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3.已知一次函数$y=(m-2)x+3-m$的图象不经过第三象限，且$m$为正整数.
(1)求$m$的值.
(2)当$-4 ＜ y ＜ 0$时，求$x$的取值范围.
(1)求$m$的值.
(2)当$-4 ＜ y ＜ 0$时，求$x$的取值范围.
答案
(1)$\because$ 一次函数 $y = (m - 2)x + 3 - m$ 的图象不经过第三象限,$\therefore \begin{cases} m - 2 ＜ 0, \\ 3 - m ≥ 0, \end{cases}$ 解得 $m ＜ 2$. $\because m$ 为正整数,$\therefore m = 1$,即 $m$ 的值是 1.
(2)由(1)可知,$y = -x + 2$. 当 $y = -4$ 时,$-4 = -x + 2$,得 $x = 6$;当 $y = 0$ 时,$0 = -x + 2$,得 $x = 2$,$\therefore$ 当 $-4 ＜ y ＜ 0$ 时,$x$ 的取值范围是 $2 ＜ x ＜ 6$.
(2)由(1)可知,$y = -x + 2$. 当 $y = -4$ 时,$-4 = -x + 2$,得 $x = 6$;当 $y = 0$ 时,$0 = -x + 2$,得 $x = 2$,$\therefore$ 当 $-4 ＜ y ＜ 0$ 时,$x$ 的取值范围是 $2 ＜ x ＜ 6$.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：首先明确一次函数$y=kx+b$的图象位置由斜率$k$和截距$b$共同决定，图象不经过第三象限说明斜率为负（保证函数呈下降趋势，不会向第三象限延伸），且截距非负（保证与$y$轴交点在正半轴或原点），据此列出关于$m$的不等式组，再结合$m$是正整数的限制条件即可求出$m$的值。第(2)问解题思路：先将第(1)问求出的$m$代入得到具体的函数解析式，再分别求出$y=-4$和$y=0$对应的$x$值，结合一次函数的增减性，就能根据$y$的取值范围推出$x$的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数$y=(m-2)x+3-m$中，斜率$k=m-2$，截距$b=3-m$。
$\because$ 函数图象不经过第三象限，
$\therefore \begin{cases} m-2 ＜ 0 \\ 3 - m ≥ 0 \end{cases}$
解不等式$m-2 ＜ 0$得$m ＜ 2$，解不等式$3 - m ≥ 0$得$m ≤ 3$，取交集得$m ＜ 2$。
又$\because m$为正整数，
$\therefore m=1$。
(2) 将$m=1$代入函数解析式，得$y=(1-2)x+3-1=-x+2$，该函数斜率为$-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-4$时，代入得$-4=-x+2$，解得$x=6$；
当$y=0$时，代入得$0=-x+2$，解得$x=2$。
$\because y$随$x$增大而减小，
$\therefore$ 当$-4 ＜ y ＜ 0$时，$x$的取值范围为$2 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $2 ＜ x ＜ 6$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数基础应用类题目，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值对图象位置的影响，结合函数增减性即可顺利求解变量取值范围，解题时需注意不经过第三象限包含经过原点的情况，不要漏了$b≥0$的等号。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：首先明确一次函数$y=kx+b$的图象位置由斜率$k$和截距$b$共同决定，图象不经过第三象限说明斜率为负（保证函数呈下降趋势，不会向第三象限延伸），且截距非负（保证与$y$轴交点在正半轴或原点），据此列出关于$m$的不等式组，再结合$m$是正整数的限制条件即可求出$m$的值。第(2)问解题思路：先将第(1)问求出的$m$代入得到具体的函数解析式，再分别求出$y=-4$和$y=0$对应的$x$值，结合一次函数的增减性，就能根据$y$的取值范围推出$x$的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数$y=(m-2)x+3-m$中，斜率$k=m-2$，截距$b=3-m$。
$\because$ 函数图象不经过第三象限，
$\therefore \begin{cases} m-2 ＜ 0 \\ 3 - m ≥ 0 \end{cases}$
解不等式$m-2 ＜ 0$得$m ＜ 2$，解不等式$3 - m ≥ 0$得$m ≤ 3$，取交集得$m ＜ 2$。
又$\because m$为正整数，
$\therefore m=1$。
(2) 将$m=1$代入函数解析式，得$y=(1-2)x+3-1=-x+2$，该函数斜率为$-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-4$时，代入得$-4=-x+2$，解得$x=6$；
当$y=0$时，代入得$0=-x+2$，解得$x=2$。
$\because y$随$x$增大而减小，
$\therefore$ 当$-4 ＜ y ＜ 0$时，$x$的取值范围为$2 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $2 ＜ x ＜ 6$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数基础应用类题目，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值对图象位置的影响，结合函数增减性即可顺利求解变量取值范围，解题时需注意不经过第三象限包含经过原点的情况，不要漏了$b≥0$的等号。
【难度系数】
0.7
4.已知学校热水器有一个可以储200升(L)水的储水装置,且水在装满储水装置时会自动停止,如图所示为储水量y与加水时间x的关系,已知温度t(单位:℃)与x的关系:$t=\frac{20x+100}{x+2}$.
(1)求y关于x的函数表达式并写出自变量的取值范围.
(2)当水加满时,储水装置内水的温度为多少?
(1)求y关于x的函数表达式并写出自变量的取值范围.
(2)当水加满时,储水装置内水的温度为多少?
答案
(1)设 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y = kx + b$($k ≠ 0$),把 $(0,80)$,$(2,160)$ 代入 $y = kx + b$($k ≠ 0$) 中,得 $\begin{cases} 2k + b = 160, \\ b = 80, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 40, \\ b = 80, \end{cases}$ $\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y = 40x + 80$. 当 $y = 40x + 80 = 200$ 时,$x = 3$,$\therefore 0 ≤ x ≤ 3$.
(2)由(1)可得当 $y = 200$ 时,$x = 3$,$\therefore$ 加满水时,$x = 3$,$\therefore t = \frac{20x + 100}{x + 2} = \frac{20 × 3 + 100}{3 + 2} = 32$.
答:当水加满时,储水装置内水的温度为 $32° C$.
(2)由(1)可得当 $y = 200$ 时,$x = 3$,$\therefore$ 加满水时,$x = 3$,$\therefore t = \frac{20x + 100}{x + 2} = \frac{20 × 3 + 100}{3 + 2} = 32$.
答:当水加满时,储水装置内水的温度为 $32° C$.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知储水量y与加水时间x为一次函数关系，因此可设解析式为y=kx+b(k≠0)，从图像中提取两个已知点坐标：x=0时y=80，x=2时y=160，将两点代入解析式即可求出k、b的值，得到函数表达式；再结合储水装置最大储水量为200升，令y=200求解对应的x值，结合x表示时间的实际意义，即可确定自变量的取值范围。
(2) 水加满时储水量为200升，由(1)可得此时对应的x值，将x代入给出的温度t的表达式计算，即可得到加满水时的水温。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为 $y = kx + b$($k ≠ 0$)，
把 $(0,80)$、$(2,160)$ 代入解析式，得：
$\begin{cases} 2k + b = 160 \\ b = 80 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = 40 \\ b = 80 \end{cases}$
$\therefore$ y关于x的函数表达式为 $y = 40x + 80$。
令$y=200$，则$40x + 80 = 200$，解得$x=3$，结合加水时间非负，自变量取值范围为$0 ≤ x ≤ 3$。
(2) 水加满时$y=200$，由(1)可知此时$x=3$，
将$x=3$代入$t=\frac{20x+100}{x+2}$，得：
$t = \frac{20 × 3 + 100}{3 + 2} = 32$
【答案】
(1) $y = 40x + 80（0 ≤ x ≤ 3）$
(2) $32℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数，自变量取值范围确定，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的实际应用，解题关键是从函数图像中提取有效坐标信息，结合实际意义确定参数范围，再代入对应关系式计算，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知储水量y与加水时间x为一次函数关系，因此可设解析式为y=kx+b(k≠0)，从图像中提取两个已知点坐标：x=0时y=80，x=2时y=160，将两点代入解析式即可求出k、b的值，得到函数表达式；再结合储水装置最大储水量为200升，令y=200求解对应的x值，结合x表示时间的实际意义，即可确定自变量的取值范围。
(2) 水加满时储水量为200升，由(1)可得此时对应的x值，将x代入给出的温度t的表达式计算，即可得到加满水时的水温。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为 $y = kx + b$($k ≠ 0$)，
把 $(0,80)$、$(2,160)$ 代入解析式，得：
$\begin{cases} 2k + b = 160 \\ b = 80 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = 40 \\ b = 80 \end{cases}$
$\therefore$ y关于x的函数表达式为 $y = 40x + 80$。
令$y=200$，则$40x + 80 = 200$，解得$x=3$，结合加水时间非负，自变量取值范围为$0 ≤ x ≤ 3$。
(2) 水加满时$y=200$，由(1)可知此时$x=3$，
将$x=3$代入$t=\frac{20x+100}{x+2}$，得：
$t = \frac{20 × 3 + 100}{3 + 2} = 32$
【答案】
(1) $y = 40x + 80（0 ≤ x ≤ 3）$
(2) $32℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数，自变量取值范围确定，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的实际应用，解题关键是从函数图像中提取有效坐标信息，结合实际意义确定参数范围，再代入对应关系式计算，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=-x+3$与过点$(-1,1)$的直线$l_2$交于$y$轴上的点$B$,点$A,D$分别为直线$l_1,l_2$与$x$轴的交点.
(1)求点$B$的坐标及直线$l_2$的函数表达式;
(2)若过点$B$的直线$l_3$把$△ ABD$的面积平分,求直线$l_3$的函数表达式.
(1)求点$B$的坐标及直线$l_2$的函数表达式;
(2)若过点$B$的直线$l_3$把$△ ABD$的面积平分,求直线$l_3$的函数表达式.
答案
(1)将 $x = 0$ 代入 $y = -x + 3$,得 $y = 3$,$\therefore B(0,3)$.
设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y = kx + b$,
将点 $(0,3)$ 和点 $(-1,1)$ 的坐标代入 $y = kx + b$,得
$\begin{cases} b = 3, \\ -k + b = 1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 2, \\ b = 3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y = 2x + 3$.
(2)$\because$ 过点 $B$ 的直线 $l_3$ 把 $△ ABD$ 的面积平分,
$\therefore$ 直线 $l_3$ 经过 $AD$ 的中点.
将 $y = 0$ 代入 $y = 2x + 3$,解得 $x = -\frac{3}{2}$,$\therefore D(-\frac{3}{2},0)$.
将 $y = 0$ 代入 $y = -x + 3$,解得 $x = 3$,$\therefore A(3,0)$.
$\therefore \frac{1}{2} × (-\frac{3}{2} + 3) = \frac{3}{4}$,则线段 $AD$ 的中点坐标为 $(\frac{3}{4},0)$.
设直线 $l_3$ 的函数表达式为 $y = mx + n$,分别代入点 $B(0,3)$ 和 $(\frac{3}{4},0)$ 的坐标,得 $\begin{cases} n = 3, \\ \frac{3}{4}m + n = 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m = -4, \\ n = 3, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_3$ 的函数表达式为 $y = -4x + 3$.
设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y = kx + b$,
将点 $(0,3)$ 和点 $(-1,1)$ 的坐标代入 $y = kx + b$,得
$\begin{cases} b = 3, \\ -k + b = 1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 2, \\ b = 3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y = 2x + 3$.
(2)$\because$ 过点 $B$ 的直线 $l_3$ 把 $△ ABD$ 的面积平分,
$\therefore$ 直线 $l_3$ 经过 $AD$ 的中点.
将 $y = 0$ 代入 $y = 2x + 3$,解得 $x = -\frac{3}{2}$,$\therefore D(-\frac{3}{2},0)$.
将 $y = 0$ 代入 $y = -x + 3$,解得 $x = 3$,$\therefore A(3,0)$.
$\therefore \frac{1}{2} × (-\frac{3}{2} + 3) = \frac{3}{4}$,则线段 $AD$ 的中点坐标为 $(\frac{3}{4},0)$.
设直线 $l_3$ 的函数表达式为 $y = mx + n$,分别代入点 $B(0,3)$ 和 $(\frac{3}{4},0)$ 的坐标,得 $\begin{cases} n = 3, \\ \frac{3}{4}m + n = 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m = -4, \\ n = 3, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_3$ 的函数表达式为 $y = -4x + 3$.
解析
【分析】
(1) 求点B坐标：点B是直线$l_1$与y轴的交点，y轴上所有点的横坐标都为0，因此将x=0代入$l_1$的解析式即可求出B点纵坐标，得到B点坐标。求直线$l_2$的解析式：已知$l_2$经过B点和点(-1,1)，两点确定一条直线，使用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两个点的坐标解二元一次方程组，即可求出k、b的值，得到$l_2$的解析式。
(2) 要让过B点的直线$l_3$平分$△ ABD$的面积，当$△ ABD$以AD为底时，过B点的高是固定值，因此只要将AD分为相等的两段，得到的两个小三角形等底同高，面积就相等，即$l_3$需要经过AD的中点。先求出$l_1$、$l_2$与x轴交点A、D的坐标，计算AD的中点坐标，再用待定系数法代入B点和中点坐标，就能求出$l_3$的解析式。
【解析】
(1) 求点B坐标：
将$x=0$代入$y=-x+3$，得$y=-0+3=3$，$\therefore B(0,3)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
将点$(0,3)$和点$(-1,1)$的坐标代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} b = 3, \\ -k + b = 1, \end{cases}$
把$b=3$代入$-k+b=1$，解得$k=2$，
$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+3$。
(2) $\because$ 过点B的直线$l_3$把$△ ABD$的面积平分，$\therefore$ 直线$l_3$经过AD的中点。
求点D坐标：将$y=0$代入$y=2x+3$，得$0=2x+3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，$\therefore D(-\frac{3}{2},0)$。
求点A坐标：将$y=0$代入$y=-x+3$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，$\therefore A(3,0)$。
计算AD中点坐标：横坐标为$\frac{-\frac{3}{2}+3}{2}=\frac{3}{4}$，纵坐标为0，即中点坐标为$(\frac{3}{4},0)$。
设直线$l_3$的函数表达式为$y=mx+n$，分别代入点$B(0,3)$和$(\frac{3}{4},0)$的坐标，得
$\begin{cases} n = 3, \\ \frac{3}{4}m + n = 0, \end{cases}$
把$n=3$代入第二个方程，解得$m=-4$，
$\therefore$ 直线$l_3$的函数表达式为$y=-4x+3$。
【答案】
(1) $B(0,3)$，直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+3}$；
(2) 直线$l_3$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-4x+3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形中线性质
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，理解三角形中线平分面积的性质，能结合一次函数的几何特征求解交点坐标，对巩固一次函数的应用有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
(1) 求点B坐标：点B是直线$l_1$与y轴的交点，y轴上所有点的横坐标都为0，因此将x=0代入$l_1$的解析式即可求出B点纵坐标，得到B点坐标。求直线$l_2$的解析式：已知$l_2$经过B点和点(-1,1)，两点确定一条直线，使用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两个点的坐标解二元一次方程组，即可求出k、b的值，得到$l_2$的解析式。
(2) 要让过B点的直线$l_3$平分$△ ABD$的面积，当$△ ABD$以AD为底时，过B点的高是固定值，因此只要将AD分为相等的两段，得到的两个小三角形等底同高，面积就相等，即$l_3$需要经过AD的中点。先求出$l_1$、$l_2$与x轴交点A、D的坐标，计算AD的中点坐标，再用待定系数法代入B点和中点坐标，就能求出$l_3$的解析式。
【解析】
(1) 求点B坐标：
将$x=0$代入$y=-x+3$，得$y=-0+3=3$，$\therefore B(0,3)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
将点$(0,3)$和点$(-1,1)$的坐标代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases} b = 3, \\ -k + b = 1, \end{cases}$
把$b=3$代入$-k+b=1$，解得$k=2$，
$\therefore$ 直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+3$。
(2) $\because$ 过点B的直线$l_3$把$△ ABD$的面积平分，$\therefore$ 直线$l_3$经过AD的中点。
求点D坐标：将$y=0$代入$y=2x+3$，得$0=2x+3$，解得$x=-\frac{3}{2}$，$\therefore D(-\frac{3}{2},0)$。
求点A坐标：将$y=0$代入$y=-x+3$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，$\therefore A(3,0)$。
计算AD中点坐标：横坐标为$\frac{-\frac{3}{2}+3}{2}=\frac{3}{4}$，纵坐标为0，即中点坐标为$(\frac{3}{4},0)$。
设直线$l_3$的函数表达式为$y=mx+n$，分别代入点$B(0,3)$和$(\frac{3}{4},0)$的坐标，得
$\begin{cases} n = 3, \\ \frac{3}{4}m + n = 0, \end{cases}$
把$n=3$代入第二个方程，解得$m=-4$，
$\therefore$ 直线$l_3$的函数表达式为$y=-4x+3$。
【答案】
(1) $B(0,3)$，直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+3}$；
(2) 直线$l_3$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-4x+3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形中线性质
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，理解三角形中线平分面积的性质，能结合一次函数的几何特征求解交点坐标，对巩固一次函数的应用有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
