15. 已知∠AOB=30°, H为射线OA上一定点, OH=√3 +1, P为射线OB上一点, M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON.
(1) 根据题意补全图形；
(2) 求证:∠OMP=∠OPN；
(3) 点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.

(1) 如图①
(2) 证明:
∵∠AOB=30°,
∴在△OPM中,∠OMP=180°−∠POM−∠OPM=150°−∠OPM. 又∠MPN=150°,
∴∠OPN=∠MPN−∠OPM=150°−∠OPM,
∴∠OMP=∠OPN.
(3) 如图②,过点P作PK⊥OA于点K,过点N作NF⊥OB于点F,先证△NPF≌△PMK,再证Rt△NOF≌Rt△PQK,
∴KQ=OF. 设MK=y,PK=x,则OP=2x,OK=$\sqrt{3}$x,OF=2x+y,MH=OH−OM=$\sqrt{3}+1−(\sqrt{3}x−y)$,KH=$\sqrt{3}+1−\sqrt{3}x$,
∴KQ=KH+HQ=2$\sqrt{3}+2−2\sqrt{3}x+y$,而KQ=OF,
∴2$\sqrt{3}+2=x(2+2\sqrt{3})$,
∴x=1,
∴OP=2.

【分析】
(1) 补全图形时，按照旋转的要求，将线段PM绕点P顺时针旋转150°得到PN，标注对应字母即可。
(2) 要证明∠OMP=∠OPN，可分别用∠OPM表示两个角：先利用三角形内角和定理，结合∠AOB=30°写出∠OMP的表达式，再根据旋转角为150°写出∠OPN的表达式，对比两个表达式即可证明相等。
(3) 要使ON=QP对任意点M恒成立，可通过作垂线构造直角三角形，利用全等三角形的性质建立边的等量关系：设未知数表示相关线段长度，利用恒成立条件消去和动点M相关的变量，求解即可得到OP的长度。
【解析】
(1) 根据题意补全图形，结果如图①所示。
(2) 证明：
∵∠AOB=30°，在△OPM中，由三角形内角和为180°可得：
∠OMP=180°−∠POM−∠OPM=180°−30°−∠OPM=150°−∠OPM，
由旋转的性质可知∠MPN=150°，
∴∠OPN=∠MPN−∠OPM=150°−∠OPM，
∴∠OMP=∠OPN。
(3) 取OP=2时，对任意点M总有ON=QP，证明如下：
如图②，过点P作PK⊥OA于点K，过点N作NF⊥OB于点F，则∠NFP=∠PKM=90°。
由(2)知∠OPN=∠OMP，可得∠FNP=∠MPK，
由旋转性质得PM=PN，
∴△NPF≌△PMK（AAS），
∴NF=PK，PF=MK。
在Rt△NOF和Rt△QPK中，
$\{\begin{array}{l}NF=PK\\ ON=QP\end{array} $
∴Rt△NOF≌Rt△PQK（HL），
∴OF=KQ。
设MK=y，PK=x，
在Rt△OPK中，∠POK=30°，
∴OP=2x，OK=$\sqrt{3}x$，OF=OP+PF=2x+y。
∵点M与点Q关于点H对称，
∴MH=HQ，
OM=OK−MK=$\sqrt{3}x−y$，
∴MH=OH−OM=$\sqrt{3}+1−(\sqrt{3}x−y)$，
KH=OH−OK=$\sqrt{3}+1−\sqrt{3}x$，
∴KQ=KH+HQ=KH+MH=$\sqrt{3}+1−\sqrt{3}x + \sqrt{3}+1−\sqrt{3}x + y=2\sqrt{3}+2−2\sqrt{3}x+y$。
∵OF=KQ，
∴$2x+y=2\sqrt{3}+2−2\sqrt{3}x+y$，
消去y后解得x=1，
∴OP=2x=2。
【答案】

(1) 补全图形如图①所示；
(2) 证明见上述解析；
(3) OP=2，证明见上述解析。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何变换与三角形的相关性质，前两问侧重基础性质的应用，第三问需要通过构造辅助线转化边的关系，利用恒成立的条件消去变量求解，对逻辑推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3