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如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E在BC边上,且BE=6,点P从点B出发,沿B→A→D→C运动,速度为每秒2个单位长度;点Q从点B出发,沿B→E方向运动,速度为每秒1个单位长度,点Q到达点E时停止运动.两个点同时出发,点P的运动时间为x秒,且0＜x＜8.在运动过程中,△BPQ的面积为y,请写出y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
答案
当$0＜x≤2$时,$BQ=x,BP=2x,∠B=90°$,
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · BP=\frac{1}{2}×2x×x=x^2.$
当$2＜x≤6$时,$BQ=x$,
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · AB=\frac{1}{2}×4×x=2x.$
当$6＜x＜8$时,$BQ=BE=6,CP=16-2x$,
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · CP=\frac{1}{2}×6×(16-2x)=-6x+48.$
综上,$y$与$x$的函数解析式为
$y=\begin{cases} x^2(0＜x≤2), \\ 2x(2＜x≤6), \\ -6x+48(6＜x＜8). \end{cases}$
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · BP=\frac{1}{2}×2x×x=x^2.$
当$2＜x≤6$时,$BQ=x$,
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · AB=\frac{1}{2}×4×x=2x.$
当$6＜x＜8$时,$BQ=BE=6,CP=16-2x$,
$\therefore \quad y=\frac{1}{2}BQ · CP=\frac{1}{2}×6×(16-2x)=-6x+48.$
综上,$y$与$x$的函数解析式为
$y=\begin{cases} x^2(0＜x≤2), \\ 2x(2＜x≤6), \\ -6x+48(6＜x＜8). \end{cases}$
解析
【分析】
本题是动点产生的分段函数问题，解题时需先根据点P的运动位置划分三个阶段：①点P在AB边上运动；②点P在AD边上运动；③点P在DC边上运动。每个阶段先确定△BPQ的底和对应高的长度，再结合三角形面积公式计算面积，最后整理出对应区间的函数解析式即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$0＜x≤2$时，点P在AB边上，$BQ=x$，$BP=2x$，$∠ B=90°$，
根据三角形面积公式得：$y=\frac{1}{2}BQ · BP=\frac{1}{2} × x × 2x=x^2$。
2. 当$2＜x≤6$时，点P在AD边上，$BQ=x$，△BPQ中BQ边上的高等于AB的长度4，
因此$y=\frac{1}{2}BQ · AB=\frac{1}{2} × x × 4=2x$。
3. 当$6＜x＜8$时，点Q已经到达E点停止运动，故$BQ=BE=6$，点P在DC边上，△BPQ中BQ边上的高为CP的长度，$CP=AB+AD+DC-2x=4+8+4-2x=16-2x$，
因此$y=\frac{1}{2}BQ · CP=\frac{1}{2} × 6 × (16-2x)=-6x+48$。
【答案】
$y=\begin{cases} x^2(0＜x≤2) \\ 2x(2＜x≤6) \\ -6x+48(6＜x＜8) \end{cases}$
【知识点】
分段函数求解，三角形面积计算，矩形性质
【点评】
本题属于动点类的分段函数基础题，核心是根据动点的运动路径正确划分取值区间，找准每个区间内三角形面积对应的底和高，计算时要注意各段自变量的取值范围不要遗漏或错误。
【难度系数】
0.6
本题是动点产生的分段函数问题，解题时需先根据点P的运动位置划分三个阶段：①点P在AB边上运动；②点P在AD边上运动；③点P在DC边上运动。每个阶段先确定△BPQ的底和对应高的长度，再结合三角形面积公式计算面积，最后整理出对应区间的函数解析式即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当$0＜x≤2$时，点P在AB边上，$BQ=x$，$BP=2x$，$∠ B=90°$，
根据三角形面积公式得：$y=\frac{1}{2}BQ · BP=\frac{1}{2} × x × 2x=x^2$。
2. 当$2＜x≤6$时，点P在AD边上，$BQ=x$，△BPQ中BQ边上的高等于AB的长度4，
因此$y=\frac{1}{2}BQ · AB=\frac{1}{2} × x × 4=2x$。
3. 当$6＜x＜8$时，点Q已经到达E点停止运动，故$BQ=BE=6$，点P在DC边上，△BPQ中BQ边上的高为CP的长度，$CP=AB+AD+DC-2x=4+8+4-2x=16-2x$，
因此$y=\frac{1}{2}BQ · CP=\frac{1}{2} × 6 × (16-2x)=-6x+48$。
【答案】
$y=\begin{cases} x^2(0＜x≤2) \\ 2x(2＜x≤6) \\ -6x+48(6＜x＜8) \end{cases}$
【知识点】
分段函数求解，三角形面积计算，矩形性质
【点评】
本题属于动点类的分段函数基础题，核心是根据动点的运动路径正确划分取值区间，找准每个区间内三角形面积对应的底和高，计算时要注意各段自变量的取值范围不要遗漏或错误。
【难度系数】
0.6
1. 当$x=$
2
时，二次函数$y=-3x^2+12x-3$有最大
值9
。答案
1. 2 大 9
解析
【分析】
解决二次函数最值问题可分两步思考：第一步先判断最值类型，二次函数的开口方向由二次项系数$a$决定：若$a＞0$，图象开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，图象开口向下，函数有最大值。第二步求对应最值，可通过配方法将函数化为顶点式，或直接用顶点坐标公式，得到顶点的横、纵坐标，横坐标就是取最值时的$x$值，纵坐标就是最值。
【解析】
已知二次函数$y=-3x^2+12x-3$，二次项系数$a=-3＜0$，因此函数图象开口向下，有最大值。
方法1：配方法
对函数变形配方：
$\begin{aligned}y&=-3x^2+12x-3\\&=-3(x^2-4x)-3\\&=-3(x^2-4x+4-4)-3\\&=-3(x-2)^2+12-3\\&=-3(x-2)^2+9\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(2,9)$，即当$x=2$时，函数有最大值9。
方法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，取最值时的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=12$得：
$x=-\frac{12}{2×(-3)}=2$
将$x=2$代入原函数计算最值：
$y=-3×2^2+12×2-3=-12+24-3=9$
【答案】
2；大；9
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础考法，核心是掌握开口方向和最值的对应关系，以及配方法、顶点公式求顶点坐标的方法，是二次函数性质应用的常规题型。
【难度系数】
0.8
解决二次函数最值问题可分两步思考：第一步先判断最值类型，二次函数的开口方向由二次项系数$a$决定：若$a＞0$，图象开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，图象开口向下，函数有最大值。第二步求对应最值，可通过配方法将函数化为顶点式，或直接用顶点坐标公式，得到顶点的横、纵坐标，横坐标就是取最值时的$x$值，纵坐标就是最值。
【解析】
已知二次函数$y=-3x^2+12x-3$，二次项系数$a=-3＜0$，因此函数图象开口向下，有最大值。
方法1：配方法
对函数变形配方：
$\begin{aligned}y&=-3x^2+12x-3\\&=-3(x^2-4x)-3\\&=-3(x^2-4x+4-4)-3\\&=-3(x-2)^2+12-3\\&=-3(x-2)^2+9\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(2,9)$，即当$x=2$时，函数有最大值9。
方法2：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，取最值时的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=12$得：
$x=-\frac{12}{2×(-3)}=2$
将$x=2$代入原函数计算最值：
$y=-3×2^2+12×2-3=-12+24-3=9$
【答案】
2；大；9
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数最值的基础考法，核心是掌握开口方向和最值的对应关系，以及配方法、顶点公式求顶点坐标的方法，是二次函数性质应用的常规题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=-x^2+2x+3$，当$-2≤ x≤2$时，$y$的最大值是$m$，最小值是$n$，则$m+n=$
-1
。答案
2. -1
解析
【分析】
要解决定区间内二次函数的最值问题，首先分析二次函数的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再用对称轴公式求出对称轴，判断对称轴是否在给定区间$[-2,2]$内。因为开口向下的抛物线顶点处是最高点，所以最大值在对称轴处取得；而最小值出现在离对称轴更远的区间端点处，分别代入计算出最大值$m$和最小值$n$，最后求和即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，
1. 确定开口方向和对称轴：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，显然$1$属于区间$[-2,2]$。
2. 求最大值$m$：
开口向下的抛物线对称轴处函数值最大，将$x=1$代入解析式：
$m=-1^2+2×1+3=4$。
3. 求最小值$n$：
开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$；
比较得最小值$n=-5$。
4. 计算$m+n$：
$m+n=4+(-5)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求法，对称轴应用
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，解题核心是结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，避免直接代入区间端点计算的错误，是该部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决定区间内二次函数的最值问题，首先分析二次函数的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再用对称轴公式求出对称轴，判断对称轴是否在给定区间$[-2,2]$内。因为开口向下的抛物线顶点处是最高点，所以最大值在对称轴处取得；而最小值出现在离对称轴更远的区间端点处，分别代入计算出最大值$m$和最小值$n$，最后求和即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，
1. 确定开口方向和对称轴：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，显然$1$属于区间$[-2,2]$。
2. 求最大值$m$：
开口向下的抛物线对称轴处函数值最大，将$x=1$代入解析式：
$m=-1^2+2×1+3=4$。
3. 求最小值$n$：
开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小，计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+3=3$；
比较得最小值$n=-5$。
4. 计算$m+n$：
$m+n=4+(-5)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质，二次函数最值求法，对称轴应用
【点评】
本题是二次函数区间最值的基础题型，解题核心是结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，避免直接代入区间端点计算的错误，是该部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.《交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离$s$(单位:m)与时间$t$(单位:s)的函数解析式为$s=16t-4t^2$,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为 (
A.13 m
B.14 m
C.15 m
D.16 m
D
)A.13 m
B.14 m
C.15 m
D.16 m
答案
3. D
解析
【分析】
要确定最小安全距离，本质是求汽车刹车后到停止时的最大刹车距离。汽车刹车后，刹车距离s随时间t先增大，当车停止时s达到最大值，因此问题转化为求二次函数$s=16t-4t^2$的最大值。该二次函数开口向下，顶点处对应函数的最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求解。
【解析】
首先将函数解析式整理为标准二次函数形式：
$s=-4t^2+16t$
其中二次项系数$a=-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
我们用配方法求解：
$\begin{aligned}s&=-4(t^2-4t)\\&=-4(t^2-4t+4-4)\\&=-4(t-2)^2+16\end{aligned}$
当$t=2$时，$s$取得最大值，最大值为16m，即汽车刹车后最多滑行16m才会停下，因此后车需要和前车保持的最小安全距离为16m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法化简二次函数
【点评】
本题结合交通安全的实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题中的“最小安全距离”转化为二次函数的最大值问题，要求学生能够熟练运用配方法或顶点公式求解二次函数的最值，体现了数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要确定最小安全距离，本质是求汽车刹车后到停止时的最大刹车距离。汽车刹车后，刹车距离s随时间t先增大，当车停止时s达到最大值，因此问题转化为求二次函数$s=16t-4t^2$的最大值。该二次函数开口向下，顶点处对应函数的最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求解。
【解析】
首先将函数解析式整理为标准二次函数形式：
$s=-4t^2+16t$
其中二次项系数$a=-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
我们用配方法求解：
$\begin{aligned}s&=-4(t^2-4t)\\&=-4(t^2-4t+4-4)\\&=-4(t-2)^2+16\end{aligned}$
当$t=2$时，$s$取得最大值，最大值为16m，即汽车刹车后最多滑行16m才会停下，因此后车需要和前车保持的最小安全距离为16m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法化简二次函数
【点评】
本题结合交通安全的实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题中的“最小安全距离”转化为二次函数的最大值问题，要求学生能够熟练运用配方法或顶点公式求解二次函数的最值，体现了数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
4. 如图，把一张长10 cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计），盒子底面积$S$（单位：$\mathrm{cm}^2$）与剪去的小正方形边长$x$（单位：cm）之间的函数解析式是
$S=4x^2-36x+80$
（不需要写自变量的取值范围）。答案
4. $S=4x^2-36x+80$
解析
【分析】
要推导底面积S和小正方形边长x的函数解析式，首先需要明确折叠后无盖长方体底面的长、宽和原矩形的关系：原矩形四周各剪去1个边长为x的小正方形，因此底面的长为原长减去左右2个小正方形的边长，底面的宽为原宽减去上下2个小正方形的边长，再结合矩形面积=长×宽的公式列式，最后展开整理即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，折叠后无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(10-2x)(8-2x)\\&=80-20x-16x+4x^2\\&=4x^2-36x+80\end{aligned}$
【答案】
$S=4x^2-36x+80$
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，多项式乘法
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题关键是准确梳理几何图形折叠前后的边长关系，计算时注意多项式乘法的运算规则，避免系数或符号计算错误。
【难度系数】
0.7
要推导底面积S和小正方形边长x的函数解析式，首先需要明确折叠后无盖长方体底面的长、宽和原矩形的关系：原矩形四周各剪去1个边长为x的小正方形，因此底面的长为原长减去左右2个小正方形的边长，底面的宽为原宽减去上下2个小正方形的边长，再结合矩形面积=长×宽的公式列式，最后展开整理即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，折叠后无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(10-2x)(8-2x)\\&=80-20x-16x+4x^2\\&=4x^2-36x+80\end{aligned}$
【答案】
$S=4x^2-36x+80$
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，多项式乘法
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题关键是准确梳理几何图形折叠前后的边长关系，计算时注意多项式乘法的运算规则，避免系数或符号计算错误。
【难度系数】
0.7
