从基础到应用，一题通全章

一次函数作为初中数学中的重要基础内容，不仅是代数知识的核心，更是解决实际问题的重要工具.它以简洁明了的形式展现了变量之间的线性关系，贯穿于数学学习的方方面面.接下来我们将以一道典型题目为切入点，从基础概念出发，逐步探索一次函数的性质、图象、应用及其与其他知识点的联系.

【典例】 在探究一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象和性质的过程中，$x$与$y$的几组对应值如下表：

根据表格所提供的数据，解答下列问题：
1. 该一次函数的解析式为.
2. $c$的值为.
3. 若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是该一次函数图象上的两点，且$x_1 ＜ x_2$，则$y_1$$y_2$.（填“＞”“=”或“＜”）
【解析】
1. $y=-2x+6$ 提示:将$(0,6),(1,4)$分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}k+b=4, \\ b=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2, \\ b=6,\end{cases}$ $\therefore$一次函数的解析式为$y=-2x+6$.
2. $3$ 提示:对于$y=-2x+6$,令$y=0$,则$-2x+6=0$,解得$x=3$,故$c$的值为$3$.
3. $＞$ 提示:$\because y=-2x+6$中,$k=-2 ＜ 0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小.又$\because x_1 ＜ x_2$,$\therefore y_1 ＞ y_2$.

方法解读; 典例剖析

【分析】
1. 求一次函数解析式：一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，只需代入两组x、y的对应值得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b，进而得到解析式，优先选择计算简便的$(0,6)$、$(1,4)$两组值代入即可。
2. 求c的值：c是$y=0$时对应的x值，将$y=0$代入已求得的解析式，解一元一次方程就能得到c的值。
3. 比较$y_1$和$y_2$的大小：根据一次函数增减性的规律，k的正负决定y随x的变化趋势，先判断k的正负，再结合$x_1＜x_2$的条件即可比较大小。
【解析】
1. 将$(0,6)$、$(1,4)$分别代入$y=kx+b(k≠0)$，得：
$\begin{cases}b=6 \\ k+b=4\end{cases}$
将$b=6$代入$k+b=4$，解得$k=-2$
$\therefore$该一次函数的解析式为$y=-2x+6$
2. 由表格可知$y=0$时$x=c$，将$y=0$代入$y=-2x+6$，得：
$-2x+6=0$
解得$x=3$，即$c=3$
3. $\because$一次函数$y=-2x+6$中$k=-2＜0$
$\therefore y$随$x$的增大而减小
又$\because x_1 ＜ x_2$
$\therefore y_1 ＞ y_2$
【答案】
1. $\boldsymbol{y=-2x+6}$；2. $\boldsymbol{3}$；3. $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的性质；一次函数点坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础典型题，围绕一次函数的核心基础考点设计，解题逻辑清晰，能够帮助学生巩固一次函数的基本概念和性质应用。
【难度系数】
0.85