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18. 取一张长与宽之比为5：2的矩形纸板，剪去四个边长为5 cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200 cm³（纸板的厚度略去不计）.这张长方形纸板的长为多少厘米？
答案
18. 解：设这张矩形纸板的长为 $5x$ cm，则宽为 $2x$ cm。所以剪去四个边长为 5 cm 的小正方形后得到的长方体的长、宽、高分别为 $(5x - 10)$ cm，$(2x - 10)$ cm，5 cm。列方程为 $5(5x - 10)(2x - 10) = 200$。解得 $x_1=6$，$x_2=1$（不符合题意，舍去）。所以 $5x=30$。
所以矩形纸板的长为 30 cm。
所以矩形纸板的长为 30 cm。
解析
【分析】
解题时首先利用矩形长和宽的比例关系设未知数，简化后续计算；接下来分析剪去小正方形后折成无盖长方体的长宽高：小正方形的边长就是长方体的高，原矩形的长和宽分别减去2倍的小正方形边长，就是长方体的长和宽；再根据长方体容积=长×宽×高的公式列一元二次方程，最后求解方程，结合实际意义（长方体的长宽必须为正数）舍去不符合的解，即可得到原纸板的长。
【解析】
解：设这张矩形纸板的长为 $5x$ cm，则宽为 $2x$ cm。
剪去四个边长为5 cm的小正方形后，折成的无盖长方体的长为 $(5x-10)$ cm，宽为 $(2x-10)$ cm，高为5 cm。
根据包装盒容积为$200\ \mathrm{cm}^3$，列方程得：
$5(5x - 10)(2x - 10) = 200$
整理方程：
两边同时除以5得：$(5x-10)(2x-10)=40$
展开并化简得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得 $x_1=6$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$2x-10=-8＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此$x=6$，矩形纸板的长为$5x=5×6=30$ cm。
【答案】
30 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方体容积计算，解一元二次方程
【点评】
本题是方程与几何结合的典型实际应用题，解题关键是准确找到容积的等量关系，正确表示折叠后长方体的长宽高，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形长和宽的比例关系设未知数，简化后续计算；接下来分析剪去小正方形后折成无盖长方体的长宽高：小正方形的边长就是长方体的高，原矩形的长和宽分别减去2倍的小正方形边长，就是长方体的长和宽；再根据长方体容积=长×宽×高的公式列一元二次方程，最后求解方程，结合实际意义（长方体的长宽必须为正数）舍去不符合的解，即可得到原纸板的长。
【解析】
解：设这张矩形纸板的长为 $5x$ cm，则宽为 $2x$ cm。
剪去四个边长为5 cm的小正方形后，折成的无盖长方体的长为 $(5x-10)$ cm，宽为 $(2x-10)$ cm，高为5 cm。
根据包装盒容积为$200\ \mathrm{cm}^3$，列方程得：
$5(5x - 10)(2x - 10) = 200$
整理方程：
两边同时除以5得：$(5x-10)(2x-10)=40$
展开并化简得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得 $x_1=6$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$2x-10=-8＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此$x=6$，矩形纸板的长为$5x=5×6=30$ cm。
【答案】
30 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方体容积计算，解一元二次方程
【点评】
本题是方程与几何结合的典型实际应用题，解题关键是准确找到容积的等量关系，正确表示折叠后长方体的长宽高，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
19. 某公司无人机的数量在2023年底为100架，在2025年底达到144架.
（1）求从2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率；
（2）该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到2026年底公司无人机拥有量不超过150架，预计2026年年底报废的无人机数量是2025年无人机拥有量的$\frac{1}{12}$，求2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
（1）求从2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率；
（2）该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到2026年底公司无人机拥有量不超过150架，预计2026年年底报废的无人机数量是2025年无人机拥有量的$\frac{1}{12}$，求2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
答案
19. 解：
（1）设年平均增长率为 $x$，$100(1+x)^2 = 144$。解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（舍去）。所以年平均增长率为 $20\%$。
（2）设 2025 年底至 2026 年底该公司无人机数量的年增长率为 $y$。根据题意得 $144(1+y) - 144×\frac{1}{12} ≤ 150$。解得 $y ≤ 0.125=12.5\%$。所以 2025 年底至 2026 年底该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过 $12.5\%$ 的范围才能达到要求。
（1）设年平均增长率为 $x$，$100(1+x)^2 = 144$。解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（舍去）。所以年平均增长率为 $20\%$。
（2）设 2025 年底至 2026 年底该公司无人机数量的年增长率为 $y$。根据题意得 $144(1+y) - 144×\frac{1}{12} ≤ 150$。解得 $y ≤ 0.125=12.5\%$。所以 2025 年底至 2026 年底该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过 $12.5\%$ 的范围才能达到要求。
解析
【分析】
（1）本题属于平均增长率问题，已知2023年底无人机初始数量为100架，经过2年增长到2025年底的144架，可根据连续增长率公式：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数=最终量，列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）第二问需先明确2026年底无人机的数量计算方式：2025年底数量增长后的总量减去报废的数量，报废量为2025年底数量的$\frac{1}{12}$，再根据“不超过150架”的限制列一元一次不等式，求解即可得到增长率的控制范围。
【解析】
（1）设从2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率为$x$，根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同时除以100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-2.2$。
（2）设2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率为$y$，2026年报废的无人机数量为$144×\frac{1}{12}=12$架，根据2026年底总量不超过150架列不等式：
$144(1+y) - 12 ≤ 150$
化简得：$144(1+y) ≤ 162$
两边同时除以144得：$1+y ≤ 1.125$
解得：$y ≤ 0.125=12.5\%$
【答案】
（1）年平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
（2）2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过$\boldsymbol{12.5\%}$的范围才能达到要求。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的应用
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际生活中的增长率类应用题，分别运用一元二次方程和一元一次不等式求解，解题核心是准确梳理不同时间点的数量关系，同时注意结合实际意义筛选符合要求的解，是一类非常典型的代数应用题型。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于平均增长率问题，已知2023年底无人机初始数量为100架，经过2年增长到2025年底的144架，可根据连续增长率公式：初始量×(1+年平均增长率)^增长年数=最终量，列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）第二问需先明确2026年底无人机的数量计算方式：2025年底数量增长后的总量减去报废的数量，报废量为2025年底数量的$\frac{1}{12}$，再根据“不超过150架”的限制列一元一次不等式，求解即可得到增长率的控制范围。
【解析】
（1）设从2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率为$x$，根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同时除以100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-2.2$。
（2）设2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率为$y$，2026年报废的无人机数量为$144×\frac{1}{12}=12$架，根据2026年底总量不超过150架列不等式：
$144(1+y) - 12 ≤ 150$
化简得：$144(1+y) ≤ 162$
两边同时除以144得：$1+y ≤ 1.125$
解得：$y ≤ 0.125=12.5\%$
【答案】
（1）年平均增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
（2）2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过$\boldsymbol{12.5\%}$的范围才能达到要求。
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的应用
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题是实际生活中的增长率类应用题，分别运用一元二次方程和一元一次不等式求解，解题核心是准确梳理不同时间点的数量关系，同时注意结合实际意义筛选符合要求的解，是一类非常典型的代数应用题型。
【难度系数】
0.7
