任务二 探究圆内接四边形的性质
阅读材料，完成下列探究.
如图，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，$\odot O$为四边形ABCD的外接圆.

探究：猜想$∠ A + ∠ C$的度数为，$∠ B + ∠ D$的度数为.
理由：连接OB，OD(图略).
$\because \overset{\frown}{BCD}$和$\overset{\frown}{BAD}$所对的圆心角的和为，
$\therefore ∠ A + ∠ C$的度数为.
同理$∠ B + ∠ D$的度数为.
新知生成：(圆内接四边形的性质)圆内接四边形的对角.
交流总结
如图，图中$∠ A$与$∠ DCE$的大小有何关系？由此你能得到什么结论？

解：$\because ∠A+∠BCD=180°$，$∠BCD+∠DCE=180°$，
$\therefore ∠A=∠DCE$.
结论：圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角.

【分析】
解决本题可分两步思考：①探究对角和：结合圆周角定理，圆周角的度数等于其所对圆心角度数的一半，圆内接四边形的一组对角所对的弧恰好组成整个圆周，对应圆心角和为360°，因此可推出对角和为180°，得到对角互补的性质；②探究外角与内对角的关系：先明确∠DCE与∠BCD是邻补角，和为180°，再结合已证的∠A与∠BCD互补，利用同角的补角相等即可推出二者的数量关系，总结出对应结论。
【解析】
探究部分：
猜想$∠ A + ∠ C=180°$，$∠ B + ∠ D=180°$。
理由：连接$OB$，$OD$，
$\because \overset{\frown}{BCD}$和$\overset{\frown}{BAD}$恰好组成整个圆周，所对的圆心角的和为$360°$，
根据圆周角定理，$∠ A=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{BCD}$所对圆心角，$∠ C=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{BAD}$所对圆心角，
$\therefore ∠ A + ∠ C=\frac{1}{2}× 360°=180°$。
同理可得$∠ B + ∠ D=180°$。
新知生成：圆内接四边形的对角互补。
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交流总结部分：
$\because ∠ A+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补），$∠ BCD+∠ DCE=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ A=∠ DCE$（同角的补角相等）。
结论：圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角。
【答案】
探究部分依次为：$\boldsymbol{180°}$，$\boldsymbol{180°}$，$\boldsymbol{360°}$，$\boldsymbol{180°}$，$\boldsymbol{180°}$，互补；
交流总结：$\boldsymbol{∠ A=∠ DCE}$，结论为圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础探究题，从已学的圆周角定理出发推导核心性质，再延伸到外角相关结论，注重知识的生成逻辑，能帮助学生加深对性质的理解，为后续利用性质解题打好基础。
【难度系数】
0.8

1. 在圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D可能是下列四个选项中的（）

A.$1:2:3:4$
B.$4:3:2:1$
C.$4:1:3:2$
D.$4:3:1:2$

D

【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠A与∠C的和等于∠B与∠D的和，都为180°。由此可推出，四个角的比例中，∠A和∠C对应的份数之和与∠B和∠D对应的份数之和必须相等，接下来只需逐一验证各选项是否满足该条件即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形
∴ 根据圆内接四边形的性质可得：$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$
即 $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$
因此比例中∠A与∠C的份数和等于∠B与∠D的份数和：
A选项：$1+3=4$，$2+4=6$，$4≠6$，不符合要求；
B选项：$4+2=6$，$3+1=4$，$6≠4$，不符合要求；
C选项：$4+3=7$，$1+2=3$，$7≠3$，不符合要求；
D选项：$4+1=5$，$3+2=5$，$5=5$，符合要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例的应用
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆内接四边形的性质，解题无需计算具体角度，只需利用对角互补的性质推导得出对角份数和相等即可快速判断，掌握核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ BOD = 138°$，则它的一个外角$∠ DCE$的度数为.

69°

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：1. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；2. 圆内接四边形的外角等于它的内对角。第一步先根据已知的圆心角∠BOD，求出同弧所对的圆周角∠BAD的度数；第二步利用圆内接四边形的外角性质，得到∠DCE和∠BAD相等，即可求出∠DCE的度数。
【解析】
∵ 同弧BD所对的圆心角为∠BOD，所对的圆周角为∠BAD，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×138°=69°$。
又
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质，其外角等于内对角，
∴ $∠ DCE=∠ BAD=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角定理和圆内接四边形性质的综合应用，熟练掌握相关定理内容即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，已知$∠ C=∠ D$，求证：$AB// CD$.

证明：$\because$ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠A+∠C=180°$.
$\because ∠C=∠D$，$\therefore ∠A+∠D=180°$. $\therefore AB// CD$.

【分析】
要证明$AB// CD$，可利用平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。首先结合已知条件，四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质可得到对角互补，即$∠ A+∠ C=180°$；再结合题目给出的$∠ C=∠ D$，通过等量代换即可得到$∠ A$与$∠ D$互补，而$∠ A$和$∠ D$是直线AB、CD被AD所截形成的同旁内角，由此即可推出$AB// CD$。
【解析】
证明：$\because$ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ A+∠ C=180°$（圆内接四边形的对角互补）。
$\because ∠ C=∠ D$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$（等量代换）。
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
证明：$\because$ 四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠A+∠C=180°$.
$\because ∠C=∠D$，$\therefore ∠A+∠D=180°$. $\therefore AB// CD$.
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查圆内接四边形性质和平行线判定的综合应用，解题的关键是熟练掌握相关定理，通过角的等量代换推导出符合平行线判定的条件。
【难度系数】
0.9

课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
圆内接四边形
圆内接多边形的概念
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的互补
圆内接四边形的任意一个外角等于它的

对角 内对角

【分析】
这道题考查圆内接四边形的基础性质，解题思路如下：1. 回忆圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的两组对角所对的弧合起来为整圆，对应圆周角之和为180°，因此第一个空对应“对角互补”的性质；2. 推导外角性质：圆内接四边形的任意一个外角和它相邻的内角互为邻补角（和为180°），而该相邻内角的对角与它也互补，根据同角的补角相等，可得外角等于这个对角，也就是它的内对角，因此第二个空填内对角。
【解析】
根据圆内接四边形的性质：
1. 圆内接四边形的对角互补；
2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
对角；内对角
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是圆相关几何知识的基础内容，需要熟练背诵掌握，为后续解决圆的角度计算、几何证明等问题铺垫基础。
【难度系数】
0.9