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一、选择题
1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（
A.$2x+3=0$
B.$x^2+\frac{1}{x}=2$
C.$x^2-2x+1=0$
D.$xy=1$
1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（
C
）A.$2x+3=0$
B.$x^2+\frac{1}{x}=2$
C.$x^2-2x+1=0$
D.$xy=1$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的核心判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时只需将每个选项依次对照上述条件排查，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。我们对各选项逐一分析：
A选项：$2x+3=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
B选项：$x^2+\frac{1}{x}=2$中含有分式$\frac{1}{x}$，不属于整式方程，不符合要求，排除；
C选项：$x^2-2x+1=0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求；
D选项：$xy=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握一元二次方程的判定要点，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要遗漏对未知数个数、最高次数的判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的核心判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时只需将每个选项依次对照上述条件排查，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。我们对各选项逐一分析：
A选项：$2x+3=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程要求，排除；
B选项：$x^2+\frac{1}{x}=2$中含有分式$\frac{1}{x}$，不属于整式方程，不符合要求，排除；
C选项：$x^2-2x+1=0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求；
D选项：$xy=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握一元二次方程的判定要点，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要遗漏对未知数个数、最高次数的判断。
【难度系数】
0.8
2. 将一元二次方程$2x^2 + 4 = 3x$化为一般形式为 （
A.$2x^2 - 3x + 4 = 0$
B.$2x^2 - 3x - 4 = 0$
C.$2x^2 + 4 - 3x = 0$
D.$2x^2 + 3x + 4 = 0$
A
）A.$2x^2 - 3x + 4 = 0$
B.$2x^2 - 3x - 4 = 0$
C.$2x^2 + 4 - 3x = 0$
D.$2x^2 + 3x + 4 = 0$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的要求：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等式右侧为0，左侧按照x的降幂（二次项、一次项、常数项）顺序排列。解题步骤为：先将原方程中右侧的项全部移到左侧，移项时注意变号，再将左侧的项按x的降幂重新排列，最后对应选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式规定为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），需满足右侧为0、左侧按x的降幂排列。
对原方程$2x^2 + 4 = 3x$进行变形：
1. 移项：将右侧的$3x$移到左侧，移项变号，得$2x^2 + 4 - 3x = 0$；
2. 按x的降幂排列左侧各项：二次项$2x^2$放在首位，接下来是一次项$-3x$，最后是常数项$+4$，整理得$2x^2 - 3x + 4 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两个：一是移项时忘记变号，二是忽略一般形式需要按x的降幂排列的要求误选C，掌握一元二次方程一般形式的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的要求：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），要求等式右侧为0，左侧按照x的降幂（二次项、一次项、常数项）顺序排列。解题步骤为：先将原方程中右侧的项全部移到左侧，移项时注意变号，再将左侧的项按x的降幂重新排列，最后对应选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式规定为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），需满足右侧为0、左侧按x的降幂排列。
对原方程$2x^2 + 4 = 3x$进行变形：
1. 移项：将右侧的$3x$移到左侧，移项变号，得$2x^2 + 4 - 3x = 0$；
2. 按x的降幂排列左侧各项：二次项$2x^2$放在首位，接下来是一次项$-3x$，最后是常数项$+4$，整理得$2x^2 - 3x + 4 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两个：一是移项时忘记变号，二是忽略一般形式需要按x的降幂排列的要求误选C，掌握一元二次方程一般形式的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - x + 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k＞\frac{1}{4}$，且$k≠0$
B.$k＜\frac{1}{4}$，且$k≠0$
C.$k≤\frac{1}{4}$，且$k≠0$
D.$k＜\frac{1}{4}$
C
）A.$k＞\frac{1}{4}$，且$k≠0$
B.$k＜\frac{1}{4}$，且$k≠0$
C.$k≤\frac{1}{4}$，且$k≠0$
D.$k＜\frac{1}{4}$
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心限制条件：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；②方程有实数根，对于一元二次方程而言，有实数根等价于根的判别式$\Delta ≥ 0$。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出不等式，求解不等式后结合$k≠0$的限制，即可得到$k$的取值范围。解题时注意不能遗漏“一元二次方程”对二次项系数的要求，避免错选。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-1$，$c=1$，代入得：
$(-1)^2 - 4× k × 1 ≥ 0$
$1 - 4k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{1}{4}$
综合两个条件，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{4}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含要求，仅通过判别式求解得到错解，解题时需注意结合题目的限定条件全面分析。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心限制条件：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k≠0$；②方程有实数根，对于一元二次方程而言，有实数根等价于根的判别式$\Delta ≥ 0$。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出不等式，求解不等式后结合$k≠0$的限制，即可得到$k$的取值范围。解题时注意不能遗漏“一元二次方程”对二次项系数的要求，避免错选。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-1$，$c=1$，代入得：
$(-1)^2 - 4× k × 1 ≥ 0$
$1 - 4k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{1}{4}$
综合两个条件，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{4}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含要求，仅通过判别式求解得到错解，解题时需注意结合题目的限定条件全面分析。
【难度系数】
0.7
4. 一元二次方程$x^2 + x = 0$的根是（
A.0
B.$-1$
C.$0, -1$
D.$0, 1$
C
）A.0
B.$-1$
C.$0, -1$
D.$0, 1$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是求一元二次方程的根，观察方程左边无常数项，优先选择因式分解法求解，解题思路如下：第一步先对等式左边提取公因式x，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 + x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 1) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别求解得：
$x_1 = 0$，$x_2 = -1$
因此原方程的根为$0, -1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，解题方法不唯一，也可使用公式法、配方法求解，其中因式分解法针对本题形式计算最简便，熟练掌握一元二次方程的各类解法，能根据方程特征选择最优解法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题是求一元二次方程的根，观察方程左边无常数项，优先选择因式分解法求解，解题思路如下：第一步先对等式左边提取公因式x，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 + x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 1) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别求解得：
$x_1 = 0$，$x_2 = -1$
因此原方程的根为$0, -1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，解题方法不唯一，也可使用公式法、配方法求解，其中因式分解法针对本题形式计算最简便，熟练掌握一元二次方程的各类解法，能根据方程特征选择最优解法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 已知$ x_1, x_2 $是方程$ x^2 - 2x -1 =0 $的两个根，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为（
A.$-\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.-2
D
）A.$-\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.-2
答案
5.D
解析
【分析】
首先观察所求代数式是方程两根的倒数和，若直接解方程求根代入计算较为繁琐，因此优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路分为三步：第一步先将所求分式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简，转化为用两根和、两根积表示的形式；第二步根据给定的一元二次方程确定各项系数，代入韦达定理公式求出两根之和与两根之积；第三步将求出的两根和、积代入化简后的代数式计算，即可得到最终结果。
【解析】
首先对所求代数式进行通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中方程为$x^2-2x-1=0$，对应系数$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将上述结果代入化简后的代数式：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、分式化简运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，无需解方程求出具体根的数值，通过对所求代数式变形后直接代入两根和与积即可快速计算，解题时需注意系数的符号，避免符号错误导致运算失误。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式是方程两根的倒数和，若直接解方程求根代入计算较为繁琐，因此优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路分为三步：第一步先将所求分式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简，转化为用两根和、两根积表示的形式；第二步根据给定的一元二次方程确定各项系数，代入韦达定理公式求出两根之和与两根之积；第三步将求出的两根和、积代入化简后的代数式计算，即可得到最终结果。
【解析】
首先对所求代数式进行通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中方程为$x^2-2x-1=0$，对应系数$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$
将上述结果代入化简后的代数式：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、分式化简运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，无需解方程求出具体根的数值，通过对所求代数式变形后直接代入两根和与积即可快速计算，解题时需注意系数的符号，避免符号错误导致运算失误。
【难度系数】
0.8
6. 某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，该校九年级的班级个数为（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
6.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确单循环赛制的计数规则：若有x个参赛主体，每两个主体之间只赛1场，那么每个主体要和其余(x-1)个主体各赛1场，此时计数会把同一场比赛重复计算2次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。我们可以设九年级的班级个数为x，根据总比赛场次为21场列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设该校九年级的班级个数为$x$。
根据单循环赛制总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=21$
整理方程得：
$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-6$
因为班级个数不能为负数，所以舍去$x_2=-6$，即该校九年级班级个数为7。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是方程在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免因重复计数列错方程，同时求解后要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确单循环赛制的计数规则：若有x个参赛主体，每两个主体之间只赛1场，那么每个主体要和其余(x-1)个主体各赛1场，此时计数会把同一场比赛重复计算2次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。我们可以设九年级的班级个数为x，根据总比赛场次为21场列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设该校九年级的班级个数为$x$。
根据单循环赛制总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=21$
整理方程得：
$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-6$
因为班级个数不能为负数，所以舍去$x_2=-6$，即该校九年级班级个数为7。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是方程在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免因重复计数列错方程，同时求解后要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
7. 如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE=AB=3，AD=4，则方程$x^2 +6x -16=0$的正数解是（
A.线段AE的长
B.线段BE的长
C.线段CE的长
D.线段AC的长
C
）A.线段AE的长
B.线段BE的长
C.线段CE的长
D.线段AC的长
答案
7.C
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步先求解一元二次方程，得到它的正数解；第二步利用矩形的性质和勾股定理计算各选项对应线段的长度，将计算结果与方程的正数解对比即可找到对应选项。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 +6x -16=0$因式分解得$(x+8)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-8$，因此方程的正数解为2。
2. 计算矩形相关线段长度：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ABC=90°$，$BC=AD=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
已知$AE=3$，则$CE=AC-AE=5-3=2$，恰好等于方程的正数解。
对比选项，只有线段CE的长符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了矩形性质和勾股定理的应用，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步推导：第一步先求解一元二次方程，得到它的正数解；第二步利用矩形的性质和勾股定理计算各选项对应线段的长度，将计算结果与方程的正数解对比即可找到对应选项。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 +6x -16=0$因式分解得$(x+8)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-8$，因此方程的正数解为2。
2. 计算矩形相关线段长度：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ABC=90°$，$BC=AD=4$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
已知$AE=3$，则$CE=AC-AE=5-3=2$，恰好等于方程的正数解。
对比选项，只有线段CE的长符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了矩形性质和勾股定理的应用，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. 若点（m，n）位于第四象限，则关于x的一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判定
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判定
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心考点：一是第四象限内点的坐标符号特征，二是一元二次方程根的情况与判别式的对应关系。第一步先根据点所在象限确定m、n的正负，第二步代入一元二次方程的判别式公式计算Δ，第三步结合m、n的符号判断Δ的正负，最终根据Δ的符号对应根的情况得出结论。
【解析】
∵点$(m,n)$位于第四象限，
∴横坐标为正、纵坐标为负，即$m＞0$，$n＜0$。
对于一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=n$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1× n = m^2 - 4n$。
∵$m^2≥0$，且$n＜0$，则$-4n＞0$，
∴$m^2 - 4n ＞ 0$，即$\Delta＞0$。
根据判别式的性质：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系的基础知识点和一元二次方程的核心考点结合考查，只要熟练掌握两个基础知识点的内容，按步骤推导即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心考点：一是第四象限内点的坐标符号特征，二是一元二次方程根的情况与判别式的对应关系。第一步先根据点所在象限确定m、n的正负，第二步代入一元二次方程的判别式公式计算Δ，第三步结合m、n的符号判断Δ的正负，最终根据Δ的符号对应根的情况得出结论。
【解析】
∵点$(m,n)$位于第四象限，
∴横坐标为正、纵坐标为负，即$m＞0$，$n＜0$。
对于一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=n$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4×1× n = m^2 - 4n$。
∵$m^2≥0$，且$n＜0$，则$-4n＞0$，
∴$m^2 - 4n ＞ 0$，即$\Delta＞0$。
根据判别式的性质：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系的基础知识点和一元二次方程的核心考点结合考查，只要熟练掌握两个基础知识点的内容，按步骤推导即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
