登录
在$\odot O$中，如果$75°$的圆心角所对的弧长是$2.5π \ \mathrm{cm}$，那么$\odot O$的半径是 （
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
A
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
A
解析
【分析】
本题要求圆的半径，已知圆心角和对应弧长，解题核心是运用弧长公式。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确公式中各量的含义，再将已知条件代入公式，通过变形求解即可得到半径的值，计算时可先约掉π简化运算。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径。
已知$n=75°$，$l=2.5π \ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$2.5π=\frac{75π r}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简求解：
$75r=2.5×180$
$75r=450$
$r=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对弧长公式的掌握和应用，解题时注意先消去公式中的$π$可简化计算，降低出错概率，只要准确记忆公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题要求圆的半径，已知圆心角和对应弧长，解题核心是运用弧长公式。首先回忆弧长与圆心角、半径的关系公式，明确公式中各量的含义，再将已知条件代入公式，通过变形求解即可得到半径的值，计算时可先约掉π简化运算。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径。
已知$n=75°$，$l=2.5π \ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$2.5π=\frac{75π r}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$2.5=\frac{75r}{180}$
化简求解：
$75r=2.5×180$
$75r=450$
$r=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对弧长公式的掌握和应用，解题时注意先消去公式中的$π$可简化计算，降低出错概率，只要准确记忆公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
探究2：下列各图中圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
答案
图1：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$ 图2：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
解析
【分析】
解题时首先明确：整个圆周对应的圆心角是360°，圆心角所对的弧长占圆周长的比例，等于该圆心角的度数占360°的比值。我们只需要找出每个图中圆心角的度数，用该度数除以360°，再约分化简即可得到结果。对于圆心角为n°的通用情况，直接代入上述关系推导即可。
【解析】
解：
∵ 圆的周长对应圆心角为360°的圆周的长度，
∴ 圆心角所对弧长占圆周长的比例 = $\frac{圆心角度数}{360°}$。
1. 图1圆心角为180°，占比为：$\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$；
2. 图2圆心角为90°，占比为：$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$；
3. 图3圆心角为45°，占比为：$\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}$；
4. 图4圆心角为n°，占比为：$\frac{n°}{360°}=\frac{n}{360}$。
【答案】
图1：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$ 图2：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
【知识点】
弧长与圆心角的关系、分数化简
【点评】
本题是弧长相关的基础概念题，核心考查圆心角度数和对应弧长占圆周长比例的对应关系，理解该关系是推导弧长、扇形面积公式的基础，解题时只需找准圆心角度数代入计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：整个圆周对应的圆心角是360°，圆心角所对的弧长占圆周长的比例，等于该圆心角的度数占360°的比值。我们只需要找出每个图中圆心角的度数，用该度数除以360°，再约分化简即可得到结果。对于圆心角为n°的通用情况，直接代入上述关系推导即可。
【解析】
解：
∵ 圆的周长对应圆心角为360°的圆周的长度，
∴ 圆心角所对弧长占圆周长的比例 = $\frac{圆心角度数}{360°}$。
1. 图1圆心角为180°，占比为：$\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$；
2. 图2圆心角为90°，占比为：$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$；
3. 图3圆心角为45°，占比为：$\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}$；
4. 图4圆心角为n°，占比为：$\frac{n°}{360°}=\frac{n}{360}$。
【答案】
图1：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$ 图2：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
【知识点】
弧长与圆心角的关系、分数化简
【点评】
本题是弧长相关的基础概念题，核心考查圆心角度数和对应弧长占圆周长比例的对应关系，理解该关系是推导弧长、扇形面积公式的基础，解题时只需找准圆心角度数代入计算即可。
【难度系数】
0.9
新知生成：在半径为$R$的圆中，因为$360°$的圆心角所对的弧长就是圆周长$C=$
$2π R$
，所以$1°$的圆心角所对的弧长是$\frac{2π R}{360}$
，即$\frac{π R}{180}$
.于是，$n°$的圆心角所对的弧长为$l=$$\frac{nπ R}{180}$
.答案
$2π R$；$\frac{2π R}{360}$；$\frac{π R}{180}$；$\frac{nπ R}{180}$
解析
【分析】
这道题是弧长公式的推导题，我们可以从熟悉的圆周长知识入手思考：首先，整个圆对应的圆心角为360°，360°圆心角所对的弧长就是圆的周长，因此先写出圆周长公式；接下来求1°圆心角对应的弧长，相当于把圆周长平均分成360份，取其中1份，用周长除以360后再化简得到最简形式；最后求n°圆心角对应的弧长，就是n个1°对应的弧长，用1°的弧长乘n即可得到通用的弧长公式。
【解析】
1. 360°的圆心角所对的弧长是圆的周长，根据圆周长公式可得$C=2πR$，因此第一个空填$2πR$；
2. 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的$\frac{1}{360}$，即$\frac{2πR}{360}$，因此第二个空填$\frac{2πR}{360}$；
3. 对$\frac{2πR}{360}$进行约分，分子分母同时除以2，可得$\frac{πR}{180}$，因此第三个空填$\frac{πR}{180}$；
4. $n°$的圆心角所对的弧长是1°圆心角所对弧长的$n$倍，因此弧长$l=n×\frac{πR}{180}=\frac{nπR}{180}$，第四个空填$\frac{nπR}{180}$。
【答案】
$2π R$；$\frac{2π R}{360}$；$\frac{π R}{180}$；$\frac{nπ R}{180}$
【知识点】
圆的周长计算；弧长公式
【点评】
本题是基础概念推导类题目，重点考查弧长公式的生成逻辑，理解弧长与圆心角的比例关系，有助于更牢固地掌握弧长公式，为后续扇形面积等相关几何计算打基础。
【难度系数】
0.9
这道题是弧长公式的推导题，我们可以从熟悉的圆周长知识入手思考：首先，整个圆对应的圆心角为360°，360°圆心角所对的弧长就是圆的周长，因此先写出圆周长公式；接下来求1°圆心角对应的弧长，相当于把圆周长平均分成360份，取其中1份，用周长除以360后再化简得到最简形式；最后求n°圆心角对应的弧长，就是n个1°对应的弧长，用1°的弧长乘n即可得到通用的弧长公式。
【解析】
1. 360°的圆心角所对的弧长是圆的周长，根据圆周长公式可得$C=2πR$，因此第一个空填$2πR$；
2. 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的$\frac{1}{360}$，即$\frac{2πR}{360}$，因此第二个空填$\frac{2πR}{360}$；
3. 对$\frac{2πR}{360}$进行约分，分子分母同时除以2，可得$\frac{πR}{180}$，因此第三个空填$\frac{πR}{180}$；
4. $n°$的圆心角所对的弧长是1°圆心角所对弧长的$n$倍，因此弧长$l=n×\frac{πR}{180}=\frac{nπR}{180}$，第四个空填$\frac{nπR}{180}$。
【答案】
$2π R$；$\frac{2π R}{360}$；$\frac{π R}{180}$；$\frac{nπ R}{180}$
【知识点】
圆的周长计算；弧长公式
【点评】
本题是基础概念推导类题目，重点考查弧长公式的生成逻辑，理解弧长与圆心角的比例关系，有助于更牢固地掌握弧长公式，为后续扇形面积等相关几何计算打基础。
【难度系数】
0.9
实践应用：小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角$∠ AOB=90°$，测得$\overset{\frown}{ACB}$的长为36 cm，则$\overset{\frown}{ADB}$的长为
12
cm. 答案
12
解析
【分析】
要解决这道题，我们可先明确两段弧对应的圆心角度数，再结合弧长相关知识求解。首先已知圆心角$∠ AOB=90°$，因此优弧$\overset{\frown}{ACB}$对应的圆心角为$360°-90°=270°$，劣弧$\overset{\frown}{ADB}$对应的圆心角就是$90°$。同圆中弧长和对应的圆心角成正比，我们既可以先通过已知的优弧长度求出半径，再代入劣弧的弧长公式计算，也可以直接通过两段弧的圆心角比例快速求出劣弧长度。
【解析】
解法1：利用弧长公式计算
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为圆的半径）：
优弧$\overset{\frown}{ACB}$对应的圆心角$n_1=270°$，弧长$l_1=36\mathrm{cm}$，代入公式得：
$36=\frac{270π r}{180}$，化简得$36=\frac{3π r}{2}$，解得$π r=24$。
劣弧$\overset{\frown}{ADB}$对应的圆心角$n_2=90°$，代入弧长公式得：
$l_2=\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}=\frac{24}{2}=12\mathrm{cm}$。
解法2：利用同圆弧长与圆心角的比例关系计算
同圆中，弧长之比等于对应圆心角之比，$\overset{\frown}{ACB}$与$\overset{\frown}{ADB}$的圆心角比为$270°:90°=3:1$，因此二者弧长比也为$3:1$。
则$\overset{\frown}{ADB}$的长为$36÷3=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
弧长计算；圆心角与弧长的关系
【点评】
本题是弧长相关知识的基础应用，解题的核心是准确找到两段弧对应的圆心角，既可以直接用弧长公式计算，也可以利用比例关系简化计算，掌握弧长和圆心角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可先明确两段弧对应的圆心角度数，再结合弧长相关知识求解。首先已知圆心角$∠ AOB=90°$，因此优弧$\overset{\frown}{ACB}$对应的圆心角为$360°-90°=270°$，劣弧$\overset{\frown}{ADB}$对应的圆心角就是$90°$。同圆中弧长和对应的圆心角成正比，我们既可以先通过已知的优弧长度求出半径，再代入劣弧的弧长公式计算，也可以直接通过两段弧的圆心角比例快速求出劣弧长度。
【解析】
解法1：利用弧长公式计算
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为圆的半径）：
优弧$\overset{\frown}{ACB}$对应的圆心角$n_1=270°$，弧长$l_1=36\mathrm{cm}$，代入公式得：
$36=\frac{270π r}{180}$，化简得$36=\frac{3π r}{2}$，解得$π r=24$。
劣弧$\overset{\frown}{ADB}$对应的圆心角$n_2=90°$，代入弧长公式得：
$l_2=\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}=\frac{24}{2}=12\mathrm{cm}$。
解法2：利用同圆弧长与圆心角的比例关系计算
同圆中，弧长之比等于对应圆心角之比，$\overset{\frown}{ACB}$与$\overset{\frown}{ADB}$的圆心角比为$270°:90°=3:1$，因此二者弧长比也为$3:1$。
则$\overset{\frown}{ADB}$的长为$36÷3=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
弧长计算；圆心角与弧长的关系
【点评】
本题是弧长相关知识的基础应用，解题的核心是准确找到两段弧对应的圆心角，既可以直接用弧长公式计算，也可以利用比例关系简化计算，掌握弧长和圆心角的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
回顾之前所学知识，思考并完成下列探究.
探究1：什么是扇形？
探究2：半径为R的圆，面积是多少？
探究1：什么是扇形？
探究2：半径为R的圆，面积是多少？
答案
探究1：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
探究2：$S=π R^2$
探究2：$S=π R^2$
解析
【分析】
这两个探究属于基础概念与基础公式的回顾类题目，是学习弧长、扇形面积的前置铺垫。对于探究1，我们可以结合圆的构成要素梳理扇形的组成：扇形是圆的一部分，需要同时包含两条过圆心的半径，以及两条半径之间的圆心角所对应的弧，三者共同围成的封闭图形就是扇形。对于探究2，直接回忆之前学过的圆的面积计算公式即可，圆的面积由半径决定，和半径的平方成正比。
【解析】
探究1：扇形是圆的一部分，构成要素为同一个圆中组成某个圆心角的两条半径，以及该圆心角所对的弧，由这两部分围成的封闭图形就是扇形。
探究2：圆的面积与半径的平方成正比例，比例系数为圆周率π，因此半径为R的圆的面积为圆周率乘半径的平方。
【答案】
探究1：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。
探究2：$S=π R^2$
【知识点】
1. 扇形的定义
2. 圆的面积公式
【点评】
本题是后续学习弧长、扇形面积相关计算的基础，熟练掌握扇形的概念和圆的面积公式，能为后续推导扇形面积、弧长公式以及解决相关应用问题做好铺垫，属于必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
这两个探究属于基础概念与基础公式的回顾类题目，是学习弧长、扇形面积的前置铺垫。对于探究1，我们可以结合圆的构成要素梳理扇形的组成：扇形是圆的一部分，需要同时包含两条过圆心的半径，以及两条半径之间的圆心角所对应的弧，三者共同围成的封闭图形就是扇形。对于探究2，直接回忆之前学过的圆的面积计算公式即可，圆的面积由半径决定，和半径的平方成正比。
【解析】
探究1：扇形是圆的一部分，构成要素为同一个圆中组成某个圆心角的两条半径，以及该圆心角所对的弧，由这两部分围成的封闭图形就是扇形。
探究2：圆的面积与半径的平方成正比例，比例系数为圆周率π，因此半径为R的圆的面积为圆周率乘半径的平方。
【答案】
探究1：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。
探究2：$S=π R^2$
【知识点】
1. 扇形的定义
2. 圆的面积公式
【点评】
本题是后续学习弧长、扇形面积相关计算的基础，熟练掌握扇形的概念和圆的面积公式，能为后续推导扇形面积、弧长公式以及解决相关应用问题做好铺垫，属于必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
探究3: 下列各图中扇形面积分别是圆面积的几分之几?
新知生成: 在半径为 R 的圆中, 因为圆心角为 360° 的扇形的面积就是圆面积 S=
实践应用: 如图, AB 为⊙O 的直径, 射线 AD 交⊙O 于点 F, C 是⊙O 上一点, 且点 C 与射线 AD 均位于直径 AB 同侧, 连接 AC, 若∠BAC=∠FAC, AF=2, AB=4, 则阴影部分的面积为
新知生成: 在半径为 R 的圆中, 因为圆心角为 360° 的扇形的面积就是圆面积 S=
$π R^2$
, 所以圆心角为 1°的扇形面积是$\frac{π R^2}{360}$
. 于是, 圆心角为 n°的扇形面积是 S扇形=$\frac{nπ R^2}{360}$
, 也可用弧长 l 表示为 S扇形=$\frac{1}{2}lR$
.实践应用: 如图, AB 为⊙O 的直径, 射线 AD 交⊙O 于点 F, C 是⊙O 上一点, 且点 C 与射线 AD 均位于直径 AB 同侧, 连接 AC, 若∠BAC=∠FAC, AF=2, AB=4, 则阴影部分的面积为
$\frac{2}{3}π$
. (结果保留 π) 答案
探究3：图1：$\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$ 图2：$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
$π R^2$；$\frac{π R^2}{360}$；$\frac{nπ R^2}{360}$；$\frac{1}{2}lR$；$\frac{2}{3}π$
图3：$\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ 图4：$\frac{n}{360}$
$π R^2$；$\frac{π R^2}{360}$；$\frac{nπ R^2}{360}$；$\frac{1}{2}lR$；$\frac{2}{3}π$
解析
【分析】
新知生成部分思路
扇形面积和圆心角占周角的比例相关，整个圆的圆心角是360°，对应面积就是圆的面积，因此可以通过比例推导不同圆心角对应的扇形面积：首先明确360°圆心角对应圆面积，再推导1°圆心角对应的扇形面积，进一步推导n°圆心角的扇形面积；最后结合弧长公式，就能得到用弧长表示的扇形面积公式。
实践应用部分思路
阴影部分是不规则图形，需转化为规则图形面积计算：首先连接辅助线OF、OC，先根据AB为直径、AF长度等于半径，判定△OAF为等边三角形，得到∠FAB的度数；再结合角平分线条件得到∠BAC的度数，利用圆周角定理算出对应圆心角的度数；接着通过角度关系证明AF//OC，得到△AFC和△OFC同底等高、面积相等，即可将阴影面积转化为扇形FOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
新知生成
圆心角为360°的扇形就是完整的圆，因此面积$S=πR^2$；
圆心角为1°的扇形面积是圆面积的$\frac{1}{360}$，即$\frac{πR^2}{360}$；
圆心角为$n°$的扇形面积是1°扇形面积的$n$倍，即$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$；
结合弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入扇形面积公式可得$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$。
实践应用
解：连接$OF$、$OC$。
1. 求半径及判定等边三角形
∵$AB$是$⊙O$的直径，$AB=4$，
∴$OA=OF=OC=2$，
又
∵$AF=2$，
∴$OA=OF=AF$，即$△ OAF$是等边三角形，
∴$∠ OAF=∠ AOF=60°$。
2. 计算圆心角度数
∵$∠ BAC=∠ FAC$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ OAF=30°$，
根据圆周角定理，弧$BC$对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=60°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=120°$，
∴$∠ FOC=∠ AOC-∠ AOF=120°-60°=60°$。
3. 转化阴影面积
∵$∠ OAF+∠ AOC=60°+120°=180°$，
∴$AF// OC$，
则$△ AFC$和$△ OFC$同底$FC$、高相等，故$S_{△ AFC}=S_{△ OFC}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ AFC}+S_{弓形FC}=S_{△ OFC}+S_{弓形FC}=S_{扇形FOC}$。
4. 计算扇形面积
$S_{扇形FOC}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$πR^2$；$\frac{πR^2}{360}$；$\frac{nπR^2}{360}$；$\frac{1}{2}lR$；$\frac{2}{3}π$
【知识点】
扇形面积计算，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题既考查扇形面积公式的推导逻辑，也考查不规则图形面积的计算方法，核心是通过构造辅助线、利用平行线同底等高的性质，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，需要学生熟练掌握圆相关的基础性质，具备一定的图形转化思维。
【难度系数】
0.6
新知生成部分思路
扇形面积和圆心角占周角的比例相关，整个圆的圆心角是360°，对应面积就是圆的面积，因此可以通过比例推导不同圆心角对应的扇形面积：首先明确360°圆心角对应圆面积，再推导1°圆心角对应的扇形面积，进一步推导n°圆心角的扇形面积；最后结合弧长公式，就能得到用弧长表示的扇形面积公式。
实践应用部分思路
阴影部分是不规则图形，需转化为规则图形面积计算：首先连接辅助线OF、OC，先根据AB为直径、AF长度等于半径，判定△OAF为等边三角形，得到∠FAB的度数；再结合角平分线条件得到∠BAC的度数，利用圆周角定理算出对应圆心角的度数；接着通过角度关系证明AF//OC，得到△AFC和△OFC同底等高、面积相等，即可将阴影面积转化为扇形FOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
新知生成
圆心角为360°的扇形就是完整的圆，因此面积$S=πR^2$；
圆心角为1°的扇形面积是圆面积的$\frac{1}{360}$，即$\frac{πR^2}{360}$；
圆心角为$n°$的扇形面积是1°扇形面积的$n$倍，即$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$；
结合弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，代入扇形面积公式可得$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$。
实践应用
解：连接$OF$、$OC$。
1. 求半径及判定等边三角形
∵$AB$是$⊙O$的直径，$AB=4$，
∴$OA=OF=OC=2$，
又
∵$AF=2$，
∴$OA=OF=AF$，即$△ OAF$是等边三角形，
∴$∠ OAF=∠ AOF=60°$。
2. 计算圆心角度数
∵$∠ BAC=∠ FAC$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ OAF=30°$，
根据圆周角定理，弧$BC$对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=60°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=120°$，
∴$∠ FOC=∠ AOC-∠ AOF=120°-60°=60°$。
3. 转化阴影面积
∵$∠ OAF+∠ AOC=60°+120°=180°$，
∴$AF// OC$，
则$△ AFC$和$△ OFC$同底$FC$、高相等，故$S_{△ AFC}=S_{△ OFC}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ AFC}+S_{弓形FC}=S_{△ OFC}+S_{弓形FC}=S_{扇形FOC}$。
4. 计算扇形面积
$S_{扇形FOC}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$πR^2$；$\frac{πR^2}{360}$；$\frac{nπR^2}{360}$；$\frac{1}{2}lR$；$\frac{2}{3}π$
【知识点】
扇形面积计算，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题既考查扇形面积公式的推导逻辑，也考查不规则图形面积的计算方法，核心是通过构造辅助线、利用平行线同底等高的性质，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，需要学生熟练掌握圆相关的基础性质，具备一定的图形转化思维。
【难度系数】
0.6
