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10. 某商店以20元/千克的价格购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（单位：千克）与售价x（单位：元/千克，x＞20）之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，则售价应定为每千克多少元？
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，则售价应定为每千克多少元？
答案
10. (1)设$y=kx+b(k≠0)$,将$(20,60)$和$(80,0)$代入,得
$\begin{cases}20k+b=60,\\80k+b=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=80.\end{cases}$
$\therefore$ y与x之间的函数关系式为$y=-x+80.$
(2)当销售利润达到800元时,$(x-20)y=800$,即$(x-20)(-x+80)=800$,
解得$x_1=40,x_2=60.$
$\because$ 要尽快售完该商品,
$\therefore$ $x=60$应舍去.
答:售价应定为40元/千克.
$\begin{cases}20k+b=60,\\80k+b=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=80.\end{cases}$
$\therefore$ y与x之间的函数关系式为$y=-x+80.$
(2)当销售利润达到800元时,$(x-20)y=800$,即$(x-20)(-x+80)=800$,
解得$x_1=40,x_2=60.$
$\because$ 要尽快售完该商品,
$\therefore$ $x=60$应舍去.
答:售价应定为40元/千克.
解析
【分析】
（1）观察函数图像为线段，属于一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两个已知点坐标$(20,60)$和$(80,0)$，代入解析式得到二元一次方程组，求解得到$k$、$b$的值即可得到函数关系式。
（2）销售总利润的等量关系为：总利润=（售价-进价）×销售量，将进价20、第一问求得的$y$与$x$的关系式、总利润800代入等量关系，即可得到关于$x$的一元二次方程，解方程得到两个解；结合“尽快售完商品”的要求，一次函数$y=-x+80$中$y$随$x$增大而减小，要让销售量$y$尽可能大，需选择较小的$x$值，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(20,60)$和$(80,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k+b=60\\80k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=80\end{cases}$
$\therefore$ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=-x+80 \quad (20＜x≤80)$。
(2)由题意得，每千克商品的利润为$(x-20)$元，总利润为800元，因此列方程：
$(x-20)y=800$
将$y=-x+80$代入上式得：
$(x-20)(-x+80)=800$
整理得$x^2-100x+2400=0$，
解得$x_1=40$，$x_2=60$。
$\because$ 要尽快售完商品，需销售量$y$尽可能大，而$y=-x+80$中$y$随$x$的增大而减小，因此售价越低，销售量越大，故$x=60$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $y=-x+80 \quad (20＜x≤80)$
(2) 售价应定为每千克40元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，既考查了从函数图像提取信息、用待定系数法求函数解析式的能力，也考查了结合实际情境筛选方程解的应用意识，是销售类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
（1）观察函数图像为线段，属于一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中提取两个已知点坐标$(20,60)$和$(80,0)$，代入解析式得到二元一次方程组，求解得到$k$、$b$的值即可得到函数关系式。
（2）销售总利润的等量关系为：总利润=（售价-进价）×销售量，将进价20、第一问求得的$y$与$x$的关系式、总利润800代入等量关系，即可得到关于$x$的一元二次方程，解方程得到两个解；结合“尽快售完商品”的要求，一次函数$y=-x+80$中$y$随$x$增大而减小，要让销售量$y$尽可能大，需选择较小的$x$值，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(20,60)$和$(80,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k+b=60\\80k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=80\end{cases}$
$\therefore$ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=-x+80 \quad (20＜x≤80)$。
(2)由题意得，每千克商品的利润为$(x-20)$元，总利润为800元，因此列方程：
$(x-20)y=800$
将$y=-x+80$代入上式得：
$(x-20)(-x+80)=800$
整理得$x^2-100x+2400=0$，
解得$x_1=40$，$x_2=60$。
$\because$ 要尽快售完商品，需销售量$y$尽可能大，而$y=-x+80$中$y$随$x$的增大而减小，因此售价越低，销售量越大，故$x=60$不符合要求，舍去。
【答案】
(1) $y=-x+80 \quad (20＜x≤80)$
(2) 售价应定为每千克40元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，销售利润问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，既考查了从函数图像提取信息、用待定系数法求函数解析式的能力，也考查了结合实际情境筛选方程解的应用意识，是销售类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
11. 某中学九年级(1)班共有48名学生，今年除夕夜全班每两名同学都通一次电话且仅通一次电话，那么全班同学共通了多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题：用点$A_1,A_2,A_3,···,A_{48}$分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学……第48名同学，把该班同学人数$x$与通电话次数$y$之间的关系用如图所示的模型表示。
(1)上图中，当$x=5$时，$y$的值为
(2)通过探索发现，通电话次数$y$与该班同学人数$x$之间的关系式为
(3)若九年级(1)班全体女生相互之间共通电话190次，则该班有多少名女生？
(1)上图中，当$x=5$时，$y$的值为
10
，当$x=6$时，$y$的值为15
。(2)通过探索发现，通电话次数$y$与该班同学人数$x$之间的关系式为
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
。当$x=48$时，对应的$y=$1 128
。(3)若九年级(1)班全体女生相互之间共通电话190次，则该班有多少名女生？
答案
11. (1)10 15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$ 1 128
(3)设该班有a名女生.
依题意,得$\frac{a(a-1)}{2}=190.$
解得$a_1=20,a_2=-19$(不符合题意,舍去).
答:该班共有20名女生.
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$ 1 128
(3)设该班有a名女生.
依题意,得$\frac{a(a-1)}{2}=190.$
解得$a_1=20,a_2=-19$(不符合题意,舍去).
答:该班共有20名女生.
解析
【分析】
本题属于单循环计数类问题，每两名同学仅通一次电话，相当于平面内x个点之间两两连接不重复的线段，总通话次数等于线段总条数。解题思路：①先观察给出的x与y的对应值，总结规律，推导y与x的关系式；②将给定的x值代入关系式计算对应y值；③第三问已知通话次数，代入关系式列一元二次方程求解，注意人数为正整数，需舍去不符合实际的根。
【解析】
(1) 观察已知数据可得规律：x个点的总线段数为$\frac{x(x-1)}{2}$。
当x=5时，$y=\frac{5×4}{2}=10$；当x=6时，$y=\frac{6×5}{2}=15$。
(2) 由上述规律可得通电话次数y与人数x的关系式为$y=\frac{x(x-1)}{2}$；
将x=48代入得：$y=\frac{48×47}{2}=24×47=1128$。
(3) 设该班有a名女生，依题意得：
$\frac{a(a-1)}{2}=190$
整理得$a^2 -a -380=0$，
解得$a_1=20$，$a_2=-19$（人数为正，不符合题意舍去）。
即该班共有20名女生。
【答案】
(1)10；15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$；1128
(3)该班共有20名女生
【知识点】
单循环计数、一元二次方程的应用、规律探究
【点评】
本题结合实际通话情境考查规律探索与方程应用，核心是理解单循环问题“每两个主体仅发生一次交互”的计数特点，计算时避免重复计数，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类问题，每两名同学仅通一次电话，相当于平面内x个点之间两两连接不重复的线段，总通话次数等于线段总条数。解题思路：①先观察给出的x与y的对应值，总结规律，推导y与x的关系式；②将给定的x值代入关系式计算对应y值；③第三问已知通话次数，代入关系式列一元二次方程求解，注意人数为正整数，需舍去不符合实际的根。
【解析】
(1) 观察已知数据可得规律：x个点的总线段数为$\frac{x(x-1)}{2}$。
当x=5时，$y=\frac{5×4}{2}=10$；当x=6时，$y=\frac{6×5}{2}=15$。
(2) 由上述规律可得通电话次数y与人数x的关系式为$y=\frac{x(x-1)}{2}$；
将x=48代入得：$y=\frac{48×47}{2}=24×47=1128$。
(3) 设该班有a名女生，依题意得：
$\frac{a(a-1)}{2}=190$
整理得$a^2 -a -380=0$，
解得$a_1=20$，$a_2=-19$（人数为正，不符合题意舍去）。
即该班共有20名女生。
【答案】
(1)10；15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$；1128
(3)该班共有20名女生
【知识点】
单循环计数、一元二次方程的应用、规律探究
【点评】
本题结合实际通话情境考查规律探索与方程应用，核心是理解单循环问题“每两个主体仅发生一次交互”的计数特点，计算时避免重复计数，求解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
