4.【问题背景】
如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出$△ ABE ≌ △ CBE$的证明过程；
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$，求“机翼角”$∠ BAE$的度数.

解:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$BD$ 是对角线,
$\therefore AB=CB,∠ ABD=∠ CBD=45°.$
又 $BE=BE,$
$\therefore △ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$BD$ 是对角线,
$\therefore ∠ BAD=90°,∠ ADB=45°.$
$\because DE=DA,$
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA=\frac{180°-∠ ADB}{2}=67.5°,$
$\therefore ∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=22.5°.$

【分析】
（1）要证明△ABE≌△CBE，首先结合正方形的性质可得边相等、对角线平分内角的条件，再匹配全等三角形的SAS判定定理，即可完成证明：首先正方形四条边相等，可得AB=CB；正方形对角线平分一组内角，可得∠ABE=∠CBE；再加上公共边BE，满足SAS的判定要求。
（2）求∠BAE的度数时，先利用正方形性质得到∠BAD=90°、对角线BD分得的∠ADB=45°，再结合DE=DA可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和算出∠DAE的度数，最后用∠BAD减去∠DAE即可得到所求角度。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$BD$ 是对角线，
$\therefore AB=CB,∠ ABD=∠ CBD=45°.$
又 $BE=BE,$
$\therefore △ ABE≌△ CBE(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$BD$ 是对角线，
$\therefore ∠ BAD=90°,∠ ADB=45°.$
$\because DE=DA,$
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA=\frac{180°-∠ ADB}{2}=67.5°,$
$\therefore ∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=90°-67.5°=22.5°.$
【答案】
(1) 证明过程如上；
(2) $\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合正方形的性质考查全等判定、等腰三角形的角度计算，解题核心是熟练掌握正方形边、对角线的相关性质，结合对应几何定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8

5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形；
(2)连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长.

(1)证明:在正方形 $ABCD$ 中,$AB=CD$,$AB// CD.$
$\because BE=DF,$
$\therefore AB-BE=CD-DF,$
即 $AE=CF.$
又 $AE// CF,$
$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
(2)解:如图,过点 $E$ 作 $EH⊥ CD$ 于点 $H$,
$\therefore ∠ EHC=∠ EHF=90°.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore CD=BC=12,∠ B=∠ BCD=90°,$
$\therefore$ 四边形 $EBCH$ 是矩形,
$\therefore EH=BC=12,CH=BE=5,$
$\therefore DH=CD-CH=12-5=7.$
$\because DF=BE=5,$
$\therefore HF=DH-DF=7-5=2.$
在 $\mathrm{Rt}△ EFH$ 中,根据勾股定理,$EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}.$

【分析】
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。结合正方形对边平行且相等的性质，由已知的BE=DF可推导出AE和CF平行且相等，即可完成证明。
(2) 求线段EF的长度可借助勾股定理求解，因此需要构造包含EF的直角三角形：过E作CD的垂线得到Rt△EFH，再结合正方形、矩形的性质求出两条直角边的长度，代入勾股定理计算即可得到EF的长。
【解析】
(1) 证明：在正方形$ABCD$中，$AB=CD$，$AB// CD$。
$\because BE=DF$，
$\therefore AB-BE=CD-DF$，
即 $AE=CF$。
又 $\because AE// CF$，
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形。
(2) 解：过点$E$作$EH⊥ CD$于点$H$，
$\therefore ∠ EHC=∠ EHF=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore CD=BC=12$，$∠ B=∠ BCD=90°$，
$\therefore$ 四边形$EBCH$是矩形，
$\therefore EH=BC=12$，$CH=BE=5$，
$\therefore DH=CD-CH=12-5=7$。
$\because DF=BE=5$，
$\therefore HF=DH-DF=7-5=2$。
在$\mathrm{Rt}△ EFH$中，根据勾股定理，$EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}$。
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形，得证；
(2) $2\sqrt{37}$
【知识点】
平行四边形的判定，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形相关的基础常考题，综合考查了特殊平行四边形的性质、判定以及勾股定理的应用，第二问中作垂线构造直角三角形是求解线段长度的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7