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1. 确定一个圆的条件是
圆心
和半径
.答案
1. 圆心 半径
解析
【分析】
解题时可从圆的定义入手分析：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。其中定点决定圆的位置，定长决定圆的大小：若仅确定定点，可画出无数个大小不同、位置相同的圆；若仅确定定长，可画出无数个大小相同、位置不同的圆，只有同时确定这两个要素，才能唯一确定一个圆，由此即可推导出确定圆的两个条件。
【解析】
根据圆的定义可知：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，定长叫做半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有同时确定圆心和半径，才能唯一确定一个圆。
【答案】
圆心 半径
【知识点】
圆的定义；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆的构成要素的识记与理解，是学习圆的相关性质的必备基础，熟练掌握教材基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可从圆的定义入手分析：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。其中定点决定圆的位置，定长决定圆的大小：若仅确定定点，可画出无数个大小不同、位置相同的圆；若仅确定定长，可画出无数个大小相同、位置不同的圆，只有同时确定这两个要素，才能唯一确定一个圆，由此即可推导出确定圆的两个条件。
【解析】
根据圆的定义可知：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，定长叫做半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有同时确定圆心和半径，才能唯一确定一个圆。
【答案】
圆心 半径
【知识点】
圆的定义；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆的构成要素的识记与理解，是学习圆的相关性质的必备基础，熟练掌握教材基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\odot O$中最长的弦为16 cm，则$\odot O$的半径为
8
cm.答案
2. 8
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的相关概念，明确圆中最长的弦是直径这一核心结论，已知最长弦的长度就等于得到了圆的直径长度，再根据半径是直径的一半，代入数值计算即可得到半径长度。
【解析】
因为圆中最长的弦为直径，由题意可知$\odot O$的直径为16 cm，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$（$r$表示半径，$d$表示直径），可得$\odot O$的半径为$\frac{16}{2}=8$ cm。
【答案】
8
【知识点】
圆的弦的性质；直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查对圆中最长弦是直径这一结论的掌握，牢记该结论即可快速计算求解。
【难度系数】
0.95
解题时首先回忆圆的相关概念，明确圆中最长的弦是直径这一核心结论，已知最长弦的长度就等于得到了圆的直径长度，再根据半径是直径的一半，代入数值计算即可得到半径长度。
【解析】
因为圆中最长的弦为直径，由题意可知$\odot O$的直径为16 cm，根据半径与直径的关系$r=\frac{d}{2}$（$r$表示半径，$d$表示直径），可得$\odot O$的半径为$\frac{16}{2}=8$ cm。
【答案】
8
【知识点】
圆的弦的性质；直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查对圆中最长弦是直径这一结论的掌握，牢记该结论即可快速计算求解。
【难度系数】
0.95
3. 过除圆心外的圆内一点可以作出圆的最长弦
1
条.答案
3. 1
解析
【分析】
首先明确圆中最长的弦是直径，直径必须经过圆心。题目要求过圆内除圆心外的一点作最长弦，本质是作过该点的直径，也就是要作同时经过该定点和圆心的弦。根据直线的基本性质，两点确定一条直线，因此同时经过这两个点的直线只有1条，这条直线与圆相交得到的弦就是唯一的最长弦，由此可推导结果。
【解析】
解：① 由圆的相关概念可知，圆中最长的弦为直径，直径是经过圆心的弦；
② 要过圆内除圆心外的定点作最长弦，即该弦需同时经过定点和圆心两个点；
③ 根据“两点确定一条直线”的基本事实，过这两个点的直线有且仅有1条，这条直线与圆相交得到的弦就是唯一符合要求的最长弦。
因此过除圆心外的圆内一点可以作出的圆的最长弦有1条。
【答案】
1
【知识点】
直径的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是掌握“圆的最长弦是直径”的性质，同时要注意题干中“除圆心外”的限定条件，若定点为圆心，则可作出无数条最长弦，解题时不要忽略前提限制。
【难度系数】
0.9
首先明确圆中最长的弦是直径，直径必须经过圆心。题目要求过圆内除圆心外的一点作最长弦，本质是作过该点的直径，也就是要作同时经过该定点和圆心的弦。根据直线的基本性质，两点确定一条直线，因此同时经过这两个点的直线只有1条，这条直线与圆相交得到的弦就是唯一的最长弦，由此可推导结果。
【解析】
解：① 由圆的相关概念可知，圆中最长的弦为直径，直径是经过圆心的弦；
② 要过圆内除圆心外的定点作最长弦，即该弦需同时经过定点和圆心两个点；
③ 根据“两点确定一条直线”的基本事实，过这两个点的直线有且仅有1条，这条直线与圆相交得到的弦就是唯一符合要求的最长弦。
因此过除圆心外的圆内一点可以作出的圆的最长弦有1条。
【答案】
1
【知识点】
直径的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是掌握“圆的最长弦是直径”的性质，同时要注意题干中“除圆心外”的限定条件，若定点为圆心，则可作出无数条最长弦，解题时不要忽略前提限制。
【难度系数】
0.9
4. 以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案
4. A
解析
【分析】
首先要明确确定一个圆的两个必要条件：一是圆心，决定圆的位置；二是半径，决定圆的大小。接下来对照题目给出的条件：圆心是固定的已知点O，半径是固定长度的已知线段a，两个确定圆的条件都已经唯一确定，由此就能判断出可以作出的圆的数量。
【解析】
确定一个圆需要两个核心要素：圆心和半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。本题中圆心O为固定的已知点，半径a为固定的已知长度，两个要素均唯一确定，因此仅能作出1个符合要求的圆。故选A。
【答案】A
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆的确定条件的理解，只要牢记圆的两个确定要素即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先要明确确定一个圆的两个必要条件：一是圆心，决定圆的位置；二是半径，决定圆的大小。接下来对照题目给出的条件：圆心是固定的已知点O，半径是固定长度的已知线段a，两个确定圆的条件都已经唯一确定，由此就能判断出可以作出的圆的数量。
【解析】
确定一个圆需要两个核心要素：圆心和半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。本题中圆心O为固定的已知点，半径a为固定的已知长度，两个要素均唯一确定，因此仅能作出1个符合要求的圆。故选A。
【答案】A
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆的确定条件的理解，只要牢记圆的两个确定要素即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 下列说法错误的是 （
A.半圆是弧
B.半径相等的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.弓形是弦及弦所对的弧组成的图形
C
）A.半圆是弧
B.半径相等的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.弓形是弦及弦所对的弧组成的图形
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基本概念的辨析，解题思路是逐一对应每个选项涉及的概念定义，判断表述是否符合定义要求，最终选出错误的选项。首先回忆弧、等圆、直径、弓形的定义，再逐个验证选项表述的严谨性即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弧的定义为圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点分圆得到的弧，因此半圆是弧，该选项说法正确，不符合题意；
B. 能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆可以完全重合，因此半径相等的圆是等圆，该选项说法正确，不符合题意；
C. 直径的定义是：经过圆心，且两个端点都在圆上的线段。仅过圆心的线段，若端点不在圆上则不是直径，该选项说法错误，符合题意；
D. 弓形的定义是弦及弦所对的弧组成的图形，该选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的有关概念；直径的定义；等圆的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握各类圆相关概念的限制条件，尤其要注意直径需同时满足“过圆心”“两端点在圆上”两个条件，避免因概念记忆不严谨出错。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基本概念的辨析，解题思路是逐一对应每个选项涉及的概念定义，判断表述是否符合定义要求，最终选出错误的选项。首先回忆弧、等圆、直径、弓形的定义，再逐个验证选项表述的严谨性即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弧的定义为圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点分圆得到的弧，因此半圆是弧，该选项说法正确，不符合题意；
B. 能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆可以完全重合，因此半径相等的圆是等圆，该选项说法正确，不符合题意；
C. 直径的定义是：经过圆心，且两个端点都在圆上的线段。仅过圆心的线段，若端点不在圆上则不是直径，该选项说法错误，符合题意；
D. 弓形的定义是弦及弦所对的弧组成的图形，该选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的有关概念；直径的定义；等圆的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握各类圆相关概念的限制条件，尤其要注意直径需同时满足“过圆心”“两端点在圆上”两个条件，避免因概念记忆不严谨出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题中是真命题的有 （
① 两个端点能够重合的弧是等弧；② 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③ 长度相等的弧是等弧；④ 半径相等的圆是等圆；⑤ 直径是圆内最长的弦；⑥ 半圆所对的弦是直径.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A
）① 两个端点能够重合的弧是等弧；② 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③ 长度相等的弧是等弧；④ 半径相等的圆是等圆；⑤ 直径是圆内最长的弦；⑥ 半圆所对的弦是直径.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题思路是逐一判断每个命题的真假：先回忆等弧、等圆、弦、优弧、劣弧等相关定义，再将每个命题和定义对照，判断对错，最后统计真命题的数量即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析6个命题的真假：
① 等弧的定义是能够完全重合的弧，仅端点重合的弧，若所在圆的半径不同，无法完全重合，不是等弧，故①为假命题；
② 当弦是直径时，会把圆分成两个半圆，而非优弧和劣弧两部分，故②为假命题；
③ 长度相等的弧，若弯曲程度不同（所在圆半径不同），无法完全重合，不属于等弧，等弧必须满足能够完全重合，故③为假命题；
④ 半径相等的圆可以完全重合，符合等圆的定义，故④为真命题；
⑤ 直径是过圆心的弦，长度等于2倍半径，其余弦的长度都小于2倍半径，因此直径是圆内最长的弦，故⑤为真命题；
⑥ 半圆的两个端点就是直径的两个端点，因此半圆所对的弦是直径，故⑥为真命题。
综上，真命题为④⑤⑥，共3个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本概念，等弧的定义，弦的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆相关基础定义的掌握程度，解题的关键是准确理解等弧、等圆、弦等概念的内涵，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题思路是逐一判断每个命题的真假：先回忆等弧、等圆、弦、优弧、劣弧等相关定义，再将每个命题和定义对照，判断对错，最后统计真命题的数量即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析6个命题的真假：
① 等弧的定义是能够完全重合的弧，仅端点重合的弧，若所在圆的半径不同，无法完全重合，不是等弧，故①为假命题；
② 当弦是直径时，会把圆分成两个半圆，而非优弧和劣弧两部分，故②为假命题；
③ 长度相等的弧，若弯曲程度不同（所在圆半径不同），无法完全重合，不属于等弧，等弧必须满足能够完全重合，故③为假命题；
④ 半径相等的圆可以完全重合，符合等圆的定义，故④为真命题；
⑤ 直径是过圆心的弦，长度等于2倍半径，其余弦的长度都小于2倍半径，因此直径是圆内最长的弦，故⑤为真命题；
⑥ 半圆的两个端点就是直径的两个端点，因此半圆所对的弦是直径，故⑥为真命题。
综上，真命题为④⑤⑥，共3个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本概念，等弧的定义，弦的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆相关基础定义的掌握程度，解题的关键是准确理解等弧、等圆、弦等概念的内涵，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，大圆O与小圆O的半径分别为2 cm，1 cm，若点P在圆环内（阴影部分，不含边界），则点P到圆心O的距离可能为 （
A.1 cm
B.0.8 cm
C.1.8 cm
D.2.1 cm
C
）A.1 cm
B.0.8 cm
C.1.8 cm
D.2.1 cm
答案
3. C
解析
【分析】
要确定点P到圆心O的距离范围，需结合点和圆的位置关系判断：首先明确点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径。本题中点P在不含边界的圆环内，说明点P既在小圆外，又在大圆内，分别根据两个位置关系列出距离的限制条件，即可得到距离的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
设点P到圆心O的距离为d，根据点和圆的位置关系：
1. 点P在小圆外（不含边界），小圆半径为1cm，因此$d＞1\mathrm{cm}$；
2. 点P在大圆内（不含边界），大圆半径为2cm，因此$d＜2\mathrm{cm}$。
综上可得d的取值范围是$1\mathrm{cm}＜d＜2\mathrm{cm}$。
逐一分析选项：A选项1cm、B选项0.8cm均不满足大于1cm的要求，D选项2.1cm不满足小于2cm的要求，只有C选项1.8cm在$1\mathrm{cm}＜d＜2\mathrm{cm}$范围内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系、圆环的特征
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握点与圆不同位置关系下，点到圆心的距离和半径的大小对应关系，结合圆环的范围限制即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定点P到圆心O的距离范围，需结合点和圆的位置关系判断：首先明确点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径。本题中点P在不含边界的圆环内，说明点P既在小圆外，又在大圆内，分别根据两个位置关系列出距离的限制条件，即可得到距离的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
设点P到圆心O的距离为d，根据点和圆的位置关系：
1. 点P在小圆外（不含边界），小圆半径为1cm，因此$d＞1\mathrm{cm}$；
2. 点P在大圆内（不含边界），大圆半径为2cm，因此$d＜2\mathrm{cm}$。
综上可得d的取值范围是$1\mathrm{cm}＜d＜2\mathrm{cm}$。
逐一分析选项：A选项1cm、B选项0.8cm均不满足大于1cm的要求，D选项2.1cm不满足小于2cm的要求，只有C选项1.8cm在$1\mathrm{cm}＜d＜2\mathrm{cm}$范围内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系、圆环的特征
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握点与圆不同位置关系下，点到圆心的距离和半径的大小对应关系，结合圆环的范围限制即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$AB=10$. 以点$C$为圆心，$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$，则$AC$的长为（
A.$5\sqrt{3}$
B.$5$
C.$5\sqrt{2}$
D.$6$
A
）A.$5\sqrt{3}$
B.$5$
C.$5\sqrt{2}$
D.$6$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：出现直角三角形斜边中点，优先想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可求出CD的长度；再根据圆的性质，同圆的所有半径相等，可得CD=CB，从而得到BC的长度；最后在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，D为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
∵点D在以C为圆心、CB长为半径的圆上，
∴根据同圆的半径相等，得$CB=CD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的基本性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和圆的半径相等的特点，结合勾股定理即可快速求解，是圆相关概念章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：出现直角三角形斜边中点，优先想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可求出CD的长度；再根据圆的性质，同圆的所有半径相等，可得CD=CB，从而得到BC的长度；最后在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，D为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
∵点D在以C为圆心、CB长为半径的圆上，
∴根据同圆的半径相等，得$CB=CD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的基本性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和圆的半径相等的特点，结合勾股定理即可快速求解，是圆相关概念章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
5. 若$\odot O$所在平面内有一点$P$，这一点$P$到$\odot O$上的点的最大距离为$a$，最小距离为$b(a＞b)$，则此圆的半径为（
A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{a-b}{2}$
C.$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
D.$a+b$或$a-b$
C
）A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{a-b}{2}$
C.$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
D.$a+b$或$a-b$
答案
5. C
解析
【分析】
解决本题需先明确点与圆的位置关系，结合题意可排除点在圆上的情况，只需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。点到圆上各点的最大距离和最小距离，都是过点P与圆心的直线和圆的交点到P的距离，我们先根据两种位置关系分别求出圆的直径，再计算半径即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点$P$在$\odot O$内部：
点$P$到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，即直径$d=a+b$，因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a+b}{2}$。
2. 若点$P$在$\odot O$外部：
点$P$到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，即直径$d=a-b$，因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a-b}{2}$。
综上，此圆的半径为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题容易出现漏解问题，解题时要注意运用分类讨论思想，全面考虑点在圆内、圆外两种不同的位置情况，避免只分析一种情况导致失分。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确点与圆的位置关系，结合题意可排除点在圆上的情况，只需分点在圆内、点在圆外两种情况讨论。点到圆上各点的最大距离和最小距离，都是过点P与圆心的直线和圆的交点到P的距离，我们先根据两种位置关系分别求出圆的直径，再计算半径即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点$P$在$\odot O$内部：
点$P$到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，即直径$d=a+b$，因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a+b}{2}$。
2. 若点$P$在$\odot O$外部：
点$P$到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，即直径$d=a-b$，因此半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a-b}{2}$。
综上，此圆的半径为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题容易出现漏解问题，解题时要注意运用分类讨论思想，全面考虑点在圆内、圆外两种不同的位置情况，避免只分析一种情况导致失分。
【难度系数】
0.6
