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8.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。
答案
8. 解:设$∠ 1=∠ 2=x$。
因为$∠ 1+∠ 2+∠ ADB=180°$,
$∠ 3+∠ ADB=180°$,
所以$∠ 3=∠ 1+∠ 2$,(此结论称为三角形外角和定理,后面不再证明)
所以$∠ 3=∠ 4=2x$。
因为$∠ BAC=63°$,
所以$∠ 2+∠ 4=117°$,即$x+2x=117°$。
解得$x=39°$,即$∠ 1=39°$,
所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=63°-39°=24°$。
因为$∠ 1+∠ 2+∠ ADB=180°$,
$∠ 3+∠ ADB=180°$,
所以$∠ 3=∠ 1+∠ 2$,(此结论称为三角形外角和定理,后面不再证明)
所以$∠ 3=∠ 4=2x$。
因为$∠ BAC=63°$,
所以$∠ 2+∠ 4=117°$,即$x+2x=117°$。
解得$x=39°$,即$∠ 1=39°$,
所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=63°-39°=24°$。
解析
【分析】
解题时可先采用方程思想简化计算：首先观察到∠3是△ABD的外角，结合已知∠1=∠2，可推导出∠3与∠1的数量关系；再由∠3=∠4，可将∠2、∠4都用同一个未知数表示；最后利用三角形内角和为180°，结合∠BAC的度数列方程求出未知数的值，再用∠BAC减去∠1的度数即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：设$∠ 1=∠ 2=x$。
因为$∠ 1+∠ 2+∠ ADB=180°$，$∠ 3+∠ ADB=180°$，
所以$∠ 3=∠ 1+∠ 2$，
所以$∠ 3=∠ 4=2x$。
因为$∠BAC=63°$，且在$△ ABC$中，$∠2+∠4+∠BAC=180°$，
所以$∠ 2+∠ 4=180°-63°=117°$，即$x+2x=117°$，
解得$x=39°$，即$∠ 1=39°$，
所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=63°-39°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；方程法求角度
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，核心是通过三角形内外角的性质找到角度之间的等量关系，结合方程思想求解，这类方法是解决角度计算问题的常用思路，需要熟练掌握角的等量转换技巧。
【难度系数】
0.7
解题时可先采用方程思想简化计算：首先观察到∠3是△ABD的外角，结合已知∠1=∠2，可推导出∠3与∠1的数量关系；再由∠3=∠4，可将∠2、∠4都用同一个未知数表示；最后利用三角形内角和为180°，结合∠BAC的度数列方程求出未知数的值，再用∠BAC减去∠1的度数即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：设$∠ 1=∠ 2=x$。
因为$∠ 1+∠ 2+∠ ADB=180°$，$∠ 3+∠ ADB=180°$，
所以$∠ 3=∠ 1+∠ 2$，
所以$∠ 3=∠ 4=2x$。
因为$∠BAC=63°$，且在$△ ABC$中，$∠2+∠4+∠BAC=180°$，
所以$∠ 2+∠ 4=180°-63°=117°$，即$x+2x=117°$，
解得$x=39°$，即$∠ 1=39°$，
所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=63°-39°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；方程法求角度
【点评】
本题是几何角度计算的常规题型，核心是通过三角形内外角的性质找到角度之间的等量关系，结合方程思想求解，这类方法是解决角度计算问题的常用思路，需要熟练掌握角的等量转换技巧。
【难度系数】
0.7
9. 在$△ ABC$中，已知$∠ A = ∠ C - ∠ B$，$∠ B=2∠ A$，求$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数。
答案
9. 解:在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
又因为$∠ A=∠ C-∠ B$,
所以$2∠ C=180°$,
所以$∠ C=90°$,所以$∠ A+∠ B=90°$。
又因为$∠ B=2∠ A$,
所以$3∠ A=90°$,
所以$∠ A=30°$。
故$∠ A=30°$,$∠ B=60°$,$∠ C=90°$。
又因为$∠ A=∠ C-∠ B$,
所以$2∠ C=180°$,
所以$∠ C=90°$,所以$∠ A+∠ B=90°$。
又因为$∠ B=2∠ A$,
所以$3∠ A=90°$,
所以$∠ A=30°$。
故$∠ A=30°$,$∠ B=60°$,$∠ C=90°$。
解析
【分析】
解决这道题首先要用到三角形内角和为180°的核心定理，再结合题目给出的角的等量关系，通过代入消元的方法逐步求解：第一步先把∠A=∠C-∠B代入内角和公式，先求出∠C的度数；第二步再结合∠B=2∠A的关系，求出∠A和∠B的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
已知$∠ A=∠ C-∠ B$，将其代入上式可得：
$(∠ C-∠ B)+∠ B+∠ C=180°$
化简得$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$。
由此可得$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$。
又已知$∠ B=2∠ A$，代入$∠ A+∠ B=90°$得：
$∠ A+2∠ A=90°$
化简得$3∠ A=90°$，解得$∠ A=30°$，则$∠ B=2×30°=60°$。
【答案】
$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$
【知识点】
三角形内角和定理、等量代换、角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，结合已知的角的数量关系，通过代入消元逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要用到三角形内角和为180°的核心定理，再结合题目给出的角的等量关系，通过代入消元的方法逐步求解：第一步先把∠A=∠C-∠B代入内角和公式，先求出∠C的度数；第二步再结合∠B=2∠A的关系，求出∠A和∠B的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
已知$∠ A=∠ C-∠ B$，将其代入上式可得：
$(∠ C-∠ B)+∠ B+∠ C=180°$
化简得$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$。
由此可得$∠ A+∠ B=180°-∠ C=90°$。
又已知$∠ B=2∠ A$，代入$∠ A+∠ B=90°$得：
$∠ A+2∠ A=90°$
化简得$3∠ A=90°$，解得$∠ A=30°$，则$∠ B=2×30°=60°$。
【答案】
$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$
【知识点】
三角形内角和定理、等量代换、角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，结合已知的角的数量关系，通过代入消元逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$于点$D$,$BE ⊥ AC$于点$E$,$BE$,$CD$相交于点$F$。若$∠ A=58°$,求$∠ BFC$的度数。
答案
10. 解:如图,连接$DE$。
因为$CD⊥ AB$于点$D$,$BE⊥ AC$于点$E$,
所以$∠ ADF=∠ AEF=90°$,
所以$∠ ADE+∠ FDE=90°$,
$∠ AED+∠ FED=90°$。
因为$∠ A+∠ ADE+∠ AED=180°$,
$∠ DFE+∠ FDE+∠ FED=180°$,
所以$∠ A+∠ DFE=180°$,
所以$∠ DFE=180°-∠ A=180°-58°=122°$,
所以$∠ BFC=∠ DFE=122°$。
解析
【分析】
要求∠BFC的度数，观察发现∠BFC与∠DFE是对顶角，二者相等，因此可先求∠DFE的度数。已知CD⊥AB、BE⊥AC，可得到两个直角，再结合三角形内角和为180°的性质，能推导出∠A与∠DFE互补，代入∠A的度数即可求出∠DFE，进而得到∠BFC的度数。
【解析】
解：如图，连接DE。
因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
所以∠ADF=∠AEF=90°，
所以∠ADE+∠FDE=90°，∠AED+∠FED=90°。
因为在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
在△DFE中，∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，
所以∠A+∠DFE=180°，
所以∠DFE=180°-∠A=180°-58°=122°，
所以∠BFC=∠DFE=122°。
【答案】
∠BFC的度数为122°
【知识点】
垂直的定义；三角形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题是基础几何计算题，解题时可通过转化思想，将待求角转化为和已知角相关的角进行求解，能很好地考查学生对几何基础性质的掌握情况和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠BFC的度数，观察发现∠BFC与∠DFE是对顶角，二者相等，因此可先求∠DFE的度数。已知CD⊥AB、BE⊥AC，可得到两个直角，再结合三角形内角和为180°的性质，能推导出∠A与∠DFE互补，代入∠A的度数即可求出∠DFE，进而得到∠BFC的度数。
【解析】
解：如图，连接DE。
因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
所以∠ADF=∠AEF=90°，
所以∠ADE+∠FDE=90°，∠AED+∠FED=90°。
因为在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
在△DFE中，∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，
所以∠A+∠DFE=180°，
所以∠DFE=180°-∠A=180°-58°=122°，
所以∠BFC=∠DFE=122°。
【答案】
∠BFC的度数为122°
【知识点】
垂直的定义；三角形内角和定理；对顶角相等
【点评】
本题是基础几何计算题，解题时可通过转化思想，将待求角转化为和已知角相关的角进行求解，能很好地考查学生对几何基础性质的掌握情况和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
