题意可得 $BP=OC$，$CP=OB$，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此四边形$BOCP$是平行四边形。
(2) 当$□ ABCD$的对角线满足$\boldsymbol{AC⊥ BD}$且$\boldsymbol{AC=BD}$时，四边形$BOCP$是正方形，理由如下：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，即$AC=2OC$，$BD=2OB$，
∵$AC=BD$，
∴$OC=OB$，
∴邻边相等的平行四边形是菱形，即$□ BOCP$为菱形，
又
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC=90°$，
∴有一个内角为直角的菱形是正方形，因此$□ BOCP$是正方形。
【答案】
(1) 证明：由题意，得 $BP=OC$，$CP=OB$，
∴四边形$BOCP$是平行四边形。
(2) $AC⊥ BD$ 且 $AC=BD$；理由：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AC=2OC$，$BD=2BO$。
∵$AC=BD$，
∴$OC=BO$，
∴$□ BOCP$ 为菱形。
∵$AC⊥ BD$，
∴$∠ BOC=90°$，
∴$□ BOCP$ 是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定；正方形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定，解题关键是结合作图条件提取边的等量关系，再根据特殊平行四边形的判定逻辑逐步推导，能有效巩固对平行四边形、正方形判定定理的理解与应用。
【难度系数】
0.7
