登录
9. 某古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴.
(1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看. 据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次. 求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率.
(2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作、地方美食等，重现古城商贸活力. 如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个. 若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？
(1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看. 据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次. 求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率.
(2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作、地方美食等，重现古城商贸活力. 如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个. 若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？
答案
9. (1)设日平均增长率为 x.
根据题意,得 $5(1+x)^2=7.2.$
解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
答:日平均增长率为 20%.
(2)设售价降低 a 元,根据题意,得
$(10-5-a)(500+50a)=1\ 800.$
解得 $a_1=2,a_2=-7$(不符合题意,舍去).
答:售价应降低 2 元.
根据题意,得 $5(1+x)^2=7.2.$
解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
答:日平均增长率为 20%.
(2)设售价降低 a 元,根据题意,得
$(10-5-a)(500+50a)=1\ 800.$
解得 $a_1=2,a_2=-7$(不符合题意,舍去).
答:售价应降低 2 元.
解析
【分析】
(1) 本题属于增长率类实际问题，解题思路为：设日平均增长率为x，以第一天游客量为基础，第二天游客量是第一天的(1+x)倍，第三天游客量是第二天的(1+x)倍，即第三天游客量=第一天游客量×(1+x)²，结合已知第三天游客量为7.2万人次列方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
(2) 本题属于销售利润类实际问题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售总量。设售价降低a元，先表示出单个冰箱贴的利润为（原售价-成本-降价金额），再根据“售价每降低0.5元多售出25个”，计算出降价a元后的总销量，最后结合总利润1800元列方程求解，舍去降价金额为负的不符合实际的根。
【解析】
(1) 设游客人数的日平均增长率为x，
根据题意得：$5(1+x)^2=7.2$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
(2) 设售价应降低a元，
根据题意得：$(10-5-a)(500+\frac{a}{0.5}×25)=1800$，
整理得$(5-a)(500+50a)=1800$，
解得 $a_1=2$，$a_2=-7$（不符合题意，舍去）。
【答案】
(1) 日平均增长率为20%；
(2) 售价应降低2元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合文旅热点场景出题，贴近生活实际，主要考查利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，同时要注意检验方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于增长率类实际问题，解题思路为：设日平均增长率为x，以第一天游客量为基础，第二天游客量是第一天的(1+x)倍，第三天游客量是第二天的(1+x)倍，即第三天游客量=第一天游客量×(1+x)²，结合已知第三天游客量为7.2万人次列方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
(2) 本题属于销售利润类实际问题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售总量。设售价降低a元，先表示出单个冰箱贴的利润为（原售价-成本-降价金额），再根据“售价每降低0.5元多售出25个”，计算出降价a元后的总销量，最后结合总利润1800元列方程求解，舍去降价金额为负的不符合实际的根。
【解析】
(1) 设游客人数的日平均增长率为x，
根据题意得：$5(1+x)^2=7.2$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合题意，舍去）。
(2) 设售价应降低a元，
根据题意得：$(10-5-a)(500+\frac{a}{0.5}×25)=1800$，
整理得$(5-a)(500+50a)=1800$，
解得 $a_1=2$，$a_2=-7$（不符合题意，舍去）。
【答案】
(1) 日平均增长率为20%；
(2) 售价应降低2元。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合文旅热点场景出题，贴近生活实际，主要考查利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，同时要注意检验方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
10. 电动车方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程却十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害.“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段.阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个长方形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45 m），其他边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形.
(1)若车棚占地面积为$384\ \mathrm{m}^2$，试求出电动车车棚的长$BC$和宽$AB$.
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
(1)若车棚占地面积为$384\ \mathrm{m}^2$，试求出电动车车棚的长$BC$和宽$AB$.
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案
10. (1)设电动车车棚的宽 AB 为 x m,则电动车车棚的长 BC 为(72-3x) m.
由题意,得 $x(72-3x)=384.$
解得 $x_1=8,x_2=16.$
当 x=8 时,72-3×8=48＞45,不符合题意,舍去;
当 x=16 时,72-3×16=24＜45,符合题意.
答:电动车车棚的长 BC 为 24 m,宽 AB 为 16 m.
(2)不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚. 理由如下：
设电动车车棚的宽 AB 为 y m,则电动车车棚的长 BC 为(72-3y) m.
由题意,得 $y(72-3y)=450.$
整理,得 $y^2-24y+150=0.$
∵ $\Delta=(-24)^2-4×1×150=-24＜0,$
∴ 原方程无实数根.
∴ 不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.
由题意,得 $x(72-3x)=384.$
解得 $x_1=8,x_2=16.$
当 x=8 时,72-3×8=48＞45,不符合题意,舍去;
当 x=16 时,72-3×16=24＜45,符合题意.
答:电动车车棚的长 BC 为 24 m,宽 AB 为 16 m.
(2)不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚. 理由如下：
设电动车车棚的宽 AB 为 y m,则电动车车棚的长 BC 为(72-3y) m.
由题意,得 $y(72-3y)=450.$
整理,得 $y^2-24y+150=0.$
∵ $\Delta=(-24)^2-4×1×150=-24＜0,$
∴ 原方程无实数根.
∴ 不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.
解析
【分析】
这是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 设定变量：选择垂直于墙的宽度AB为未知数，方便表示平行于墙的长度BC；2. 推导BC的表达式：栅栏总长70m，加上两个1m出口的长度（出口无需栅栏，相当于平行于墙的方向可利用的总长度多了2m），再减去3段垂直于墙的长度，即可得到BC的表达式，同时要注意BC不能超过墙长45m的限制；3. 第一问根据“长方形面积=长×宽”列方程求解，得到根后结合墙长限制舍去不符合实际的解；4. 第二问同样列面积为450的方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成对应面积的车棚。
【解析】
(1) 设电动车车棚的宽AB为$x$ m，则平行于墙的长BC为$(70 + 1×2 - 3x) = (72 - 3x)$ m。
根据车棚占地面积为$384\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-3x)=384$
整理求解得：$x^2 -24x +128=0$，解得$x_1=8$，$x_2=16$。
结合墙长限制验证：
当$x=8$时，$BC=72-3×8=48\ \mathrm{m}$，$48＞45$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=16$时，$BC=72-3×16=24\ \mathrm{m}$，$24＜45$，符合题意。
(2) 不能围成，理由如下：
设电动车车棚的宽AB为$y$ m，则长BC为$(72-3y)$ m，若面积为$450\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$y(72-3y)=450$
整理得：$y^2 -24y +150=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2 - 4×1×150=576 - 600=-24＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即不能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚。
【答案】
(1) 电动车车棚的长BC为24 m，宽AB为16 m；
(2) 不能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题时需要注意两个要点：一是要结合实际场景（如本题的出口、墙长限制）正确列方程并对解进行取舍；二是判断可行性问题可通过一元二次方程根的判别式来完成，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 设定变量：选择垂直于墙的宽度AB为未知数，方便表示平行于墙的长度BC；2. 推导BC的表达式：栅栏总长70m，加上两个1m出口的长度（出口无需栅栏，相当于平行于墙的方向可利用的总长度多了2m），再减去3段垂直于墙的长度，即可得到BC的表达式，同时要注意BC不能超过墙长45m的限制；3. 第一问根据“长方形面积=长×宽”列方程求解，得到根后结合墙长限制舍去不符合实际的解；4. 第二问同样列面积为450的方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否围成对应面积的车棚。
【解析】
(1) 设电动车车棚的宽AB为$x$ m，则平行于墙的长BC为$(70 + 1×2 - 3x) = (72 - 3x)$ m。
根据车棚占地面积为$384\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-3x)=384$
整理求解得：$x^2 -24x +128=0$，解得$x_1=8$，$x_2=16$。
结合墙长限制验证：
当$x=8$时，$BC=72-3×8=48\ \mathrm{m}$，$48＞45$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=16$时，$BC=72-3×16=24\ \mathrm{m}$，$24＜45$，符合题意。
(2) 不能围成，理由如下：
设电动车车棚的宽AB为$y$ m，则长BC为$(72-3y)$ m，若面积为$450\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$y(72-3y)=450$
整理得：$y^2 -24y +150=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2 - 4×1×150=576 - 600=-24＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即不能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚。
【答案】
(1) 电动车车棚的长BC为24 m，宽AB为16 m；
(2) 不能围成占地面积为$450\ \mathrm{m}^2$的电动车车棚，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查一元二次方程的应用，解题时需要注意两个要点：一是要结合实际场景（如本题的出口、墙长限制）正确列方程并对解进行取舍；二是判断可行性问题可通过一元二次方程根的判别式来完成，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
