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1. 下列方程中，一定是一元二次方程的有（
①$x^2 -1=0$；②$ax^2+bx+c=0$；③$(x+2)(x-3)=x^2 -3$；④$2x^2-\frac{1}{x}=0$；⑤$x^2-\frac{x}{2}=24$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$x^2 -1=0$；②$ax^2+bx+c=0$；③$(x+2)(x-3)=x^2 -3$；④$2x^2-\frac{1}{x}=0$；⑤$x^2-\frac{x}{2}=24$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这个标准逐一验证每个方程，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，且二次项系数不为0），逐项判断：
① $x^2 -1=0$：满足一元二次方程的全部条件，属于一元二次方程；
② $ax^2+bx+c=0$：未注明$a≠0$，当$a=0$时方程不是二次方程，故不一定是一元二次方程；
③ 先化简方程：左边展开得$(x+2)(x-3)=x^2 -x -6$，原方程整理为$x^2 -x -6 =x^2 -3$，移项合并同类项得$-x-3=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④ $2x^2-\frac{1}{x}=0$：分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
⑤ $x^2-\frac{x}{2}=24$：整理为标准形式为$x^2-\frac{1}{2}x-24=0$，满足一元二次方程的全部条件，属于一元二次方程。
综上，是一元二次方程的有①和⑤，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式化简、分式方程识别
【点评】
本题核心考查对一元二次方程定义的准确掌握，易错点包括忽略二次项系数不为0的条件、未化简方程直接判断次数、混淆整式方程和分式方程，解题时需严格对照定义逐项排查，避免落入出题陷阱。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这个标准逐一验证每个方程，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，且二次项系数不为0），逐项判断：
① $x^2 -1=0$：满足一元二次方程的全部条件，属于一元二次方程；
② $ax^2+bx+c=0$：未注明$a≠0$，当$a=0$时方程不是二次方程，故不一定是一元二次方程；
③ 先化简方程：左边展开得$(x+2)(x-3)=x^2 -x -6$，原方程整理为$x^2 -x -6 =x^2 -3$，移项合并同类项得$-x-3=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④ $2x^2-\frac{1}{x}=0$：分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，不属于一元二次方程；
⑤ $x^2-\frac{x}{2}=24$：整理为标准形式为$x^2-\frac{1}{2}x-24=0$，满足一元二次方程的全部条件，属于一元二次方程。
综上，是一元二次方程的有①和⑤，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式化简、分式方程识别
【点评】
本题核心考查对一元二次方程定义的准确掌握，易错点包括忽略二次项系数不为0的条件、未化简方程直接判断次数、混淆整式方程和分式方程，解题时需严格对照定义逐项排查，避免落入出题陷阱。
【难度系数】
0.7
2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是
（
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
C.$2t^2 - 7t - 4 = 0$ 化为 $(t - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
D.$3y^2 - 4y - 2 = 0$ 化为 $(y - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
（
B
）A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
C.$2t^2 - 7t - 4 = 0$ 化为 $(t - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
D.$3y^2 - 4y - 2 = 0$ 化为 $(y - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪个选项配方错误，需先明确配方法解一元二次方程的步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，计算右侧常数项。我们只需按上述步骤逐一验证每个选项的配方结果即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2 - 2x + 1 = 99 + 1$
即$(x - 1)^2 = 100$，A配方正确，不符合题意。
B选项：$x^2 + 8x + 9 = 0$
移项得：$x^2 + 8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2 + 8x + 16 = -9 + 16$
即$(x + 4)^2 = 7$，不是$(x + 4)^2 = 25$，B配方错误，符合题意。
C选项：$2t^2 - 7t - 4 = 0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t - 2 = 0$
移项得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t = 2$
两边加一次项系数$-\dfrac{7}{2}$一半的平方$\dfrac{49}{16}$，得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(t - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$，C配方正确，不符合题意。
D选项：$3y^2 - 4y - 2 = 0$
先将二次项系数化为1，两边除以3得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y - \dfrac{2}{3} = 0$
移项得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y = \dfrac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\dfrac{4}{3}$一半的平方$\dfrac{4}{9}$，得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}$
即$(y - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$，D配方正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，易错点是配方时忽略移项变号、或二次项系数不为1时未先化系数为1，熟练掌握配方步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项配方错误，需先明确配方法解一元二次方程的步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，计算右侧常数项。我们只需按上述步骤逐一验证每个选项的配方结果即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2 - 2x + 1 = 99 + 1$
即$(x - 1)^2 = 100$，A配方正确，不符合题意。
B选项：$x^2 + 8x + 9 = 0$
移项得：$x^2 + 8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2 + 8x + 16 = -9 + 16$
即$(x + 4)^2 = 7$，不是$(x + 4)^2 = 25$，B配方错误，符合题意。
C选项：$2t^2 - 7t - 4 = 0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t - 2 = 0$
移项得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t = 2$
两边加一次项系数$-\dfrac{7}{2}$一半的平方$\dfrac{49}{16}$，得：$t^2 - \dfrac{7}{2}t + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
即$(t - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$，C配方正确，不符合题意。
D选项：$3y^2 - 4y - 2 = 0$
先将二次项系数化为1，两边除以3得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y - \dfrac{2}{3} = 0$
移项得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y = \dfrac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\dfrac{4}{3}$一半的平方$\dfrac{4}{9}$，得：$y^2 - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}$
即$(y - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$，D配方正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，易错点是配方时忽略移项变号、或二次项系数不为1时未先化系数为1，熟练掌握配方步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是
（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
（
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
3. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta =b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先将方程和一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式计算，最后根据计算结果对应判断根的情况即可。
【解析】
将方程$x^2 -2x=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$对应，可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta =(-2)^2 - 4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算方法以及其与根的情况的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta =b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先将方程和一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）对应，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式计算，最后根据计算结果对应判断根的情况即可。
【解析】
将方程$x^2 -2x=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$对应，可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta =(-2)^2 - 4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算方法以及其与根的情况的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4. 若$m$是方程$3x^2 + x - 4 = 0$的一个实数根，则代数式$6m^2 + 2m + 2025$的值为
2033
。答案
4. 2 033
解析
【分析】
解题时首先结合一元二次方程根的定义思考：方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式。接着观察所求代数式的结构，发现6m²+2m恰好是3m²+m的2倍，因此不需要求解m的具体值，用整体代入法即可快速算出结果，避免了复杂的解方程运算。
【解析】
∵m是方程$3x^2 + x - 4 = 0$的一个实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$3m^2 + m - 4 = 0$，
整理得：$3m^2 + m = 4$。
对所求代数式变形可得：
$6m^2 + 2m + 2025 = 2(3m^2 + m) + 2025$，
将$3m^2 + m = 4$代入上式：
原式$= 2×4 + 2025 = 8 + 2025 = 2033$。
【答案】
2033
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是灵活运用整体代入思想，借助方程根的定义得到对应代数式的值，无需解出根的具体数值即可简化计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合一元二次方程根的定义思考：方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式。接着观察所求代数式的结构，发现6m²+2m恰好是3m²+m的2倍，因此不需要求解m的具体值，用整体代入法即可快速算出结果，避免了复杂的解方程运算。
【解析】
∵m是方程$3x^2 + x - 4 = 0$的一个实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$3m^2 + m - 4 = 0$，
整理得：$3m^2 + m = 4$。
对所求代数式变形可得：
$6m^2 + 2m + 2025 = 2(3m^2 + m) + 2025$，
将$3m^2 + m = 4$代入上式：
原式$= 2×4 + 2025 = 8 + 2025 = 2033$。
【答案】
2033
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是灵活运用整体代入思想，借助方程根的定义得到对应代数式的值，无需解出根的具体数值即可简化计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于x的一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，则m的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{8}$
。答案
5. $m＞\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
解题时首先看到题目给出一元二次方程没有实数根，立刻联想到用一元二次方程根的判别式判断根的情况的知识点。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，其中：$\Delta＞0$对应方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应方程没有实数根。本题已知方程无实根，因此只要确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＜0$得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=m$。
$\because$该方程没有实数根
$\therefore$根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$
将$a、b、c$的值代入得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得：
$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，只要牢记判别式不同取值对应的根的三种情况，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先看到题目给出一元二次方程没有实数根，立刻联想到用一元二次方程根的判别式判断根的情况的知识点。首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，其中：$\Delta＞0$对应方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应方程没有实数根。本题已知方程无实根，因此只要确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＜0$得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=m$。
$\because$该方程没有实数根
$\therefore$根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$
将$a、b、c$的值代入得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，解得：
$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，只要牢记判别式不同取值对应的根的三种情况，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.8
6. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个实数根，则$x_1^2 -4x_1 -x_2=$
-1
.答案
6. -1
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的特征，代数式中含x₁的二次项，首先利用一元二次方程根的定义，将x₁的二次项降次转化为一次式，再对代数式变形，结合一元二次方程根与系数的关系整体代入两根之和的值，即可求出结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵x₁是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的实数根
∴将x₁代入方程得：$x_1^2 -3x_1 -2=0$，即$x_1^2=3x_1 +2$
将$x_1^2=3x_1 +2$代入待求式：
$\begin{aligned}x_1^2 -4x_1 -x_2&=3x_1 +2 -4x_1 -x_2\\&=-x_1 -x_2 +2\\&=-(x_1+x_2)+2\end{aligned}$
又
∵x₁、x₂是方程$x^2 -3x -2=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$
∴代入得：原式$=-3 +2=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心技巧是通过根的定义降次、结合根与系数关系整体代入，避免了求解方程根的复杂运算，是代数求值中整体思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的特征，代数式中含x₁的二次项，首先利用一元二次方程根的定义，将x₁的二次项降次转化为一次式，再对代数式变形，结合一元二次方程根与系数的关系整体代入两根之和的值，即可求出结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵x₁是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的实数根
∴将x₁代入方程得：$x_1^2 -3x_1 -2=0$，即$x_1^2=3x_1 +2$
将$x_1^2=3x_1 +2$代入待求式：
$\begin{aligned}x_1^2 -4x_1 -x_2&=3x_1 +2 -4x_1 -x_2\\&=-x_1 -x_2 +2\\&=-(x_1+x_2)+2\end{aligned}$
又
∵x₁、x₂是方程$x^2 -3x -2=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$
∴代入得：原式$=-3 +2=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心技巧是通过根的定义降次、结合根与系数关系整体代入，避免了求解方程根的复杂运算，是代数求值中整体思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
7. 解下列方程：
(1)$(x-5)^2=16$(直接开平方)；
(2)$x^2-4x+1=0$(配方法)；
(3)$x^2+1=\sqrt{6}x$(公式法)；
(4)$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$(因式分解法)。
(1)$(x-5)^2=16$(直接开平方)；
(2)$x^2-4x+1=0$(配方法)；
(3)$x^2+1=\sqrt{6}x$(公式法)；
(4)$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$(因式分解法)。
答案
7. (1)$x_1=1,x_2=9$
(2)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=2+\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-2$
(2)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=2+\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的四种指定解法，解题思路如下：
(1)直接开平方法：将$(x-5)$看作整体，等式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解即可；
(2)配方法：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再开平方求解；
(3)公式法：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(4)因式分解法：将$(2x+1)$看作整体提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式为0求解即可。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2=16$直接开平方，得：
$x-5=\pm4$
即$x-5=4$或$x-5=-4$
解得$x_1=1$，$x_2=9$
(2) 用配方法解$x^2-4x+1=0$：
移项，得$x^2-4x=-1$
配方，两边同时加4，得$x^2-4x+4=-1+4$
即$(x-2)^2=3$
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=2-\sqrt{3}$，$x_2=2+\sqrt{3}$
(3) 用公式法解$x^2+1=\sqrt{6}x$：
整理为一般形式：$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
这里$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=6-4=2＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4) 用因式分解法解$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$：
提取公因式$(2x+1)$，得：
$(2x+1)(2x+1+3)=0$
即$(2x+1)(2x+4)=0$
令$2x+1=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$
令$2x+4=0$，解得$x_2=-2$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=9$
(2)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=2+\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程的解法
2.配方法
3.因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，针对性考查四种常用解法的操作步骤，熟练掌握各类解法的适用场景和运算规则，是后续求解复杂方程的基础，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的四种指定解法，解题思路如下：
(1)直接开平方法：将$(x-5)$看作整体，等式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解即可；
(2)配方法：先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，再开平方求解；
(3)公式法：先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(4)因式分解法：将$(2x+1)$看作整体提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式为0求解即可。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2=16$直接开平方，得：
$x-5=\pm4$
即$x-5=4$或$x-5=-4$
解得$x_1=1$，$x_2=9$
(2) 用配方法解$x^2-4x+1=0$：
移项，得$x^2-4x=-1$
配方，两边同时加4，得$x^2-4x+4=-1+4$
即$(x-2)^2=3$
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=2-\sqrt{3}$，$x_2=2+\sqrt{3}$
(3) 用公式法解$x^2+1=\sqrt{6}x$：
整理为一般形式：$x^2-\sqrt{6}x+1=0$
这里$a=1$，$b=-\sqrt{6}$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=6-4=2＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4) 用因式分解法解$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$：
提取公因式$(2x+1)$，得：
$(2x+1)(2x+1+3)=0$
即$(2x+1)(2x+4)=0$
令$2x+1=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$
令$2x+4=0$，解得$x_2=-2$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=9$
(2)$x_1=2-\sqrt{3},x_2=2+\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
(4)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程的解法
2.配方法
3.因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，针对性考查四种常用解法的操作步骤，熟练掌握各类解法的适用场景和运算规则，是后续求解复杂方程的基础，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
8. 关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若方程两实数根满足$x_1+x_2=x_1x_2$,求$k$的值.
(1)求实数$k$的取值范围.
(2)若方程两实数根满足$x_1+x_2=x_1x_2$,求$k$的值.
答案
8. (1)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0.$
解得 $k＞\dfrac{3}{4}.$
(2)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，
∴ $x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+1.$
∵ $x_1+x_2=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1.$
解得 $k_1=0,k_2=2.$
又 $k＞\dfrac{3}{4}$，
∴ $k=2.$
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0.$
解得 $k＞\dfrac{3}{4}.$
(2)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，
∴ $x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+1.$
∵ $x_1+x_2=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1.$
解得 $k_1=0,k_2=2.$
又 $k＞\dfrac{3}{4}$，
∴ $k=2.$
解析
【分析】
(1) 要确定一元二次方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，需利用根的判别式的性质：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac计算得到含k的表达式，再令Δ＞0解不等式即可得到k的范围。
(2) 已知两根和与两根积的等量关系，需用根与系数的关系（韦达定理）写出x₁+x₂、x₁x₂关于k的表达式，代入等量关系得到关于k的方程，解出k的可能值后，结合第(1)问的k的取值范围进行取舍，排除不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0$，
解得 $k＞\dfrac{3}{4}$。
(2)
∵ 方程的两个实数根为$x_1,x_2$，
∴ 根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+1$，
∵ $x_1+x_2=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1$，
整理得$k^2-2k=0$，解得 $k_1=0$，$k_2=2$，
又
∵ 由(1)知$k＞\dfrac{3}{4}$，
∴ $k=0$不符合题意，舍去，
∴ $k=2$。
【答案】
(1) $k＞\dfrac{3}{4}$；
(2) $k=2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，既考查了根的判别式和根的情况的对应关系，也考查了根与系数关系的应用，解题时要注意第二问解出参数后需要结合根的存在条件进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定一元二次方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，需利用根的判别式的性质：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac计算得到含k的表达式，再令Δ＞0解不等式即可得到k的范围。
(2) 已知两根和与两根积的等量关系，需用根与系数的关系（韦达定理）写出x₁+x₂、x₁x₂关于k的表达式，代入等量关系得到关于k的方程，解出k的可能值后，结合第(1)问的k的取值范围进行取舍，排除不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+1)=4k^2+4k+1-4k^2-4=4k-3＞0$，
解得 $k＞\dfrac{3}{4}$。
(2)
∵ 方程的两个实数根为$x_1,x_2$，
∴ 根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+1$，
∵ $x_1+x_2=x_1x_2$，
∴ $2k+1=k^2+1$，
整理得$k^2-2k=0$，解得 $k_1=0$，$k_2=2$，
又
∵ 由(1)知$k＞\dfrac{3}{4}$，
∴ $k=0$不符合题意，舍去，
∴ $k=2$。
【答案】
(1) $k＞\dfrac{3}{4}$；
(2) $k=2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，既考查了根的判别式和根的情况的对应关系，也考查了根与系数关系的应用，解题时要注意第二问解出参数后需要结合根的存在条件进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
