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9. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.4]=1$，$[-1.2]=-2$，$[-3]=-3$，则方程$2[x]=x^2$的解为（
A.0或$\sqrt{2}$
B.0或2
C.2或$\sqrt{2}$
D.0或$\sqrt{2}$或2
D
）A.0或$\sqrt{2}$
B.0或2
C.2或$\sqrt{2}$
D.0或$\sqrt{2}$或2
答案
9.D
解析
【分析】
首先明确取整函数$[x]$的含义：$[x]$是整数，且满足$[x]≤ x ＜ [x]+1$。观察方程$2[x]=x^2$，右边$x^2$为非负数，因此$[x]$必为非负整数。我们可以设$n=[x]$（$n$为非负整数），将方程转化为$x^2=2n$，再结合$x$与$n$的不等关系求出$n$的可能取值，最后逐一验证即可得到方程的解。
【解析】
根据取整函数的定义可得：$[x]$为整数，且$[x]≤ x ＜ [x]+1$。
由方程$2[x]=x^2$，因为$x^2≥0$，所以$2[x]≥0$，即$[x]≥0$。
设$n=[x]$（$n$为非负整数），则方程可改写为$x^2=2n$，且满足$n≤ x ＜n+1$。
因为$x≥0$（$x≥ [x]=n≥0$），所以$x=\sqrt{2n}$，代入不等式$n≤ \sqrt{2n}＜n+1$，三边均非负，同时平方得：
1. 左边：$n^2≤ 2n$，整理得$n(n-2)≤0$，结合二次函数性质解得$0≤ n≤2$；
2. 右边：$2n＜(n+1)^2$，整理得$n^2+1＞0$，对任意非负整数$n$恒成立。
因此$n$可取0、1、2，分别验证：
当$n=0$时，$x^2=0$，$x=0$，此时$[0]=0$，满足$2×0=0^2$，成立；
当$n=1$时，$x^2=2$，$x=\sqrt{2}$（负根舍去），此时$[\sqrt{2}]=1$，满足$2×1=(\sqrt{2})^2$，成立；
当$n=2$时，$x^2=4$，$x=2$（负根舍去），此时$[2]=2$，满足$2×2=2^2$，成立。
综上，方程的解为$0$、$\sqrt{2}$、$2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算；一元二次不等式求解；整数性质
【点评】
本题重点考查对新定义概念的理解与迁移运用能力，解题核心是抓住取整函数和原数的不等关系，通过设整数参数将方程问题转化为不等式问题求解，求解后注意验证结果是否符合取整函数的定义，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先明确取整函数$[x]$的含义：$[x]$是整数，且满足$[x]≤ x ＜ [x]+1$。观察方程$2[x]=x^2$，右边$x^2$为非负数，因此$[x]$必为非负整数。我们可以设$n=[x]$（$n$为非负整数），将方程转化为$x^2=2n$，再结合$x$与$n$的不等关系求出$n$的可能取值，最后逐一验证即可得到方程的解。
【解析】
根据取整函数的定义可得：$[x]$为整数，且$[x]≤ x ＜ [x]+1$。
由方程$2[x]=x^2$，因为$x^2≥0$，所以$2[x]≥0$，即$[x]≥0$。
设$n=[x]$（$n$为非负整数），则方程可改写为$x^2=2n$，且满足$n≤ x ＜n+1$。
因为$x≥0$（$x≥ [x]=n≥0$），所以$x=\sqrt{2n}$，代入不等式$n≤ \sqrt{2n}＜n+1$，三边均非负，同时平方得：
1. 左边：$n^2≤ 2n$，整理得$n(n-2)≤0$，结合二次函数性质解得$0≤ n≤2$；
2. 右边：$2n＜(n+1)^2$，整理得$n^2+1＞0$，对任意非负整数$n$恒成立。
因此$n$可取0、1、2，分别验证：
当$n=0$时，$x^2=0$，$x=0$，此时$[0]=0$，满足$2×0=0^2$，成立；
当$n=1$时，$x^2=2$，$x=\sqrt{2}$（负根舍去），此时$[\sqrt{2}]=1$，满足$2×1=(\sqrt{2})^2$，成立；
当$n=2$时，$x^2=4$，$x=2$（负根舍去），此时$[2]=2$，满足$2×2=2^2$，成立。
综上，方程的解为$0$、$\sqrt{2}$、$2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算；一元二次不等式求解；整数性质
【点评】
本题重点考查对新定义概念的理解与迁移运用能力，解题核心是抓住取整函数和原数的不等关系，通过设整数参数将方程问题转化为不等式问题求解，求解后注意验证结果是否符合取整函数的定义，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
10. 请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程：
。
$x^2-3x+2=0$（答案不唯一）
。。
答案
10.$x^2-3x+2=0$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），二是能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程有一根为2，说明将$x=2$代入一般式时$4a+2b+c=0$成立。我们可以先任意确定方程的另一个根（比如取1，方便计算），用因式分解的形式写出方程，再整理为一般式即可，也可以直接给$a、b、c$赋值满足$4a+2b+c=0$且$a\ne0$即可，因此答案不唯一。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程根的定义，$x=2$是方程的根，因此构造方程时可先写出含因式$(x-2)$的乘积形式，我们任意选取另一个根为$x=1$，则方程可写为：
$(x-2)(x-1)=0$
步骤2：将上述方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -x -2x +2=0$
合并同类项得：$x^2-3x+2=0$
注：选取的另一个根不同，得到的方程也不同，因此答案不唯一。
【答案】
$x^2-3x+2=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考察对一元二次方程根的概念的理解，只要掌握根的定义，结合一元二次方程的一般形式就能灵活构造出符合要求的方程，解题时优先选择简单的系数或根来降低计算量。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），二是能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程有一根为2，说明将$x=2$代入一般式时$4a+2b+c=0$成立。我们可以先任意确定方程的另一个根（比如取1，方便计算），用因式分解的形式写出方程，再整理为一般式即可，也可以直接给$a、b、c$赋值满足$4a+2b+c=0$且$a\ne0$即可，因此答案不唯一。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程根的定义，$x=2$是方程的根，因此构造方程时可先写出含因式$(x-2)$的乘积形式，我们任意选取另一个根为$x=1$，则方程可写为：
$(x-2)(x-1)=0$
步骤2：将上述方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -x -2x +2=0$
合并同类项得：$x^2-3x+2=0$
注：选取的另一个根不同，得到的方程也不同，因此答案不唯一。
【答案】
$x^2-3x+2=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考察对一元二次方程根的概念的理解，只要掌握根的定义，结合一元二次方程的一般形式就能灵活构造出符合要求的方程，解题时优先选择简单的系数或根来降低计算量。
【难度系数】
0.9
11. 有三个连续偶数，若第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为
6，8，10或-2，0，2
。答案
11.6，8，10或-2，0，2
解析
【分析】
遇到三个连续偶数的问题，首先回忆连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2。我们可以通过设未知数表示这三个数，通常设中间的偶数为x，那么前一个偶数为x-2，第三个偶数为x+2，这种设元方法可以简化后续计算。接下来根据题目给出的等量关系“第三个数的平方等于前两个数的平方和”列出一元二次方程，求解方程后再回代得到三个数即可，注意偶数包括正偶数、负偶数和0，不要漏解。
【解析】
设中间的偶数为$x$，则第一个偶数为$x-2$，第三个偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x+2)^2 = (x-2)^2 + x^2$
展开得：$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4x + 4 + x^2$
移项、合并同类项得：$x^2 - 8x = 0$
因式分解得：$x(x - 8) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 8$
当$x=8$时，三个数为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$；
当$x=0$时，三个数为：$0-2=-2$，$0$，$0+2=2$。
【答案】
6，8，10或-2，0，2
【知识点】
一元二次方程应用，连续数设元，偶数概念
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的核心是正确用未知数表示出三个连续偶数，准确找到等量关系列方程求解，解题时要注意偶数的范围包含负偶数和0，避免遗漏其中一组解。
【难度系数】
0.7
遇到三个连续偶数的问题，首先回忆连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2。我们可以通过设未知数表示这三个数，通常设中间的偶数为x，那么前一个偶数为x-2，第三个偶数为x+2，这种设元方法可以简化后续计算。接下来根据题目给出的等量关系“第三个数的平方等于前两个数的平方和”列出一元二次方程，求解方程后再回代得到三个数即可，注意偶数包括正偶数、负偶数和0，不要漏解。
【解析】
设中间的偶数为$x$，则第一个偶数为$x-2$，第三个偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x+2)^2 = (x-2)^2 + x^2$
展开得：$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 4x + 4 + x^2$
移项、合并同类项得：$x^2 - 8x = 0$
因式分解得：$x(x - 8) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 8$
当$x=8$时，三个数为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$；
当$x=0$时，三个数为：$0-2=-2$，$0$，$0+2=2$。
【答案】
6，8，10或-2，0，2
【知识点】
一元二次方程应用，连续数设元，偶数概念
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的核心是正确用未知数表示出三个连续偶数，准确找到等量关系列方程求解，解题时要注意偶数的范围包含负偶数和0，避免遗漏其中一组解。
【难度系数】
0.7
12. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的一个根是$x=1$，则代数式$2025 - a - b$的值为
2022
.答案
12.2022
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=1代入原方程，求出a+b的数值；再将待求代数式2025-a-b变形为2025-(a+b)，把a+b的值整体代入即可算出结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的根
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 3 = 0$
化简得：$a + b = 3$
对待求式变形可得：
$2025 - a - b = 2025 - (a + b)$
将$a + b=3$代入上式得：
$2025 - 3 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值，整体代入
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题时注意将a+b看作整体代入计算，避免拆分计算浪费时间，同时注意变形时的符号问题。
【难度系数】
0.9
解题时先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=1代入原方程，求出a+b的数值；再将待求代数式2025-a-b变形为2025-(a+b)，把a+b的值整体代入即可算出结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx - 3 = 0$的根
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 3 = 0$
化简得：$a + b = 3$
对待求式变形可得：
$2025 - a - b = 2025 - (a + b)$
将$a + b=3$代入上式得：
$2025 - 3 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值，整体代入
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题时注意将a+b看作整体代入计算，避免拆分计算浪费时间，同时注意变形时的符号问题。
【难度系数】
0.9
13. 实数$a$，$b$，$c$满足$a - b + c = 0$，则$b^2 - 4ac$
$≥$
$0$。答案
13.$≥$
解析
【分析】
看到式子$b^2-4ac$，首先联想到一元二次方程根的判别式，再结合已知条件$a - b + c = 0$，思考这个式子和一元二次方程根的关系：将$x=-1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，刚好得到$a - b + c = 0$，说明$x=-1$是方程的根。同时还要注意分类讨论：当$a=0$时，原式不再是一元二次方程，需单独计算$b^2-4ac$的取值范围，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ 0$时：
把$x=-1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c = 0$，说明$x=-1$是该一元二次方程的一个实数根。
根据一元二次方程根的判别式性质，有实根的一元二次方程判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
2. 当$a = 0$时：
由已知$a - b + c = 0$，代入$a=0$可得$b = c$，此时$b^2 - 4ac = b^2 - 0 = b^2$，根据平方的非负性，$b^2 ≥ 0$。
综上两种情况，可得$b^2 - 4ac ≥ 0$。
【答案】
$≥$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程根的定义 3.平方的非负性
【点评】
本题解题的关键是建立已知等式和判别式之间的关联，同时要注意不要默认$a$不为0，需分类讨论两种情况验证结论，虽然两种情况下结论一致，但分类讨论的思维可以避免解题疏漏。
【难度系数】
0.7
看到式子$b^2-4ac$，首先联想到一元二次方程根的判别式，再结合已知条件$a - b + c = 0$，思考这个式子和一元二次方程根的关系：将$x=-1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，刚好得到$a - b + c = 0$，说明$x=-1$是方程的根。同时还要注意分类讨论：当$a=0$时，原式不再是一元二次方程，需单独计算$b^2-4ac$的取值范围，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ 0$时：
把$x=-1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c = 0$，说明$x=-1$是该一元二次方程的一个实数根。
根据一元二次方程根的判别式性质，有实根的一元二次方程判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
2. 当$a = 0$时：
由已知$a - b + c = 0$，代入$a=0$可得$b = c$，此时$b^2 - 4ac = b^2 - 0 = b^2$，根据平方的非负性，$b^2 ≥ 0$。
综上两种情况，可得$b^2 - 4ac ≥ 0$。
【答案】
$≥$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程根的定义 3.平方的非负性
【点评】
本题解题的关键是建立已知等式和判别式之间的关联，同时要注意不要默认$a$不为0，需分类讨论两种情况验证结论，虽然两种情况下结论一致，但分类讨论的思维可以避免解题疏漏。
【难度系数】
0.7
14. 已知三角形两边长分别是$\frac{1}{2}$和2，第三边的长为$x^2 - 3x + 2 = 0$的根，则这个三角形的周长是
$4\frac{1}{2}$
。答案
14.$4\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时需分两步进行：第一步先求解一元二次方程，得到第三边可能的取值；第二步结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行筛选，排除不能构成三角形的取值，最后将符合条件的三边长相加即可得到周长。要注意方程的根不一定都满足三角形的构成条件，必须验证后再计算。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$：
对左边因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
所以$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，即第三边可能为1或2。
2. 用三角形三边关系筛选取值：
已知三角形两边长为$\frac{1}{2}$和2：
① 若第三边长为1：$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}＜2$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该取值；
② 若第三边长为2：三边长为$\frac{1}{2}$、2、2，验证得$\frac{1}{2}+2＞2$，$2+2＞\frac{1}{2}$，$2-\frac{1}{2}＜2$，$2-2＜\frac{1}{2}$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
周长为$\frac{1}{2}+2+2=4\frac{1}{2}$。
【答案】
$4\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是解出方程的根后直接代入计算周长，忽略三角形三边关系的验证，解题时要注意题目中的隐含条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时需分两步进行：第一步先求解一元二次方程，得到第三边可能的取值；第二步结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行筛选，排除不能构成三角形的取值，最后将符合条件的三边长相加即可得到周长。要注意方程的根不一定都满足三角形的构成条件，必须验证后再计算。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$：
对左边因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
所以$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，即第三边可能为1或2。
2. 用三角形三边关系筛选取值：
已知三角形两边长为$\frac{1}{2}$和2：
① 若第三边长为1：$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}＜2$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该取值；
② 若第三边长为2：三边长为$\frac{1}{2}$、2、2，验证得$\frac{1}{2}+2＞2$，$2+2＞\frac{1}{2}$，$2-\frac{1}{2}＜2$，$2-2＜\frac{1}{2}$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
周长为$\frac{1}{2}+2+2=4\frac{1}{2}$。
【答案】
$4\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是解出方程的根后直接代入计算周长，忽略三角形三边关系的验证，解题时要注意题目中的隐含条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
15. 如果 $ m $，$ n $ 是两个不相等的实数，且满足 $ m^2 - 2m = 1 $，$ n^2 - 2n = 1 $，那么代数式 $ 2m^2 + 4n^2 - 4n + 1999 $ 的值为
2013
。答案
15.2013
解析
【分析】
首先观察已知条件，m和n是不相等的实数，且满足的等式结构完全相同，可判断m、n是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。接下来可以得到两个关键信息：一是根据根的定义，$m^2=2m+1$，$n^2=2n+1$，可用于对所求代数式降次；二是根据根与系数的关系（韦达定理），可直接得到$m+n$的值，无需单独求解m、n，简化计算。最后将降次后的代数式整理为含$m+n$的形式，代入计算即可。
【解析】
由题意可知，$m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m + n = 2$，
根据方程根的定义得：$m^2 = 2m + 1$，$n^2 = 2n + 1$，
将上述关系代入代数式$2m^2 + 4n^2 - 4n + 1999$：
$\begin{aligned}原式&= 2(2m + 1) + 4(2n + 1) - 4n + 1999 \\&= 4m + 2 + 8n + 4 - 4n + 1999 \\&= 4m + 4n + 2005 \\&= 4(m + n) + 2005\end{aligned}$
把$m + n = 2$代入得：
$原式= 4×2 + 2005 = 8 + 2005 = 2013$
【答案】
2013
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式降次化简
【点评】
本题的核心技巧是通过观察等式的相同结构，将两个未知数的问题转化为一元二次方程根的问题，利用降次思想避免求解复杂的根的值，大幅简化了计算过程，是代数式求值类题目的典型解题思路。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，m和n是不相等的实数，且满足的等式结构完全相同，可判断m、n是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。接下来可以得到两个关键信息：一是根据根的定义，$m^2=2m+1$，$n^2=2n+1$，可用于对所求代数式降次；二是根据根与系数的关系（韦达定理），可直接得到$m+n$的值，无需单独求解m、n，简化计算。最后将降次后的代数式整理为含$m+n$的形式，代入计算即可。
【解析】
由题意可知，$m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m + n = 2$，
根据方程根的定义得：$m^2 = 2m + 1$，$n^2 = 2n + 1$，
将上述关系代入代数式$2m^2 + 4n^2 - 4n + 1999$：
$\begin{aligned}原式&= 2(2m + 1) + 4(2n + 1) - 4n + 1999 \\&= 4m + 2 + 8n + 4 - 4n + 1999 \\&= 4m + 4n + 2005 \\&= 4(m + n) + 2005\end{aligned}$
把$m + n = 2$代入得：
$原式= 4×2 + 2005 = 8 + 2005 = 2013$
【答案】
2013
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式降次化简
【点评】
本题的核心技巧是通过观察等式的相同结构，将两个未知数的问题转化为一元二次方程根的问题，利用降次思想避免求解复杂的根的值，大幅简化了计算过程，是代数式求值类题目的典型解题思路。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 解方程.
(1) $x^2 - 6x + 4 = 0$;
(2) $(x - 1)^2 = 3x - 3$;
(3) $(2x + 1)(x - 3) = 0$.
16. 解方程.
(1) $x^2 - 6x + 4 = 0$;
(2) $(x - 1)^2 = 3x - 3$;
(3) $(2x + 1)(x - 3) = 0$.
答案
16. 解：
（1）移项，得 $x^2 - 6x = -4$。配方，得 $x^2 - 6x + 9 = -4 + 9$，$(x - 3)^2 = 5$。
由此可得 $x - 3 = -\sqrt{5}$ 或 $x - 3 = \sqrt{5}$，$x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$。
（2）整理，得 $(x - 1)^2 = 3(x - 1)$，$(x - 1)(x - 1 - 3) = 0$。所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 4 = 0$，$x_1=1$，$x_2=4$。
（3）$2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，即 $x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
（1）移项，得 $x^2 - 6x = -4$。配方，得 $x^2 - 6x + 9 = -4 + 9$，$(x - 3)^2 = 5$。
由此可得 $x - 3 = -\sqrt{5}$ 或 $x - 3 = \sqrt{5}$，$x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$。
（2）整理，得 $(x - 1)^2 = 3(x - 1)$，$(x - 1)(x - 1 - 3) = 0$。所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 4 = 0$，$x_1=1$，$x_2=4$。
（3）$2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，即 $x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：
（1）方程为一元二次方程的一般形式，二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方计算即可。
（2）观察方程左右两侧均含有公因式$(x-1)$，选用因式分解法求解：先将右侧变形为含$(x-1)$的因式形式，移项后提取公因式$(x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令每个因式为0求解，注意不要直接两边除以$(x-1)$，避免漏解。
（3）方程已经是两个一次因式乘积为0的形式，直接令每个因式分别为0，求解对应的一元一次方程即可。
【解析】
（1）移项，得 $x^2 - 6x = -4$。
配方，得 $x^2 - 6x + 9 = -4 + 9$，即 $(x - 3)^2 = 5$。
开方得 $x - 3 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$。
（2）整理方程，得 $(x - 1)^2 = 3(x - 1)$，
移项得 $(x - 1)^2 - 3(x - 1) = 0$，
提取公因式得 $(x - 1)(x - 1 - 3) = 0$，
所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=4$。
（3）由乘积为0的性质可得 $2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
分别解得 $x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【答案】
（1）$x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$；
（2）$x_1=1$，$x_2=4$；
（3）$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征灵活选择简便的解法，计算时注意不要漏解，同时要保证计算的准确性。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程特征选择合适的解法：
（1）方程为一元二次方程的一般形式，二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法求解：先将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方计算即可。
（2）观察方程左右两侧均含有公因式$(x-1)$，选用因式分解法求解：先将右侧变形为含$(x-1)$的因式形式，移项后提取公因式$(x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令每个因式为0求解，注意不要直接两边除以$(x-1)$，避免漏解。
（3）方程已经是两个一次因式乘积为0的形式，直接令每个因式分别为0，求解对应的一元一次方程即可。
【解析】
（1）移项，得 $x^2 - 6x = -4$。
配方，得 $x^2 - 6x + 9 = -4 + 9$，即 $(x - 3)^2 = 5$。
开方得 $x - 3 = \pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$。
（2）整理方程，得 $(x - 1)^2 = 3(x - 1)$，
移项得 $(x - 1)^2 - 3(x - 1) = 0$，
提取公因式得 $(x - 1)(x - 1 - 3) = 0$，
所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=4$。
（3）由乘积为0的性质可得 $2x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
分别解得 $x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【答案】
（1）$x_1=3-\sqrt{5}$，$x_2=3+\sqrt{5}$；
（2）$x_1=1$，$x_2=4$；
（3）$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征灵活选择简便的解法，计算时注意不要漏解，同时要保证计算的准确性。
【难度系数】
0.85
17. 已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 - 2bx + (a - c) = 0$，其中$a$，$b$，$c$分别为$△ ABC$三边的长.
（1）若$x=1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）若$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
（1）若$x=1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）若$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
17. 解：
（1）$△ ABC$ 是等腰三角形。理由如下：因为把 $x=1$ 代入方程 $(a + c)· x^2 - 2bx + (a - c) = 0$，得 $a + c - 2b + a - c = 0$。
所以 $2a = 2b$。所以 $a = b$。所以 $△ ABC$ 的形状是等腰三角形。
（2）因为 $△ ABC$ 是等边三角形，所以 $a = b = c$。因为 $(a + c)x^2 - 2bx + (a - c) = 0$，所以 $(a + a)x^2 - 2ax + a - a = 0$，即 $x^2 - x = 0$，解得 $x_1=0$，$x_2=1$，即这个一元二次方程的根是 $x_1=0$，$x_2=1$。
（1）$△ ABC$ 是等腰三角形。理由如下：因为把 $x=1$ 代入方程 $(a + c)· x^2 - 2bx + (a - c) = 0$，得 $a + c - 2b + a - c = 0$。
所以 $2a = 2b$。所以 $a = b$。所以 $△ ABC$ 的形状是等腰三角形。
（2）因为 $△ ABC$ 是等边三角形，所以 $a = b = c$。因为 $(a + c)x^2 - 2bx + (a - c) = 0$，所以 $(a + a)x^2 - 2ax + a - a = 0$，即 $x^2 - x = 0$，解得 $x_1=0$，$x_2=1$，即这个一元二次方程的根是 $x_1=0$，$x_2=1$。
解析
【分析】
（1）要判断△ABC的形状，首先利用一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，通过化简得到a、b、c的数量关系，再结合三角形边长的性质即可判断三角形形状。
（2）已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，将a=b=c代入原方程，把方程化简为只含未知数x的一元二次方程，再求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=1是方程$(a + c)x^2 - 2bx + (a - c) = 0$的根，
∴将x=1代入方程可得：$a + c - 2b + a - c = 0$，
合并同类项得$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
∵a、b为△ABC的边长，
∴△ABC是等腰三角形。
（2）
∵△ABC是等边三角形，
∴$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程得：$(a + a)x^2 - 2ax + (a - a) = 0$，
化简得$2ax^2 - 2ax = 0$，
∵a是三角形边长，即$a≠0$，方程两边同时除以2a得$x^2 - x = 0$，
因式分解得$x(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$。
【答案】
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）这个一元二次方程的根是$x_1=0$，$x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识结合的基础综合题，解题核心是灵活运用方程根的定义和特殊三角形的性质代入化简，解题时需注意三角形边长不为0的隐含条件，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）要判断△ABC的形状，首先利用一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，通过化简得到a、b、c的数量关系，再结合三角形边长的性质即可判断三角形形状。
（2）已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，将a=b=c代入原方程，把方程化简为只含未知数x的一元二次方程，再求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=1是方程$(a + c)x^2 - 2bx + (a - c) = 0$的根，
∴将x=1代入方程可得：$a + c - 2b + a - c = 0$，
合并同类项得$2a - 2b = 0$，即$a = b$，
∵a、b为△ABC的边长，
∴△ABC是等腰三角形。
（2）
∵△ABC是等边三角形，
∴$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程得：$(a + a)x^2 - 2ax + (a - a) = 0$，
化简得$2ax^2 - 2ax = 0$，
∵a是三角形边长，即$a≠0$，方程两边同时除以2a得$x^2 - x = 0$，
因式分解得$x(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$。
【答案】
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）这个一元二次方程的根是$x_1=0$，$x_2=1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识结合的基础综合题，解题核心是灵活运用方程根的定义和特殊三角形的性质代入化简，解题时需注意三角形边长不为0的隐含条件，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
