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1. 已知$abc≠0$，方程$ax^2+bx+c=0$，$bx^2+cx+a=0$，$cx^2+ax+b=0$恰好有一个公共解，则$a+b+c$的值为（
A.1
B.0
C.-1
D.无法确定
B
）A.1
B.0
C.-1
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
遇到多个方程有公共解的问题，首先设这个公共解为α，将其分别代入三个方程得到三个等式，再将三个等式左右两边分别相加，通过提取公因式变形得到关于a+b+c和α的关系式，再结合一元二次方程根的判别式判断另一个因式的取值，即可求出a+b+c的值。
【解析】
设三个方程的公共实数解为α，将α分别代入三个方程可得：
$\begin{cases}aα^2 + bα + c = 0 \quad ① \\bα^2 + cα + a = 0 \quad ② \\cα^2 + aα + b = 0 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，整理左边得：
$(a+b+c)α^2 + (a+b+c)α + (a+b+c) = 0$
提取公因式$(a+b+c)$可得：
$(a+b+c)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此在实数范围内$α^2 + α + 1 ≠ 0$。
因此只能$a+b+c=0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；因式分解的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的核心是利用公共解的性质建立等式，通过整体相加、因式分解的方式简化运算，不需要分别求解三个方程，考察了学生的整体运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
遇到多个方程有公共解的问题，首先设这个公共解为α，将其分别代入三个方程得到三个等式，再将三个等式左右两边分别相加，通过提取公因式变形得到关于a+b+c和α的关系式，再结合一元二次方程根的判别式判断另一个因式的取值，即可求出a+b+c的值。
【解析】
设三个方程的公共实数解为α，将α分别代入三个方程可得：
$\begin{cases}aα^2 + bα + c = 0 \quad ① \\bα^2 + cα + a = 0 \quad ② \\cα^2 + aα + b = 0 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，整理左边得：
$(a+b+c)α^2 + (a+b+c)α + (a+b+c) = 0$
提取公因式$(a+b+c)$可得：
$(a+b+c)(α^2 + α + 1) = 0$
对于二次式$α^2 + α + 1$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，因此在实数范围内$α^2 + α + 1 ≠ 0$。
因此只能$a+b+c=0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；因式分解的应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的核心是利用公共解的性质建立等式，通过整体相加、因式分解的方式简化运算，不需要分别求解三个方程，考察了学生的整体运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2. 若两个一元二次方程$x^2+ax+b=0$和$x^2+bx+a=0$有且只有一个公共解，则$a+b$的值为
（
A.1
B.-1
C.0
D.2
（
B
）A.1
B.-1
C.0
D.2
答案
2.B
解析
【分析】
遇到两个一元二次方程有公共解的问题，首先可设公共解为m，将其分别代入两个方程，联立两个等式通过作差消去二次项，整理得到关于参数a、b和公共解m的关系式；再结合“有且只有一个公共解”的条件，排除两个方程完全相同（即a=b）的情况，求出公共解m的取值，最后将公共解代回原方程即可求出a+b的值。
【解析】
设两个方程的公共解为$ m $，将$ x=m $分别代入两个方程得：
$\begin{cases}m^2 + am + b = 0 \quad \mathrm{①} \\m^2 + bm + a = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，得：
$am - bm + b - a = 0$
提取公因式整理得：
$(a - b)(m - 1) = 0$
此时分两种情况讨论：
1. 若$ a - b = 0 $，即$ a = b $，此时两个方程完全相同，两个方程的两个解都相同，不符合“有且只有一个公共解”的条件，故排除该情况；
2. 若$ m - 1 = 0 $，即$ m = 1 $，符合只有一个公共解的要求。
将公共解$ m=1 $代入方程①得：
$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得$ a + b = -1 $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的概念，公共解的处理方法
【点评】
本题考查一元二次方程公共解相关问题的求解，解题的关键是掌握公共解的处理思路，即设公共解代入方程联立化简，同时要注意结合题意排除不符合要求的情况，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
遇到两个一元二次方程有公共解的问题，首先可设公共解为m，将其分别代入两个方程，联立两个等式通过作差消去二次项，整理得到关于参数a、b和公共解m的关系式；再结合“有且只有一个公共解”的条件，排除两个方程完全相同（即a=b）的情况，求出公共解m的取值，最后将公共解代回原方程即可求出a+b的值。
【解析】
设两个方程的公共解为$ m $，将$ x=m $分别代入两个方程得：
$\begin{cases}m^2 + am + b = 0 \quad \mathrm{①} \\m^2 + bm + a = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，得：
$am - bm + b - a = 0$
提取公因式整理得：
$(a - b)(m - 1) = 0$
此时分两种情况讨论：
1. 若$ a - b = 0 $，即$ a = b $，此时两个方程完全相同，两个方程的两个解都相同，不符合“有且只有一个公共解”的条件，故排除该情况；
2. 若$ m - 1 = 0 $，即$ m = 1 $，符合只有一个公共解的要求。
将公共解$ m=1 $代入方程①得：
$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得$ a + b = -1 $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的概念，公共解的处理方法
【点评】
本题考查一元二次方程公共解相关问题的求解，解题的关键是掌握公共解的处理思路，即设公共解代入方程联立化简，同时要注意结合题意排除不符合要求的情况，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知方程$x^2 + ax + 1 = 0$和$x^2 - x - a = 0$有一个公共解，则$a=$
2
.答案
3.2
解析
【分析】
遇到两个方程有公共解的问题，首先设公共解为m，公共解同时满足两个方程，因此可将m分别代入两个方程得到关于m和a的二元方程组，通过消元化简得到a或m的取值，再结合题意排除不符合的情况，最终求出a的值。
【解析】
设两个方程的公共解为$m$，将$m$分别代入两个方程，可得：
$\begin{cases}m^2 + am + 1 = 0 \quad \mathrm{①} \\m^2 - m - a = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，消去$m^2$项，得：
$am + 1 + m + a = 0$
整理变形：
$a(m+1) + (m+1) = 0$
提取公因式得：
$(a+1)(m+1) = 0$
分两种情况讨论：
1. 若$a+1=0$，即$a=-1$：
此时两个方程均为$x^2 - x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，且两个方程完全相同，若考虑复数根则有2个公共解，不符合“有一个公共解”的条件，故舍去。
2. 若$m+1=0$，即$m=-1$：
将$m=-1$代入②式，得：
$(-1)^2 - (-1) - a = 0$
计算得$1 + 1 - a = 0$，解得$a=2$。
验证：当$a=2$时，第一个方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，解为$x=-1$；第二个方程为$x^2 - x - 2 = 0$，解为$x=2$和$x=-1$，两方程仅有1个公共解$x=-1$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解；消元法解方程组；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程公共解的求解，解题关键是掌握公共解的定义，通过设公共解代入方程联立化简，注意求出参数后要验证是否符合题目的要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
遇到两个方程有公共解的问题，首先设公共解为m，公共解同时满足两个方程，因此可将m分别代入两个方程得到关于m和a的二元方程组，通过消元化简得到a或m的取值，再结合题意排除不符合的情况，最终求出a的值。
【解析】
设两个方程的公共解为$m$，将$m$分别代入两个方程，可得：
$\begin{cases}m^2 + am + 1 = 0 \quad \mathrm{①} \\m^2 - m - a = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，消去$m^2$项，得：
$am + 1 + m + a = 0$
整理变形：
$a(m+1) + (m+1) = 0$
提取公因式得：
$(a+1)(m+1) = 0$
分两种情况讨论：
1. 若$a+1=0$，即$a=-1$：
此时两个方程均为$x^2 - x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，且两个方程完全相同，若考虑复数根则有2个公共解，不符合“有一个公共解”的条件，故舍去。
2. 若$m+1=0$，即$m=-1$：
将$m=-1$代入②式，得：
$(-1)^2 - (-1) - a = 0$
计算得$1 + 1 - a = 0$，解得$a=2$。
验证：当$a=2$时，第一个方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，解为$x=-1$；第二个方程为$x^2 - x - 2 = 0$，解为$x=2$和$x=-1$，两方程仅有1个公共解$x=-1$，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解；消元法解方程组；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程公共解的求解，解题关键是掌握公共解的定义，通过设公共解代入方程联立化简，注意求出参数后要验证是否符合题目的要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
4. 已知$abc≠0,a+b+c=0$,则方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为
1
和$\frac{c}{a}$
.答案
4. $x_1 = 1,x_2 = \frac{c}{a}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，观察已知条件$a+b+c=0$，联想一元二次方程根的定义，即如果一个数代入方程能使左右两边相等，这个数就是方程的根，尝试代入$x=1$，可快速验证它是方程的一个根；第二步，已知一个根求另一个根，利用九年级所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于$\frac{c}{a}$，即可直接求出第二个根。
【解析】
1. 验证$x=1$是方程的根：
将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
已知$a+b+c=0$，因此左边等于右边，故$x=1$是方程的一个根。
2. 求另一个根：
设方程的另一个根为$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，即：
$1× x_2 = \frac{c}{a}$
解得$x_2=\frac{c}{a}$。
（注：因$abc≠0$，故$a≠0$，方程是一元二次方程，且$\frac{c}{a}$有意义）
【答案】
$x_1 = 1,x_2 = \frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的灵活运用，通过代入特殊值$x=1$快速确定一个根是此类题的常用技巧，再结合韦达定理即可轻松求出第二个根，解题过程不需要复杂计算，重点在于对公式和定义的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，观察已知条件$a+b+c=0$，联想一元二次方程根的定义，即如果一个数代入方程能使左右两边相等，这个数就是方程的根，尝试代入$x=1$，可快速验证它是方程的一个根；第二步，已知一个根求另一个根，利用九年级所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于$\frac{c}{a}$，即可直接求出第二个根。
【解析】
1. 验证$x=1$是方程的根：
将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
已知$a+b+c=0$，因此左边等于右边，故$x=1$是方程的一个根。
2. 求另一个根：
设方程的另一个根为$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，即：
$1× x_2 = \frac{c}{a}$
解得$x_2=\frac{c}{a}$。
（注：因$abc≠0$，故$a≠0$，方程是一元二次方程，且$\frac{c}{a}$有意义）
【答案】
$x_1 = 1,x_2 = \frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的灵活运用，通过代入特殊值$x=1$快速确定一个根是此类题的常用技巧，再结合韦达定理即可轻松求出第二个根，解题过程不需要复杂计算，重点在于对公式和定义的灵活应用。
【难度系数】
0.7
5. 把一条长10 cm的线段分成三条两两不相等的线段，且最长的线段的长度等于另外两条线段的长度的和，则最长的线段的长度为（
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.无法确定
B
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.无法确定
答案
5.B
解析
【分析】
解题时可先设三条线段的长度，其中最长线段记为a，另外两条分别记为b、c。首先根据线段总长度为10cm，可得到三条线段的和为10cm的等式；再结合题干给出的“最长的线段长度等于另外两条线段的和”的等量关系，将两个等式联立代入，就能求出最长线段的长度，最后验证两两不等的条件可满足，排除无法确定的选项即可。
【解析】
设三条线段的长度分别为$a$（最长线段）、$b$、$c$，且满足$a＞b＞c＞0$，$b≠ c$。
根据题意可得两个等量关系：
1. 三条线段总长度为10cm：$a + b + c = 10\ \mathrm{cm}$
2. 最长线段等于另外两条线段的和：$a = b + c$
将第二个式子代入第一个式子中，可得：
$a + a = 10\ \mathrm{cm}$
即$2a = 10\ \mathrm{cm}$，解得$a = 5\ \mathrm{cm}$。
此时$b + c = 5\ \mathrm{cm}$，可取$b=3\ \mathrm{cm}$、$c=2\ \mathrm{cm}$，满足三条线段两两不相等的条件，因此最长线段长度确定为5cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段的和差计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考察对题干等量关系的提取能力，解题核心是抓住总长度与最长线段和其余两条线段的和的关系，代入计算即可得到结果，题干中“两两不相等”的条件仅用于验证分法的存在性，不影响最终计算结果。
【难度系数】
0.8
解题时可先设三条线段的长度，其中最长线段记为a，另外两条分别记为b、c。首先根据线段总长度为10cm，可得到三条线段的和为10cm的等式；再结合题干给出的“最长的线段长度等于另外两条线段的和”的等量关系，将两个等式联立代入，就能求出最长线段的长度，最后验证两两不等的条件可满足，排除无法确定的选项即可。
【解析】
设三条线段的长度分别为$a$（最长线段）、$b$、$c$，且满足$a＞b＞c＞0$，$b≠ c$。
根据题意可得两个等量关系：
1. 三条线段总长度为10cm：$a + b + c = 10\ \mathrm{cm}$
2. 最长线段等于另外两条线段的和：$a = b + c$
将第二个式子代入第一个式子中，可得：
$a + a = 10\ \mathrm{cm}$
即$2a = 10\ \mathrm{cm}$，解得$a = 5\ \mathrm{cm}$。
此时$b + c = 5\ \mathrm{cm}$，可取$b=3\ \mathrm{cm}$、$c=2\ \mathrm{cm}$，满足三条线段两两不相等的条件，因此最长线段长度确定为5cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段的和差计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考察对题干等量关系的提取能力，解题核心是抓住总长度与最长线段和其余两条线段的和的关系，代入计算即可得到结果，题干中“两两不相等”的条件仅用于验证分法的存在性，不影响最终计算结果。
【难度系数】
0.8
6. 若三条线段$a＞b＞c$，满足$a=b+c$，以这三条线段为边 （
A.一定能构成锐角三角形
B.一定能构成直角三角形
C.一定能构成钝角三角形
D.不能构成三角形
D
）A.一定能构成锐角三角形
B.一定能构成直角三角形
C.一定能构成钝角三角形
D.不能构成三角形
答案
6.D
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。对于已知大小关系的三条线段，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可。本题中已知a＞b＞c，因此最长边为a，只需判断b+c与a的大小关系即可得出结论。
【解析】
根据三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
已知三条线段满足a＞b＞c，因此a是三条线段中的最长边，若要构成三角形，需满足较短两边之和大于最长边，即$b+c ＞ a$。
但题目给出的条件为$a = b + c$，不满足$b+c ＞ a$的要求，因此这三条线段不能构成三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形构成条件的应用，解题关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的简便方法：优先验证较短两条线段之和是否大于最长线段，无需逐一验证所有两边之和的组合，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。对于已知大小关系的三条线段，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可。本题中已知a＞b＞c，因此最长边为a，只需判断b+c与a的大小关系即可得出结论。
【解析】
根据三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
已知三条线段满足a＞b＞c，因此a是三条线段中的最长边，若要构成三角形，需满足较短两边之和大于最长边，即$b+c ＞ a$。
但题目给出的条件为$a = b + c$，不满足$b+c ＞ a$的要求，因此这三条线段不能构成三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形构成条件的应用，解题关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的简便方法：优先验证较短两条线段之和是否大于最长线段，无需逐一验证所有两边之和的组合，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
7. 下列四组线段中，满足$a＞b＞c$，$a=b+c$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$的是（
A.$a=5,b=3,c=2$
B.$a=\frac{3+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=1$
C.$a=4,b=3,c=1$
D.$a=6,b=4,c=2$
B
）A.$a=5,b=3,c=2$
B.$a=\frac{3+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=1$
C.$a=4,b=3,c=1$
D.$a=6,b=4,c=2$
答案
7.B
解析
【分析】
题目给出三个约束条件：①$a＞b＞c$；②$a=b+c$；③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，解题时有两种思路：思路一：将四个选项逐一代入三个条件验证，全部满足即为正确答案；思路二：先将②代入③，通过代数变形推导$a、b、c$的数量关系，再匹配选项。其中代入验证法更简单直接，不容易出错。
【解析】
方法一：代入验证法
选项A：$a=5,b=3,c=2$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$，$\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，$\frac{8}{15}≠\frac{1}{2}$，不满足条件③，排除；
选项B：$a=\frac{3+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=1$，首先验证②：$b+c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a$，满足；再验证③：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$，分母有理化得$\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1=\frac{1}{c}$，满足所有条件，可选；
选项C：$a=4,b=3,c=1$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}≠1=\frac{1}{c}$，排除；
选项D：$a=6,b=4,c=2$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}≠\frac{1}{2}=\frac{1}{c}$，排除。
方法二：推导法
将$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$得：$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，通分后交叉相乘整理得$b²-bc-c²=0$，将其看作关于$b$的一元二次方程，解得正根$b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}c$，则$a=b+c=\frac{3+\sqrt{5}}{2}c$，当$c=1$时对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，二次根式有理化，代数式求值
【点评】
本题可根据个人做题习惯选择不同解法，代入验证法降低了逻辑推理难度，推导法减少了重复运算量，核心考查代数式变形运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
题目给出三个约束条件：①$a＞b＞c$；②$a=b+c$；③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，解题时有两种思路：思路一：将四个选项逐一代入三个条件验证，全部满足即为正确答案；思路二：先将②代入③，通过代数变形推导$a、b、c$的数量关系，再匹配选项。其中代入验证法更简单直接，不容易出错。
【解析】
方法一：代入验证法
选项A：$a=5,b=3,c=2$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$，$\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，$\frac{8}{15}≠\frac{1}{2}$，不满足条件③，排除；
选项B：$a=\frac{3+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=1$，首先验证②：$b+c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a$，满足；再验证③：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$，分母有理化得$\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1=\frac{1}{c}$，满足所有条件，可选；
选项C：$a=4,b=3,c=1$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}≠1=\frac{1}{c}$，排除；
选项D：$a=6,b=4,c=2$，计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}≠\frac{1}{2}=\frac{1}{c}$，排除。
方法二：推导法
将$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$得：$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，通分后交叉相乘整理得$b²-bc-c²=0$，将其看作关于$b$的一元二次方程，解得正根$b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}c$，则$a=b+c=\frac{3+\sqrt{5}}{2}c$，当$c=1$时对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，二次根式有理化，代数式求值
【点评】
本题可根据个人做题习惯选择不同解法，代入验证法降低了逻辑推理难度，推导法减少了重复运算量，核心考查代数式变形运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
8. 已知三条线段$a＞b＞c$，满足$a=b+c$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$，求$a:b:c$的值.
答案
8. 把$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$,得
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.$
移项,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}.$
等式右边通分,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{c-b}{bc}.$
去分母,得
$bc=(c-b)(b+c).$
等式右边展开,得
$bc=c^2-b^2.$
移项并整理,得
$b^2+bc-c^2=0.$
等式两边同除以$c^2$,得
$(\frac{b}{c})^2+\frac{b}{c}-1=0.$
设$k=\frac{b}{c}$,得$k^2+k-1=0.$
解得$k_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},k_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去).
$\therefore \quad \frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
用$c$表示$a,b$,得
$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c,$
$a=b+c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c+c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}c.$
$\therefore \quad a:b:c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1,$
即$a:b:c=(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2.$
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.$
移项,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}.$
等式右边通分,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{c-b}{bc}.$
去分母,得
$bc=(c-b)(b+c).$
等式右边展开,得
$bc=c^2-b^2.$
移项并整理,得
$b^2+bc-c^2=0.$
等式两边同除以$c^2$,得
$(\frac{b}{c})^2+\frac{b}{c}-1=0.$
设$k=\frac{b}{c}$,得$k^2+k-1=0.$
解得$k_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},k_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去).
$\therefore \quad \frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
用$c$表示$a,b$,得
$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c,$
$a=b+c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c+c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}c.$
$\therefore \quad a:b:c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1,$
即$a:b:c=(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2.$
解析
【分析】
本题要求三条线段的比值，已知两个关于a、b、c的等量关系，可按以下思路求解：第一步，利用代入消元法，将$a=b+c$代入分式方程，消去未知数a，得到仅含b和c的等式；第二步，通过分式通分、去分母等运算，将等式整理为关于b、c的整式方程；第三步，因为要求b与c的比值，可将方程两边同时除以$c^2$，设$k=\frac{b}{c}$，转化为关于k的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的条件舍去负根，得到b与c的比值；第四步，用c分别表示b和a，最后化简得到三者的比值。
【解析】
把$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$,得
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.$
移项,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}.$
等式右边通分,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{c-b}{bc}.$
去分母,得
$bc=(c-b)(b+c).$
等式右边展开,得
$bc=c^2-b^2.$
移项并整理,得
$b^2+bc-c^2=0.$
等式两边同除以$c^2$,得
$(\frac{b}{c})^2+\frac{b}{c}-1=0.$
设$k=\frac{b}{c}$,得$k^2+k-1=0.$
解得$k_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},k_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(线段长度均为正数，比值为正，故舍去).
$\therefore \frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c,$
代入$a=b+c$得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c+c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}c.$
$\therefore a:b:c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1,$
各项同乘2消去分母，得$a:b:c=(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2.$
【答案】
$(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2$
【知识点】
代入消元法、分式运算、一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了代数式变形、分式运算及一元二次方程的应用，解题核心是通过消元将三元问题转化为二元比值问题，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，最后将比值化为最简整数形式。
【难度系数】
0.6
本题要求三条线段的比值，已知两个关于a、b、c的等量关系，可按以下思路求解：第一步，利用代入消元法，将$a=b+c$代入分式方程，消去未知数a，得到仅含b和c的等式；第二步，通过分式通分、去分母等运算，将等式整理为关于b、c的整式方程；第三步，因为要求b与c的比值，可将方程两边同时除以$c^2$，设$k=\frac{b}{c}$，转化为关于k的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的条件舍去负根，得到b与c的比值；第四步，用c分别表示b和a，最后化简得到三者的比值。
【解析】
把$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}$,得
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.$
移项,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}.$
等式右边通分,得
$\frac{1}{b+c}=\frac{c-b}{bc}.$
去分母,得
$bc=(c-b)(b+c).$
等式右边展开,得
$bc=c^2-b^2.$
移项并整理,得
$b^2+bc-c^2=0.$
等式两边同除以$c^2$,得
$(\frac{b}{c})^2+\frac{b}{c}-1=0.$
设$k=\frac{b}{c}$,得$k^2+k-1=0.$
解得$k_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},k_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(线段长度均为正数，比值为正，故舍去).
$\therefore \frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c,$
代入$a=b+c$得$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c+c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}c.$
$\therefore a:b:c=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1,$
各项同乘2消去分母，得$a:b:c=(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2.$
【答案】
$(\sqrt{5}+1):(\sqrt{5}-1):2$
【知识点】
代入消元法、分式运算、一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了代数式变形、分式运算及一元二次方程的应用，解题核心是通过消元将三元问题转化为二元比值问题，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，最后将比值化为最简整数形式。
【难度系数】
0.6
