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20. 某人工智能科技体验馆的团体票收费标准为：如果人数不超过10人，那么人均费用为240元；如果人数超过10人，那么每增加1人，人均费用降低5元；人均费用不得低于170元.
（1）若有14人参加，则人均费用是
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数.
（1）若有14人参加，则人均费用是
220
元；（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数.
答案
20. 解：
（1）220
（2）设参加活动的学生人数为 $x$ 人。由题意得 $x[240 - 5(x - 10)] = 3600$。整理得 $x^2 - 58x + 720 = 0$，解得 $x_1=18$，$x_2=40$。
当 $x_1=18$ 时，$240 - 5×(18 - 10) = 200 ＞ 170$，符合题意；当 $x_2=40$ 时，$240 - 5×(40 - 10) = 90 ＜ 170$，不符合题意，舍去。
所以参加活动的学生人数为 18 人。
（1）220
（2）设参加活动的学生人数为 $x$ 人。由题意得 $x[240 - 5(x - 10)] = 3600$。整理得 $x^2 - 58x + 720 = 0$，解得 $x_1=18$，$x_2=40$。
当 $x_1=18$ 时，$240 - 5×(18 - 10) = 200 ＞ 170$，符合题意；当 $x_2=40$ 时，$240 - 5×(40 - 10) = 90 ＜ 170$，不符合题意，舍去。
所以参加活动的学生人数为 18 人。
解析
【分析】
（1）首先判断人数是否符合超出10人的收费规则，14人大于10人，先计算超出10人的人数，再求出人均降低的总费用，用原人均费用减去降低的费用即可得到结果。
（2）首先判断人数范围：若人数不超过10人，总费用最多为$10×240=2400$元，小于3600元，因此人数必然超过10人。设人数为$x$，用含$x$的代数式表示人均费用，根据“总费用=人数×人均费用”列一元二次方程，求解后需检验人均费用是否满足“不低于170元”的限制，舍去不符合条件的解即可得到最终人数。
【解析】
（1）$\because 14＞10$，超出10人的人数为$14-10=4$人
$\therefore$人均费用降低金额为$4×5=20$元
$\therefore$人均费用为$240-20=220$元
（2）解：设参加活动的学生人数为$x$人
若$x≤10$，总费用最多为$10×240=2400$元$＜3600$元，因此$x＞10$
根据题意列方程：
$x[240 - 5(x - 10)] = 3600$
整理得：$x^2 - 58x + 720 = 0$
解得：$x_1=18$，$x_2=40$
检验：
当$x=18$时，人均费用为$240 - 5×(18-10)=200$元，$200＞170$，符合题意；
当$x=40$时，人均费用为$240 - 5×(40-10)=90$元，$90＜170$，不符合题意，舍去。
【答案】
（1）$\boxed{220}$
（2）$\boxed{18}$人
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题；方程解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查分段收费类的方程应用问题，解题的关键是先根据总费用确定人数所属的收费区间，列方程求解后要注意结合题目给出的限制条件对解进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）首先判断人数是否符合超出10人的收费规则，14人大于10人，先计算超出10人的人数，再求出人均降低的总费用，用原人均费用减去降低的费用即可得到结果。
（2）首先判断人数范围：若人数不超过10人，总费用最多为$10×240=2400$元，小于3600元，因此人数必然超过10人。设人数为$x$，用含$x$的代数式表示人均费用，根据“总费用=人数×人均费用”列一元二次方程，求解后需检验人均费用是否满足“不低于170元”的限制，舍去不符合条件的解即可得到最终人数。
【解析】
（1）$\because 14＞10$，超出10人的人数为$14-10=4$人
$\therefore$人均费用降低金额为$4×5=20$元
$\therefore$人均费用为$240-20=220$元
（2）解：设参加活动的学生人数为$x$人
若$x≤10$，总费用最多为$10×240=2400$元$＜3600$元，因此$x＞10$
根据题意列方程：
$x[240 - 5(x - 10)] = 3600$
整理得：$x^2 - 58x + 720 = 0$
解得：$x_1=18$，$x_2=40$
检验：
当$x=18$时，人均费用为$240 - 5×(18-10)=200$元，$200＞170$，符合题意；
当$x=40$时，人均费用为$240 - 5×(40-10)=90$元，$90＜170$，不符合题意，舍去。
【答案】
（1）$\boxed{220}$
（2）$\boxed{18}$人
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题；方程解的检验
【点评】
本题结合生活场景考查分段收费类的方程应用问题，解题的关键是先根据总费用确定人数所属的收费区间，列方程求解后要注意结合题目给出的限制条件对解进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
21. 阅读下面的材料.
以 $x^2 + 10x = 39$ 为例，一种几何解法步骤如下.
Ⅰ. 如图①，在边长为 $x$ 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 $x$ 和 5 的矩形，再补上一个边长为 5 的小正方形，最终把图形补成一个大正方形.
Ⅱ. 一方面大正方形的面积为 $(x+A)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和. 因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+B)^2 = 39 + C$. 所以方程的正数解是 $x = D$.
（1）补全上面材料中的解法步骤Ⅱ；
（2）根据上面材料中的解法，在图②和图③中，能够得到方程 $x^2 -6x =7$ 的正数解的正确构图是
以 $x^2 + 10x = 39$ 为例，一种几何解法步骤如下.
Ⅰ. 如图①，在边长为 $x$ 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 $x$ 和 5 的矩形，再补上一个边长为 5 的小正方形，最终把图形补成一个大正方形.
Ⅱ. 一方面大正方形的面积为 $(x+A)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和. 因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+B)^2 = 39 + C$. 所以方程的正数解是 $x = D$.
（1）补全上面材料中的解法步骤Ⅱ；
（2）根据上面材料中的解法，在图②和图③中，能够得到方程 $x^2 -6x =7$ 的正数解的正确构图是
②
（填序号）.答案
21. 解：
（1）一方面大正方形的面积为 $(x+5)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和。因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+5)^2 = 39 + 25$。所以方程的正数解是 $x=3$。
（2）②
（1）一方面大正方形的面积为 $(x+5)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和。因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+5)^2 = 39 + 25$。所以方程的正数解是 $x=3$。
（2）②
解析
【分析】
（1）第一问结合几何图形理解配方法的推导思路：观察图①，补成的大正方形边长为小正方形边长$x$加上矩形的短边5，因此大正方形面积可表示为$(x+5)^2$；大正方形面积也等于原阴影部分面积$x^2+10x$加上补上的边长为5的小正方形面积$5^2=25$，结合已知$x^2+10x=39$代入即可列方程，开方取正数解就能得到$x$的值。
（2）第二问判断符合$x^2-6x=7$的构图：先对方程配方，$x^2-6x$是$x^2$减去$2×3× x$，对应几何意义是从边长为$x$的正方形中去掉两个长为$x$、宽为3的矩形，此时多减去了边长为3的重叠小正方形，最终剩余面积为7，对应配方形式为$(x-3)^2=7+9$，对比两个图形即可选出正确构图。
【解析】
（1）由图①可知，补成的大正方形边长为$x+5$，因此大正方形面积为$(x+5)^2$，即$A=5$，$B=5$；
补上的小正方形面积为$5^2=25$，因此大正方形面积也可表示为$x^2+10x+25$，结合$x^2+10x=39$，可得方程$(x+5)^2=39+25$，即$C=25$；
化简得$(x+5)^2=64$，因为$x$为正数，所以$x+5=8$，解得$x=3$，即$D=3$。
（2）对于方程$x^2-6x=7$，配方可得$(x-3)^2=7+9$，其几何意义为边长为$x$的正方形减去两个长为$x$、宽为3的矩形后，补回多减的边长为3的小正方形，得到边长为$x-3$的正方形，面积为16。观察图形：
图③是边长为$x+3$的正方形，对应$x^2+6x$的配方场景，不符合要求；
图②符合$x^2-6x$的几何构图，因此选②。
【答案】
（1）补全步骤：一方面大正方形的面积为 $(x+5)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和。因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+5)^2 = 39 + 25$。所以方程的正数解是 $x=3$。
（2）$\boxed{②}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式的几何意义
【点评】
本题将代数的配方法与几何的面积计算结合，通过直观的图形帮助理解配方法的本质，既考查了一元二次方程的解法，也考查了数形结合的思想，掌握配方法的基本步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）第一问结合几何图形理解配方法的推导思路：观察图①，补成的大正方形边长为小正方形边长$x$加上矩形的短边5，因此大正方形面积可表示为$(x+5)^2$；大正方形面积也等于原阴影部分面积$x^2+10x$加上补上的边长为5的小正方形面积$5^2=25$，结合已知$x^2+10x=39$代入即可列方程，开方取正数解就能得到$x$的值。
（2）第二问判断符合$x^2-6x=7$的构图：先对方程配方，$x^2-6x$是$x^2$减去$2×3× x$，对应几何意义是从边长为$x$的正方形中去掉两个长为$x$、宽为3的矩形，此时多减去了边长为3的重叠小正方形，最终剩余面积为7，对应配方形式为$(x-3)^2=7+9$，对比两个图形即可选出正确构图。
【解析】
（1）由图①可知，补成的大正方形边长为$x+5$，因此大正方形面积为$(x+5)^2$，即$A=5$，$B=5$；
补上的小正方形面积为$5^2=25$，因此大正方形面积也可表示为$x^2+10x+25$，结合$x^2+10x=39$，可得方程$(x+5)^2=39+25$，即$C=25$；
化简得$(x+5)^2=64$，因为$x$为正数，所以$x+5=8$，解得$x=3$，即$D=3$。
（2）对于方程$x^2-6x=7$，配方可得$(x-3)^2=7+9$，其几何意义为边长为$x$的正方形减去两个长为$x$、宽为3的矩形后，补回多减的边长为3的小正方形，得到边长为$x-3$的正方形，面积为16。观察图形：
图③是边长为$x+3$的正方形，对应$x^2+6x$的配方场景，不符合要求；
图②符合$x^2-6x$的几何构图，因此选②。
【答案】
（1）补全步骤：一方面大正方形的面积为 $(x+5)^2$，另一方面它又等于图中各部分面积之和。因为 $x^2 + 10x = 39$，所以可得方程 $(x+5)^2 = 39 + 25$。所以方程的正数解是 $x=3$。
（2）$\boxed{②}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式的几何意义
【点评】
本题将代数的配方法与几何的面积计算结合，通过直观的图形帮助理解配方法的本质，既考查了一元二次方程的解法，也考查了数形结合的思想，掌握配方法的基本步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
