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5. 如图,用一根长 60 cm 的铁丝制作一个“日”字形框架 ABCD,铁丝恰好全部用完.
(1)若框架 ABCD 的面积为 144 cm²,则 AB=
(2)当 AB=
(1)若框架 ABCD 的面积为 144 cm²,则 AB=
8 cm 或 12 cm
.(2)当 AB=
10 cm
时,框架 ABCD 的面积有最大值,最大值为$150\ \mathrm{cm}^2$
.答案
5. (1)8 cm 或 12 cm
(2)10 cm $150\ \mathrm{cm}^2$
(2)10 cm $150\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
我们先设AB的长度为x cm，观察“日”字形框架可知：框架包含3条长度等于AB的水平边、2条长度相等的竖直边，结合铁丝总长60 cm，可推出竖直边的长度为$\frac{60-3x}{2}$ cm（边长为正，故0＜x＜20）。(1)问利用矩形面积公式列一元二次方程，求解即可得到AB的长度；(2)问将面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出面积最大值及对应AB的长度。
【解析】
设AB的长为$x$ cm，由框架周长为60 cm可得竖直边长度为$\frac{60-3x}{2}$ cm，其中$0＜x＜20$。
(1) 根据矩形面积为144 $\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x·\frac{60-3x}{2}=144$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$，均符合边长为正的要求。
(2) 设框架面积为$S$ $\mathrm{cm}^2$，则：
$S=x·\frac{60-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2+30x$
该函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{3}{2})}=10$
将$x=10$代入面积公式，得最大值：
$S_{max}=-\frac{3}{2}×10^2+30×10=150$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；$\boldsymbol{150\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形的面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积性质，考查方程与函数的实际应用，解题关键是准确根据图形特征用未知数表示各边长度，列对关系式，同时要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
我们先设AB的长度为x cm，观察“日”字形框架可知：框架包含3条长度等于AB的水平边、2条长度相等的竖直边，结合铁丝总长60 cm，可推出竖直边的长度为$\frac{60-3x}{2}$ cm（边长为正，故0＜x＜20）。(1)问利用矩形面积公式列一元二次方程，求解即可得到AB的长度；(2)问将面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出面积最大值及对应AB的长度。
【解析】
设AB的长为$x$ cm，由框架周长为60 cm可得竖直边长度为$\frac{60-3x}{2}$ cm，其中$0＜x＜20$。
(1) 根据矩形面积为144 $\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x·\frac{60-3x}{2}=144$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$，均符合边长为正的要求。
(2) 设框架面积为$S$ $\mathrm{cm}^2$，则：
$S=x·\frac{60-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^2+30x$
该函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-\frac{3}{2})}=10$
将$x=10$代入面积公式，得最大值：
$S_{max}=-\frac{3}{2}×10^2+30×10=150$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；$\boldsymbol{150\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形的面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积性质，考查方程与函数的实际应用，解题关键是准确根据图形特征用未知数表示各边长度，列对关系式，同时要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$ 的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线对应的函数解析式是
$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}x+1$
。答案
6. $y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}x+1$
解析
【分析】
要确定抛物线的函数解析式，已知解析式中仅含有b、c两个未知系数，因此只需找到抛物线上两个点的坐标，代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可。首先根据题意确定点的坐标：出球点B在y轴上，离地面O的距离是1m，因此B点坐标为(0,1)；球落地点A在x轴上，到O点的距离是4m，因此A点坐标为(4,0)，将这两个点代入解析式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，抛物线经过点B(0,1)和点A(4,0)，将两点坐标分别代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$中：
1. 代入B(0,1)：
当$x=0$时，$y=c=1$，得$c=1$；
2. 代入A(4,0)，且$c=1$：
$0=-\dfrac{1}{4}×4^2 + 4b +1$
计算得：$0=-4 +4b +1$
整理得：$4b=3$，解得$b=\dfrac{3}{4}$。
将$b=\dfrac{3}{4}$、$c=1$代入原解析式，即可得到抛物线的函数解析式。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的核心是准确提取题目中的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，掌握该方法即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线的函数解析式，已知解析式中仅含有b、c两个未知系数，因此只需找到抛物线上两个点的坐标，代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值即可。首先根据题意确定点的坐标：出球点B在y轴上，离地面O的距离是1m，因此B点坐标为(0,1)；球落地点A在x轴上，到O点的距离是4m，因此A点坐标为(4,0)，将这两个点代入解析式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，抛物线经过点B(0,1)和点A(4,0)，将两点坐标分别代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$中：
1. 代入B(0,1)：
当$x=0$时，$y=c=1$，得$c=1$；
2. 代入A(4,0)，且$c=1$：
$0=-\dfrac{1}{4}×4^2 + 4b +1$
计算得：$0=-4 +4b +1$
整理得：$4b=3$，解得$b=\dfrac{3}{4}$。
将$b=\dfrac{3}{4}$、$c=1$代入原解析式，即可得到抛物线的函数解析式。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的核心是准确提取题目中的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，掌握该方法即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图①,矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF,GH的总长为a m,且隔断EF,GH分别与矩形的两条邻边平行,设BC的长为x m,矩形ABCD的面积为y m²,y关于x的函数图象如图②,给出下列结论:
①矩形ABCD的最大面积为8 m²;
②y与x之间的函数解析式为$y=-x^2+4x$;
③当$x=4$时,矩形ABCD的面积最大;
④a的值为12.
其中正确结论的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
①矩形ABCD的最大面积为8 m²;
②y与x之间的函数解析式为$y=-x^2+4x$;
③当$x=4$时,矩形ABCD的面积最大;
④a的值为12.
其中正确结论的个数是 (
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先根据窗框总长度的条件表示出矩形未知边的长度，进而得到面积y关于x的二次函数解析式，再结合给出的二次函数图象的顶点信息，利用二次函数对称轴和最值的性质求解参数a，最后逐一验证四个结论的对错即可。
【解析】
解：设矩形ABCD中AB的长为$b$ m，已知BC的长为$x$ m。
由总长度（矩形周长+两条隔断总长）为$a$，可得：
$2(b+x)+x+b=a$
整理得：$3b+3x=a$，即$b=\frac{a-3x}{3}$。
矩形面积$y=x· b$，代入$b$的表达式得：
$y=x·\frac{a-3x}{3}=-x^2+\frac{a}{3}x$。
由图②可知，二次函数的顶点坐标为$(2,4)$，即当$x=2$时，$y$取最大值4。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C(A≠0)$，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=-1$，$B=\frac{a}{3}$，因此对称轴为：
$x=\frac{\frac{a}{3}}{2×1}=\frac{a}{6}=2$，解得$a=12$，故结论④正确。
将$a=12$代入函数解析式，得$y=-x^2+\frac{12}{3}x=-x^2+4x$，故结论②正确。
由图象可知二次函数最大值为4，即矩形最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$，且当$x=2$时面积最大，因此结论①、③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何图形面积问题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意正确列出函数解析式，结合二次函数顶点的性质求解参数，再逐一验证结论。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据窗框总长度的条件表示出矩形未知边的长度，进而得到面积y关于x的二次函数解析式，再结合给出的二次函数图象的顶点信息，利用二次函数对称轴和最值的性质求解参数a，最后逐一验证四个结论的对错即可。
【解析】
解：设矩形ABCD中AB的长为$b$ m，已知BC的长为$x$ m。
由总长度（矩形周长+两条隔断总长）为$a$，可得：
$2(b+x)+x+b=a$
整理得：$3b+3x=a$，即$b=\frac{a-3x}{3}$。
矩形面积$y=x· b$，代入$b$的表达式得：
$y=x·\frac{a-3x}{3}=-x^2+\frac{a}{3}x$。
由图②可知，二次函数的顶点坐标为$(2,4)$，即当$x=2$时，$y$取最大值4。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C(A≠0)$，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=-1$，$B=\frac{a}{3}$，因此对称轴为：
$x=\frac{\frac{a}{3}}{2×1}=\frac{a}{6}=2$，解得$a=12$，故结论④正确。
将$a=12$代入函数解析式，得$y=-x^2+\frac{12}{3}x=-x^2+4x$，故结论②正确。
由图象可知二次函数最大值为4，即矩形最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$，且当$x=2$时面积最大，因此结论①、③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何图形面积问题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意正确列出函数解析式，结合二次函数顶点的性质求解参数，再逐一验证结论。
【难度系数】
0.65
8. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y=6x^2+12x$； (2)$y=-4x^2+8x-10$.
(1)$y=6x^2+12x$； (2)$y=-4x^2+8x-10$.
答案
8. (1)$y = 6x^2 + 12x$
$=6(x^2+2x)$
$=6(x^2+2x+1)-6$
$=6(x+1)^2-6.$
抛物线的开口向上,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-6).$
(2)$y = -4x^2 + 8x - 10$
$=-4(x^2-2x+1)-10+4$
$=-4(x-1)^2-6.$
抛物线的开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是$(1,-6).$
$=6(x^2+2x)$
$=6(x^2+2x+1)-6$
$=6(x+1)^2-6.$
抛物线的开口向上,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-6).$
(2)$y = -4x^2 + 8x - 10$
$=-4(x^2-2x+1)-10+4$
$=-4(x-1)^2-6.$
抛物线的开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是$(1,-6).$
解析
【分析】
要解决本题，需先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，再根据顶点式判断抛物线的性质，具体思路如下：第一步提取二次项系数，将含$x$的二次项、一次项放在括号内；第二步在括号内加一次项系数一半的平方凑完全平方，同时同步调整常数项保证式子值不变；第三步整理得到顶点式后，$a＞0$则开口向上，$a＜0$则开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
【解析】
(1) 对$y=6x^2+12x$配方：
$\begin{aligned}y&=6(x^2+2x)\\&=6(x^2+2x+1)-6×1\\&=6(x+1)^2-6\end{aligned}$
$\because a=6＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-6)$。
(2) 对$y=-4x^2+8x-10$配方：
$\begin{aligned}y&=-4(x^2-2x)-10\\&=-4(x^2-2x+1)+4-10\\&=-4(x-1)^2-6\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-6)$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-6)$；
(2) 开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-6)$。
【知识点】
二次函数配方法，二次函数顶点式，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作步骤，以及利用顶点式判断抛物线的基本性质，熟练掌握配方法的规则、牢记顶点式对应的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，再根据顶点式判断抛物线的性质，具体思路如下：第一步提取二次项系数，将含$x$的二次项、一次项放在括号内；第二步在括号内加一次项系数一半的平方凑完全平方，同时同步调整常数项保证式子值不变；第三步整理得到顶点式后，$a＞0$则开口向上，$a＜0$则开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
【解析】
(1) 对$y=6x^2+12x$配方：
$\begin{aligned}y&=6(x^2+2x)\\&=6(x^2+2x+1)-6×1\\&=6(x+1)^2-6\end{aligned}$
$\because a=6＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-6)$。
(2) 对$y=-4x^2+8x-10$配方：
$\begin{aligned}y&=-4(x^2-2x)-10\\&=-4(x^2-2x+1)+4-10\\&=-4(x-1)^2-6\end{aligned}$
$\because a=-4＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-6)$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标是$(-1,-6)$；
(2) 开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,-6)$。
【知识点】
二次函数配方法，二次函数顶点式，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查配方法的操作步骤，以及利用顶点式判断抛物线的基本性质，熟练掌握配方法的规则、牢记顶点式对应的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 如图，利用$135°$的墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中$AD// BC$，且$∠ C = 90°$. 如果新建墙BCD总长15 m.
(1)设储料场ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，DC的长为x m，则BC的长为
(2)当x取何值时，才能使储料场ABCD的面积最大？
(1)设储料场ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，DC的长为x m，则BC的长为
$(15-x)$
m，AD的长为$(15-2x)$
m，S与x的函数解析式为$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$
.(2)当x取何值时，才能使储料场ABCD的面积最大？
答案
9. (1)$(15-x)$ $(15-2x)$ $S=-\frac{3}{2}x^2+15x$
(2)由(1)可知,$S=-\frac{3}{2}x^2+15x.$
$\because \quad$ 抛物线的开口向下,
抛物线的对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{3}{2})}=5,$
$\therefore \quad$ 当$x=5$时,储料场$ABCD$的面积最大.
(2)由(1)可知,$S=-\frac{3}{2}x^2+15x.$
$\because \quad$ 抛物线的开口向下,
抛物线的对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{3}{2})}=5,$
$\therefore \quad$ 当$x=5$时,储料场$ABCD$的面积最大.
解析
【分析】
(1) 首先根据新建墙BCD总长15m，DC长为x m，可直接得到BC的长度；接下来过点A作AE⊥BC于E，将梯形分为矩形AECD和等腰直角三角形ABE：由AD//BC、∠C=90°可得四边形AECD是矩形，故AE=DC=x，AD=EC；再结合∠BAD=135°可推出∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形，BE=AE=x，由此可求出AD的长度；最后根据梯形面积公式即可得到S与x的函数解析式。
(2) 得到的S与x的函数是二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可得到使面积最大的x值。
【解析】
(1)
∵ 新建墙BCD总长15m，DC=x m，
∴ $BC=15-x$ m。
过点A作$AE⊥ BC$于点E，
∵ $AD// BC$，$∠ C=90°$，
∴ 四边形AECD是矩形，
∴ $AE=DC=x$，$AD=EC$，$∠ DAE=90°$，
∵ $∠ BAD=135°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=135°-90°=45°$，
∴ $△ ABE$是等腰直角三角形，
∴ $BE=AE=x$，
∴ $AD=EC=BC-BE=(15-x)-x=15-2x$ m。
根据梯形面积公式：
$S=\frac{(AD+BC)× DC}{2}=\frac{[(15-2x)+(15-x)]· x}{2}$
整理得：$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$，
其中$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{3}{2})}=5$，符合实际取值要求，
因此当$x=5$时，储料场ABCD的面积最大。
【答案】
(1) $(15-x)$；$(15-2x)$；$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$
(2) 当$x=5$时，储料场ABCD的面积最大
【知识点】
梯形面积计算；等腰直角三角形的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与二次函数结合的实际应用题，解题的关键是通过作辅助线将梯形转化为熟悉的矩形和等腰直角三角形，求出各边长度后结合二次函数性质求最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据新建墙BCD总长15m，DC长为x m，可直接得到BC的长度；接下来过点A作AE⊥BC于E，将梯形分为矩形AECD和等腰直角三角形ABE：由AD//BC、∠C=90°可得四边形AECD是矩形，故AE=DC=x，AD=EC；再结合∠BAD=135°可推出∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形，BE=AE=x，由此可求出AD的长度；最后根据梯形面积公式即可得到S与x的函数解析式。
(2) 得到的S与x的函数是二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可得到使面积最大的x值。
【解析】
(1)
∵ 新建墙BCD总长15m，DC=x m，
∴ $BC=15-x$ m。
过点A作$AE⊥ BC$于点E，
∵ $AD// BC$，$∠ C=90°$，
∴ 四边形AECD是矩形，
∴ $AE=DC=x$，$AD=EC$，$∠ DAE=90°$，
∵ $∠ BAD=135°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=135°-90°=45°$，
∴ $△ ABE$是等腰直角三角形，
∴ $BE=AE=x$，
∴ $AD=EC=BC-BE=(15-x)-x=15-2x$ m。
根据梯形面积公式：
$S=\frac{(AD+BC)× DC}{2}=\frac{[(15-2x)+(15-x)]· x}{2}$
整理得：$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$，
其中$a=-\frac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{15}{2×(-\frac{3}{2})}=5$，符合实际取值要求，
因此当$x=5$时，储料场ABCD的面积最大。
【答案】
(1) $(15-x)$；$(15-2x)$；$S=-\frac{3}{2}x^2+15x$
(2) 当$x=5$时，储料场ABCD的面积最大
【知识点】
梯形面积计算；等腰直角三角形的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与二次函数结合的实际应用题，解题的关键是通过作辅助线将梯形转化为熟悉的矩形和等腰直角三角形，求出各边长度后结合二次函数性质求最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
