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若关于$x$的方程$x^2 + mx - 6 = 0$有一个根为2，则另一个根为 （）
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-3$
解析 设方程的另一个根为$α$，
根据根与系数的关系，
得$2α = -6$，
所以$α = -3$。
答案 D
A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-3$
解析 设方程的另一个根为$α$，
根据根与系数的关系，
得$2α = -6$，
所以$α = -3$。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
拿到本题，已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：一是先将已知根x=2代入方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之积的公式计算未知根，第二种方法计算更简便。本题中方程二次项系数为1，常数项为-6，已知一个根为2，直接套用两根之积的公式即可快速求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$α$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + mx - 6 = 0$中，$a=1$，$c=-6$，已知一个根为2，因此可得：
$2·α=\frac{-6}{1}$
即$2α=-6$，解得$α=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，直接利用两根之积的关系求解可省去求参数的步骤，简化计算过程，熟练掌握根与系数的相关公式能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种解题思路：一是先将已知根x=2代入方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之积的公式计算未知根，第二种方法计算更简便。本题中方程二次项系数为1，常数项为-6，已知一个根为2，直接套用两根之积的公式即可快速求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$α$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + mx - 6 = 0$中，$a=1$，$c=-6$，已知一个根为2，因此可得：
$2·α=\frac{-6}{1}$
即$2α=-6$，解得$α=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，直接利用两根之积的关系求解可省去求参数的步骤，简化计算过程，熟练掌握根与系数的相关公式能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
5. 若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则a的值为
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程的根求参数值，解题思路为：根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，求解该方程就能得到a的取值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$\begin{aligned}1^2 -6×1 +a&=0\\1-6+a&=0\\a-5&=0\\a&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的定义的应用，将方程的根代入原方程求参数是这类问题的通用解法，熟练掌握该方法可快速解决同类求参数问题。
【难度系数】
0.9
本题考查利用一元二次方程的根求参数值，解题思路为：根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，求解该方程就能得到a的取值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$\begin{aligned}1^2 -6×1 +a&=0\\1-6+a&=0\\a-5&=0\\a&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的定义的应用，将方程的根代入原方程求参数是这类问题的通用解法，熟练掌握该方法可快速解决同类求参数问题。
【难度系数】
0.9
已知方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，则$(x_1 +1)·(x_2 +1)$的值为.
解析 因为方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，
所以$x_1 +x_2=2$，$x_1x_2=-5$.
所以$(x_1 +1)(x_2 +1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1=-5+2+1=-2$.
答案 -2
解析 因为方程$x^2 -2x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，
所以$x_1 +x_2=2$，$x_1x_2=-5$.
所以$(x_1 +1)(x_2 +1)=x_1x_2 +x_1 +x_2 +1=-5+2+1=-2$.
答案 -2
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
本题要求含一元二次方程两根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路为：①先根据一元二次方程的一般形式确定系数a、b、c，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将待求的代数式$(x_1+1)(x_2+1)$利用多项式乘法法则展开，整理成含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -2x -5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$。
将$(x_1 +1)(x_2 +1)$展开得：
$(x_1 +1)(x_2 +1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 多项式乘法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常见题型，核心考查根与系数关系的灵活应用，通过代数式变形避免求解复杂的根，降低计算量，熟练掌握根与系数的公式和代数式变形技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求含一元二次方程两根的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用根与系数的关系简化计算。解题思路为：①先根据一元二次方程的一般形式确定系数a、b、c，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；②将待求的代数式$(x_1+1)(x_2+1)$利用多项式乘法法则展开，整理成含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；③将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -2x -5=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -5$。
将$(x_1 +1)(x_2 +1)$展开得：
$(x_1 +1)(x_2 +1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 多项式乘法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常见题型，核心考查根与系数关系的灵活应用，通过代数式变形避免求解复杂的根，降低计算量，熟练掌握根与系数的公式和代数式变形技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 若 $ x_1 $，$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 25x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则代数式 $ x_1^2 - 24x_1 + x_2 $ 的值为（
A.26
B.25
C.0
D.−1
A
）A.26
B.25
C.0
D.−1
答案
6. A
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$与$x_1$的等量关系，对所求代数式中的二次项进行降次化简，再结合根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵ $x_1$ 是一元二次方程 $x^2 - 25x - 1 = 0$ 的实数根
∴ 代入方程得 $x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，整理得 $x_1^2 = 25x_1 + 1$
将 $x_1^2 = 25x_1 + 1$ 代入代数式 $x_1^2 - 24x_1 + x_2$ 得：
$\begin{aligned}x_1^2 - 24x_1 + x_2 &= 25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 \\&= x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程 $x^2 - 25x - 1 = 0$，两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
代入得原式 $= 25 + 1 = 26$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理简化计算，避免求解根带来的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将$x_1$代入原方程得到$x_1^2$与$x_1$的等量关系，对所求代数式中的二次项进行降次化简，再结合根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵ $x_1$ 是一元二次方程 $x^2 - 25x - 1 = 0$ 的实数根
∴ 代入方程得 $x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，整理得 $x_1^2 = 25x_1 + 1$
将 $x_1^2 = 25x_1 + 1$ 代入代数式 $x_1^2 - 24x_1 + x_2$ 得：
$\begin{aligned}x_1^2 - 24x_1 + x_2 &= 25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 \\&= x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程 $x^2 - 25x - 1 = 0$，两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
代入得原式 $= 25 + 1 = 26$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理简化计算，避免求解根带来的复杂运算。
【难度系数】
0.7
7. 若一元二次方程 $x(x+2)-3=0$ 的两根之和与两根之积分别为 $m$，$n$，则点 $(m, n)$ 在平面直角坐标系中位于
（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$和两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。解题时要注意韦达定理的符号规则，避免计算出错。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开原方程$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据韦达定理计算$m$和$n$：
一元二次方程两根之和$m=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先将方程化为一般形式再套用韦达定理，计算时要注意符号的准确性，掌握各象限内点的坐标符号特点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$和两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。解题时要注意韦达定理的符号规则，避免计算出错。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开原方程$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
第二步：根据韦达定理计算$m$和$n$：
一元二次方程两根之和$m=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限：
点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横坐标和纵坐标均为负数，符合第三象限的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先将方程化为一般形式再套用韦达定理，计算时要注意符号的准确性，掌握各象限内点的坐标符号特点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
