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10. 相框边的宽可影响放入相片的大小，如图所示，相框长26 cm，宽22 cm. 设相框边的宽为x cm，相框内的面积为y cm².
(1)写出y关于x的函数解析式.
(2)在这个函数解析式中，自变量x的取值范围是什么？
(3)当x分别取1.5和2时，各可以放入多大面积的相片？
(1)写出y关于x的函数解析式.
(2)在这个函数解析式中，自变量x的取值范围是什么？
(3)当x分别取1.5和2时，各可以放入多大面积的相片？
答案
10. (1)由题意,得
$y=(26-2x)(22-2x)=4x^2-96x+572.$
(2)由题意,得$\begin{cases} x＞0, \\ 26-2x＞0, \\ 22-2x＞0. \end{cases}$
$\therefore \quad 0＜x＜11.$
(3) 当$x$取$1.5$时,可以放入面积为$437\ \mathrm{cm}^2$的相片.
当$x$取$2$时,可以放入面积为$396\ \mathrm{cm}^2$的照片.
$y=(26-2x)(22-2x)=4x^2-96x+572.$
(2)由题意,得$\begin{cases} x＞0, \\ 26-2x＞0, \\ 22-2x＞0. \end{cases}$
$\therefore \quad 0＜x＜11.$
(3) 当$x$取$1.5$时,可以放入面积为$437\ \mathrm{cm}^2$的相片.
当$x$取$2$时,可以放入面积为$396\ \mathrm{cm}^2$的照片.
解析
【分析】
(1) 求相框内面积y需先确定内部图形的长和宽：相框上下、左右边框宽均为x cm，因此内部长为原长减去2倍边框宽，即(26-2x)cm，内部宽为原宽减去2倍边框宽，即(22-2x)cm，再根据长方形面积公式即可列出函数解析式，最后整理为一般形式。
(2) 自变量x的取值范围需结合实际意义判断：边框宽x必须为正，且内部的长、宽也必须为正才能放入相片，据此列不等式组求解即可。
(3) 求不同x对应的相片面积，只需将x的取值代入第一问得到的函数解析式，计算对应的y值即可。
【解析】
(1) 由题意得相框内部的长为$(26-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(22-2x)\mathrm{cm}$，根据长方形面积公式：
$\begin{aligned}y&=(26-2x)(22-2x)\\&=4x^2-96x+572\end{aligned}$
(2) 结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\26-2x＞0 \\22-2x＞0\end{cases}$
分别解不等式得$x＞0$，$x＜13$，$x＜11$，取公共解集可得自变量取值范围为$0＜x＜11$。
(3) 当$x=1.5$时，代入解析式：
$\begin{aligned}y&=4×1.5^2-96×1.5+572\\&=9-144+572\\&=437(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
当$x=2$时，代入解析式：
$\begin{aligned}y&=4×2^2-96×2+572\\&=16-192+572\\&=396(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=4x^2-96x+572$
(2) $0＜x＜11$
(3) 当x取1.5时，可放入面积为$437\ \mathrm{cm}^2$的相片；当x取2时，可放入面积为$396\ \mathrm{cm}^2$的相片。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是准确表示出内部长方形的长和宽，同时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，属于二次函数应用类基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 求相框内面积y需先确定内部图形的长和宽：相框上下、左右边框宽均为x cm，因此内部长为原长减去2倍边框宽，即(26-2x)cm，内部宽为原宽减去2倍边框宽，即(22-2x)cm，再根据长方形面积公式即可列出函数解析式，最后整理为一般形式。
(2) 自变量x的取值范围需结合实际意义判断：边框宽x必须为正，且内部的长、宽也必须为正才能放入相片，据此列不等式组求解即可。
(3) 求不同x对应的相片面积，只需将x的取值代入第一问得到的函数解析式，计算对应的y值即可。
【解析】
(1) 由题意得相框内部的长为$(26-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(22-2x)\mathrm{cm}$，根据长方形面积公式：
$\begin{aligned}y&=(26-2x)(22-2x)\\&=4x^2-96x+572\end{aligned}$
(2) 结合实际意义列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\26-2x＞0 \\22-2x＞0\end{cases}$
分别解不等式得$x＞0$，$x＜13$，$x＜11$，取公共解集可得自变量取值范围为$0＜x＜11$。
(3) 当$x=1.5$时，代入解析式：
$\begin{aligned}y&=4×1.5^2-96×1.5+572\\&=9-144+572\\&=437(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
当$x=2$时，代入解析式：
$\begin{aligned}y&=4×2^2-96×2+572\\&=16-192+572\\&=396(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=4x^2-96x+572$
(2) $0＜x＜11$
(3) 当x取1.5时，可放入面积为$437\ \mathrm{cm}^2$的相片；当x取2时，可放入面积为$396\ \mathrm{cm}^2$的相片。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题关键是准确表示出内部长方形的长和宽，同时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，属于二次函数应用类基础题。
【难度系数】
0.7
11. 如图,护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置(其高度忽略不计)对坡地AB进行浇灌,点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形,已知当水柱距出水口A的水平距离为6 m时,达到距离地面OB的竖直高度最大值13 m. 以OB所在的水平方向为x轴,OA所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系,已知OA=10 m.
(1) 求图中抛物线形水柱对应的函数解析式.
(2) 若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1 m,求此时喷到C处的水柱距出水口A的水平距离.
(1) 求图中抛物线形水柱对应的函数解析式.
(2) 若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1 m,求此时喷到C处的水柱距出水口A的水平距离.
答案
11. (1)$\because \quad OA=10\ \mathrm{m}$,且点$A$在$y$轴正半轴上,
$\therefore \quad A(0,10).$
由题意得,抛物线的顶点坐标为$(6,13)$,
则设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+13.$
将$A(0,10)$代入,
可得$10=a(0-6)^2+13.$
解得$a=-\frac{1}{12}.$
$\therefore \quad$ 抛物线形水柱对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13.$
(2) 对于抛物线$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$,
令$y=1$,得$-\frac{1}{12}(x-6)^2+13=1.$
整理,得$(x-6)^2=144.$
解得$x_1=18,x_2=-6$(舍去).
$\therefore \quad$ 此时喷到$C$处的水柱距出水口$A$的水平距离为$18\ \mathrm{m}.$
$\therefore \quad A(0,10).$
由题意得,抛物线的顶点坐标为$(6,13)$,
则设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+13.$
将$A(0,10)$代入,
可得$10=a(0-6)^2+13.$
解得$a=-\frac{1}{12}.$
$\therefore \quad$ 抛物线形水柱对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13.$
(2) 对于抛物线$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$,
令$y=1$,得$-\frac{1}{12}(x-6)^2+13=1.$
整理,得$(x-6)^2=144.$
解得$x_1=18,x_2=-6$(舍去).
$\therefore \quad$ 此时喷到$C$处的水柱距出水口$A$的水平距离为$18\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先提取题干信息：OA=10m可得点A坐标为(0,10)；水柱在距A水平距离6m时达到最大高度13m，说明抛物线顶点为(6,13)。已知顶点坐标时，选择二次函数顶点式计算更简便，将A点坐标代入顶点式即可求出参数a，得到完整解析式。
(2) 求C处的水平距离，已知C处竖直高度为1m，即函数值y=1，将y=1代入已得的抛物线解析式，解一元二次方程得到x的解，结合实际场景水平距离为非负数，舍去负解后，正解就是所求的水平距离。
【解析】
(1) $\because OA=10\ \mathrm{m}$，且点A在y轴正半轴上，
$\therefore A(0,10)$。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,13)$，
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+13\ (a\ne0)$。
将$A(0,10)$代入解析式，可得：
$10=a(0-6)^2+13$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$ 抛物线形水柱对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$。
(2) 已知C处离地面竖直高度为1m，即$y=1$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+13=1$
整理得$(x-6)^2=144$，
解得$x_1=18$，$x_2=-6$。
$\because$ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-6$。
$\therefore$ 喷到C处的水柱距出水口A的水平距离为18m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$
(2) $18\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是准确提取题干中的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，是二次函数应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式首先提取题干信息：OA=10m可得点A坐标为(0,10)；水柱在距A水平距离6m时达到最大高度13m，说明抛物线顶点为(6,13)。已知顶点坐标时，选择二次函数顶点式计算更简便，将A点坐标代入顶点式即可求出参数a，得到完整解析式。
(2) 求C处的水平距离，已知C处竖直高度为1m，即函数值y=1，将y=1代入已得的抛物线解析式，解一元二次方程得到x的解，结合实际场景水平距离为非负数，舍去负解后，正解就是所求的水平距离。
【解析】
(1) $\because OA=10\ \mathrm{m}$，且点A在y轴正半轴上，
$\therefore A(0,10)$。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,13)$，
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+13\ (a\ne0)$。
将$A(0,10)$代入解析式，可得：
$10=a(0-6)^2+13$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$ 抛物线形水柱对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$。
(2) 已知C处离地面竖直高度为1m，即$y=1$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-6)^2+13=1$
整理得$(x-6)^2=144$，
解得$x_1=18$，$x_2=-6$。
$\because$ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-6$。
$\therefore$ 喷到C处的水柱距出水口A的水平距离为18m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+13$
(2) $18\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是准确提取题干中的坐标信息，选择合适的解析式形式求解，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，是二次函数应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
