1. 圆心角的概念:顶点在的角叫作圆心角.

1. 圆心

【分析】
本题考查圆心角的基础定义，解题思路是直接回忆圆心角的概念要素：圆心角需要满足两个核心条件，一是顶点的位置，二是角的两条边均与圆相交，题目明确询问顶点的位置，直接对应定义内容填写即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都和圆相交的角叫做圆心角，因此横线处应填“圆心”。
【答案】
圆心
【知识点】
圆心角的概念
【点评】
本题是基础概念识记类题目，属于圆章节的基础考点，侧重对基础定义的记忆考查，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 定理:在中,相等的圆心角所对的相等,所对的也相等.

2. 同圆或等圆 弧 弦

【分析】
本题考查圆心角定理的内容识记，解题时需回忆圆心角定理的完整表述：首先该定理成立有前提限制，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧、弦才会相等，缺少该前提结论不成立；其次明确相等圆心角对应的两个相等的量分别是弧和弦，对应空缺位置依次填入即可。
【解析】
根据圆心角定理的完整内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。因此三个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
同圆或等圆；弧；弦
【知识点】
圆心角定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考核对圆心角定理的记忆准确性，需特别注意不要遗漏“同圆或等圆”这一前提条件。
【难度系数】
0.9

3. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的弦.

3. 圆心角 相等

【分析】
首先明确题干的前提是同圆或等圆中两条弧相等，需调用同圆或等圆中弧、圆心角、弦的关系定理思考：该类定理中，弧、圆心角、弦三个量只要任意一组相等，其余两组量都对应相等，因此可直接推出弧相等时对应的其余两个量的关系。
【解析】
根据同圆或等圆中弧、圆心角、弦的关系定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。因此第一个空填圆心角，第二个空填相等。
【答案】
圆心角；相等
【知识点】
弧、弦、圆心角的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要针对相关定理的识记能力进行考查，牢记定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9

4. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的分别相等.

4. 相等 优弧和劣弧

【分析】
解题时先回忆同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，若圆心角、弧、弦三组量中有一组量相等，则其余对应组量也相等。首先可确定弦相等时，对应的圆心角必然相等；其次要注意一条弦对应两条弧（小于半圆的劣弧和大于半圆的优弧），因此两条相等的弦所对的两类弧要分别相等，不能笼统只填“弧”。
【解析】
根据同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；由于任意一条非直径的弦对应两条长度不同的弧（优弧、劣弧），因此相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。
【答案】
相等；优弧和劣弧
【知识点】
1. 圆心角弧弦关系
2. 弦弧对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者等量转换关系的记忆与理解，易错点是容易忽略一条弦对应优弧、劣弧两条弧，仅笼统填写“弧”导致失分。
【难度系数】
0.8

5. 如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦.
(1) 如果$AB=CD$，那么，；
(2) 如果$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，那么，；
(3) 如果$∠ AOB=∠ COD$，那么，；
(4) 如果$AB=CD$，$OE⊥ AB$于点E，$OF⊥ CD$于点F，那么OE与OF相等吗？为什么？
概括:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们其余各组量也分别.

5. (1) $∠ AOB=∠ COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；(2) $AB=CD$，$∠ AOB=∠ COD$；(3) $AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；(4) 相等，原因略；在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们其余各组量也分别相等

【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系定理，解题思路如下：1. 前三问直接依据“同圆中一组量相等，其余对应组量相等”的性质直接推导填空；2. 第四问可先利用垂径定理得到弦长的一半相等，再结合半径相等，通过HL证明直角三角形全等得到弦心距相等，也可直接用弦相等对应弦心距相等的性质判断；最后根据上述推导总结四组量的等量关系即可。
【解析】
(1) 根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等、对应的弧相等，可得$∠AOB=∠COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
(2) 根据同圆中相等的弧对应的弦相等、对应的圆心角相等，可得$AB=CD$，$∠AOB=∠COD$；
(3) 根据同圆中相等的圆心角对应的弦相等、对应的弧相等，可得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
(4) $OE=OF$，理由如下：
∵$OE⊥AB$，$OF⊥CD$，由垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
又
∵$AB=CD$，
∴$AE=CF$，
∵$OA、OC$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，
在$Rt△ AOE$和$Rt△ COF$中，$\{\begin{array}{l}OA=OC\\AE=CF\end{array} $，
∴$Rt△ AOE≌Rt△ COF(\mathrm{HL})$，
∴$OE=OF$。
最后概括：根据上述性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们其余各组量也分别相等。
【答案】
(1) $∠ AOB=∠ COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
(2) $AB=CD$，$∠ AOB=∠ COD$；
(3) $AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
(4) 相等；相等
【知识点】
圆心角弧弦弦心距的关系；垂径定理；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，核心是掌握同圆或等圆中四组量的互推关系，解题时要注意该性质的适用前提是同圆或等圆，是后续圆相关证明和计算的重要基础。
【难度系数】
0.9

1. 下列说法中正确的是（填序号）.
① 圆心角是顶点在圆心的角；② 两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③ 两条弦相等，圆心到这两条弦的距离相等；④ 在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等.

1. ①④

【分析】
解题时需先明确圆心角的定义，以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理的适用前提（同圆或等圆中），再逐一判断每个说法的正误：①直接对应圆心角的定义判断；②③需检查是否满足“同圆或等圆”的前提，缺少前提则结论不成立；④满足“等圆”的前提，可根据关系定理推导正误。
【解析】
我们逐个分析各说法：
1. 关于①：根据圆心角的定义，顶点在圆心的角叫做圆心角，因此该说法正确。
2. 关于②：圆心角相等、所对弦相等的结论仅在同圆或等圆中成立，本说法未说明是同圆或等圆，因此结论不成立，该说法错误。
3. 关于③：两条弦相等、圆心到弦的距离（弦心距）相等的结论同样仅在同圆或等圆中成立，本说法未说明前提，因此结论不成立，该说法错误。
4. 关于④：在等圆中，满足关系定理的适用前提，相等的圆心角对应相等的弦，因此若圆心角不等，所对的弦也一定不等，该说法正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
圆心角的定义；圆心角与弦的关系；弦心距的性质
【点评】
本题重点考查圆心角相关的概念和定理，易错点是忽略“同圆或等圆”这个前提条件，直接套用定理导致判断错误，掌握定理的完整内容是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，如果$AB=CD$，那么（写出两个正确的结论）。
（第2题）

2. 答案不唯一,如:$OE=OF,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$

【分析】
首先明确本题考查同圆中弧、弦、弦心距的关系定理。已知条件为在同一个圆O中，弦AB=CD，OE⊥AB、OF⊥CD，即OE、OF分别是AB、CD的弦心距。解题时先回忆同圆或等圆中，相等的弦对应的弦心距相等、对应的弧相等、对应的圆心角相等，据此即可推出符合要求的结论。
【解析】
∵ ⊙O中，AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ OE、OF分别为弦AB、CD的弦心距，
根据同圆中相等的弦所对的弦心距相等，可得$OE=OF$；
根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
也可写出$∠ AOB=∠ COD$等结论，任选两个即可。
【答案】
答案不唯一，如：$OE=OF$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
弧弦弦心距的关系、弦心距定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握同圆中弦、弧、弦心距之间的等量转化规律，答案具有开放性，符合相关定理的结论均正确。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$\odot O$的两条弦$AF$，$BE$的延长线交于点$C$，$∠ ACB$的平分线$CD$过点$O$，请直接写出图中一对相等的线段：______.

3. 答案不唯一,如:$AF=BE$

【分析】
解题思路：首先观察已知条件，CD是∠ACB的平分线且经过圆心O，我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。接下来过圆心O分别作两条弦AF、BE的垂线（即弦心距），可得两条弦心距相等，再结合圆的基本性质：同圆中，弦心距相等则对应的弦长度相等，即可推出相等的线段。
【解析】
过点O作OM⊥AF于点M，ON⊥BE于点N。
∵ CD平分∠ACB，OM⊥AC，ON⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质，得OM=ON。
又
∵ 在同圆⊙O中，弦心距相等的两条弦长度相等，
∴ AF=BE。
（也可推导得CF=CE、AC=BC等，任选一组即可）
【答案】
答案不唯一，如：$AF=BE$
【知识点】
角平分线的性质；弦与弦心距的关系
【点评】
本题是开放性基础题，综合考查角平分线性质与圆的基本性质的应用，解题的关键是作出两条弦的弦心距，通过角平分线性质得到弦心距相等，进而推出对应弦相等，解题时注意答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.8

4. 如图，AB是$\odot O$的直径，BC，CD，DA是$\odot O$的弦，BC=CD=DA，则$∠ BCD=$。

4. $120°$

【分析】
解题时首先从已知条件“AB是直径，BC=CD=DA”入手：第一步，回忆同圆中相等的弦对应的圆心角相等，AB为直径意味着其对应的圆心角为180°，三段等弦对应的三个圆心角之和为180°，即可求出每个圆心角的度数；第二步，连接OC、OD后，OB、OC、OD都是圆的半径，结合求出的60°圆心角可判定△OBC、△OCD都是等边三角形，得到∠OCB和∠OCD的度数，二者相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，即弧AD、弧DC、弧CB的度数和为$180°$。
又
∵$BC=CD=DA$，
∴同圆中等弦对等圆心角，$∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=180°÷3=60°$。
∵$OB=OC=OD$（圆的半径相等），
∴$△ BOC$和$△ COD$都是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴$∠ OCB=60°$，$∠ OCD=60°$，
∴$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD=60°+60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
等弦对等圆心角，等边三角形判定与性质，直径的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是通过等弦关系得到相等的圆心角，结合等边三角形的性质计算角度，能较好地考查学生对圆的基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$\odot O$中,如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,那么 （）

A.$AB=AC$
B.$AB=2AC$
C.$AB＜2AC$
D.$AB＞2AC$

5. C

【分析】
要判断同圆中两条弦AB和AC的数量关系，已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，首先注意：同圆中弧长的倍数关系不能直接等同于对应弦长的倍数关系，因此需要通过构造辅助线转化关系：取$\overset{\frown}{AB}$的中点，将$\overset{\frown}{AB}$分为两段和$\overset{\frown}{AC}$相等的弧，利用“等弧对等弦”得到长度等于AC的两条弦，再结合三角形三边关系即可比较AB和2AC的大小。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接AD、BD。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得：$AD=BD=AC$。
在$△ ABD$中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，得：
$AD+BD＞AB$，
将$AD=BD=AC$代入得：$AC+AC＞AB$，即$2AC＞AB$，也就是$AB＜2AC$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同圆中弧弦对应关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的常见题型，易错点是直接将弧长的倍数关系等价于弦长的倍数关系，通过构造等弧转化为等弦，再结合三角形三边关系求解是这类题的核心思路。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$\odot O$截$△ ABC$的三边所得的弦长相等,则$∠ BOC$的度数为（）

A.$140°$
B.$135°$
C.$130°$
D.$125°$

6. D

【分析】
首先挖掘题目中“⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等”的条件，结合同圆的性质：相等的弦对应的弦心距相等，可推出点O到△ABC三边的距离相等，由此判断O是△ABC的内心（即三角形三个内角的角平分线交点）。再利用三角形内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的和，结合角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
1. 由同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可得点O到△ABC三边的距离相等，因此O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB。
2. 在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 70° = 110°$
3. 由角平分线性质得：
$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
因此$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 110° = 55°$
4. 在△BOC中，根据三角形内角和：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 55° = 125°$
【答案】D
【知识点】
弦与弦心距的关系；三角形内心性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的核心突破点是通过弦长相等推导出圆心为三角形的内心，考查了圆的基本性质与三角形角相关性质的综合应用，掌握性质间的关联是解题的关键。
【难度系数】
0.65