登录
|变式训练2| 在△ABC中，已知∠A－∠B＝35°,∠C＝55°,则∠B等于(
A.50°
B.55°
C.45°
D.40°
C
)A.50°
B.55°
C.45°
D.40°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数和；再结合题目给出的∠A与∠B的差的关系，通过设未知数列一元一次方程的方式就能快速求出∠B的度数，思路清晰易懂。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，已知∠C=55°
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 55° = 125°
设∠B的度数为x°，由∠A - ∠B = 35°可得∠A = (x + 35)°，代入上式得：
$x + (x + 35) = 125$
$2x + 35 = 125$
$2x = 90$
$x = 45$
即∠B = 45°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形内角和定理的掌握，结合已知的角度差关系，通过简单的方程运算即可求解，熟练掌握基础定理是解决这类角度计算问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数和；再结合题目给出的∠A与∠B的差的关系，通过设未知数列一元一次方程的方式就能快速求出∠B的度数，思路清晰易懂。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，已知∠C=55°
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 55° = 125°
设∠B的度数为x°，由∠A - ∠B = 35°可得∠A = (x + 35)°，代入上式得：
$x + (x + 35) = 125$
$2x + 35 = 125$
$2x = 90$
$x = 45$
即∠B = 45°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形内角和定理的掌握，结合已知的角度差关系，通过简单的方程运算即可求解，熟练掌握基础定理是解决这类角度计算问题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=40°$，则$∠ A+∠ C=(\quad)$
A.$180°$
B.$140°$
C.$100°$
D.$70°$
A.$180°$
B.$140°$
C.$100°$
D.$70°$
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题首先回忆三角形内角和的基本性质：三角形的三个内角度数之和为180°。题目已知∠B的度数，要求∠A与∠C的和，只需用三角形内角和减去已知的∠B的度数即可得到结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=40°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - ∠ B = 180° - 40° = 140°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，直接考查三角形内角和定理的简单应用，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆三角形内角和的基本性质：三角形的三个内角度数之和为180°。题目已知∠B的度数，要求∠A与∠C的和，只需用三角形内角和减去已知的∠B的度数即可得到结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=40°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - ∠ B = 180° - 40° = 140°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，直接考查三角形内角和定理的简单应用，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 一副三角尺拼成的图案如图所示，则∠AED的度数为()
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
答案
2. D
解析
【分析】
要计算∠AED的度数，可结合三角尺的固定角度、三角形内角和与对顶角的性质求解：第一步先根据含60°角的直角三角尺的角度特征，算出∠ACB的度数；第二步在△BEC中，结合另一块三角尺的45°角，用三角形内角和算出∠BEC的度数；第三步利用对顶角相等的性质，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，△ABC是含60°角的直角三角尺，因此∠ABC=90°，∠A=60°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-90°=30°。
另一块三角尺△BCD为等腰直角三角尺，因此∠DBC=45°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BEC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-45°-30°=105°。
∵∠AED与∠BEC是对顶角，对顶角相等，
∴∠AED=∠BEC=105°。
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是熟记三角尺的固有角度，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质推导即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠AED的度数，可结合三角尺的固定角度、三角形内角和与对顶角的性质求解：第一步先根据含60°角的直角三角尺的角度特征，算出∠ACB的度数；第二步在△BEC中，结合另一块三角尺的45°角，用三角形内角和算出∠BEC的度数；第三步利用对顶角相等的性质，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，△ABC是含60°角的直角三角尺，因此∠ABC=90°，∠A=60°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-90°=30°。
另一块三角尺△BCD为等腰直角三角尺，因此∠DBC=45°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BEC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-45°-30°=105°。
∵∠AED与∠BEC是对顶角，对顶角相等，
∴∠AED=∠BEC=105°。
【答案】
D
【知识点】
三角尺的角度特征，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是熟记三角尺的固有角度，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质推导即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中,若$∠ A=75°,∠ B=50°$,则$∠ C$的度数为()
A.$55°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
A.$55°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
3. A
解析
【分析】
本题要求三角形中未知内角的度数，解题核心是运用三角形内角和定理。首先回忆三角形的三个内角之和固定为180°，已知两个内角的度数，直接用内角和减去两个已知角的度数，就能求出第三个角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
已知$∠ A=75°$，$∠ B=50°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 75° - 50° = 55°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查对三角形内角和定理的直接应用，计算难度低，熟练掌握定理即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题要求三角形中未知内角的度数，解题核心是运用三角形内角和定理。首先回忆三角形的三个内角之和固定为180°，已知两个内角的度数，直接用内角和减去两个已知角的度数，就能求出第三个角的度数，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
已知$∠ A=75°$，$∠ B=50°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 75° - 50° = 55°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查对三角形内角和定理的直接应用，计算难度低，熟练掌握定理即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4.如图,图中三角形的个数为()
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
4. C
解析
【分析】
要准确数出图中三角形的个数，需按照有序计数的原则，做到不重复、不遗漏。我们可以先划分区域：首先线段AD将大三角形ABC分为△ABD和△ACD两部分，再看△ACD中线段CE又将其分为更小的两个三角形，先数各部分的三角形数量，再汇总即可得到总数。
【解析】
我们按从小到大的顺序逐一计数：
1. 最小的基础三角形：△AEC、△EDC，共2个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：△ACD，共1个；
3. AD左侧独立的三角形：△ABD，共1个；
4. 包含所有小三角形的最大三角形：△ABC，共1个。
总个数为：$2+1+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义、几何图形计数
【点评】
本题是几何计数的基础题型，核心是掌握有序计数的方法，按照从小到大或者分区域的思路计数，就能有效避免重复或漏数的问题。
【难度系数】
0.8
要准确数出图中三角形的个数，需按照有序计数的原则，做到不重复、不遗漏。我们可以先划分区域：首先线段AD将大三角形ABC分为△ABD和△ACD两部分，再看△ACD中线段CE又将其分为更小的两个三角形，先数各部分的三角形数量，再汇总即可得到总数。
【解析】
我们按从小到大的顺序逐一计数：
1. 最小的基础三角形：△AEC、△EDC，共2个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：△ACD，共1个；
3. AD左侧独立的三角形：△ABD，共1个；
4. 包含所有小三角形的最大三角形：△ABC，共1个。
总个数为：$2+1+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义、几何图形计数
【点评】
本题是几何计数的基础题型，核心是掌握有序计数的方法，按照从小到大或者分区域的思路计数，就能有效避免重复或漏数的问题。
【难度系数】
0.8
5.如图,将一副三角尺按图中的方式叠放,则α等于()
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先要明确一副三角尺的固定角度：含30°角的三角尺角度为30°、60°、90°，等腰直角三角尺角度为45°、45°、90°。接下来观察角α的位置，α是某个三角形的内角，我们只需要找到这个三角形另外两个内角的度数，再结合三角形内角和为180°就可以计算出α的度数；也可以直接利用三角形外角的性质求解，外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【解析】
解法1：利用三角形内角和计算
已知等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺中，与30°互余的角为$90°-30°=60°$。
角α所在的三角形内角和为180°，因此$α = 180° - 45° - 60° = 75°$。
解法2：利用三角形外角性质计算
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，α是下方小三角形的外角，对应的两个不相邻内角分别是30°和45°，因此$α = 30° + 45° = 75°$。
【答案】
A
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是牢记两种三角尺的固定角度，结合三角形的相关角度性质即可快速求解，是对几何基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副三角尺的固定角度：含30°角的三角尺角度为30°、60°、90°，等腰直角三角尺角度为45°、45°、90°。接下来观察角α的位置，α是某个三角形的内角，我们只需要找到这个三角形另外两个内角的度数，再结合三角形内角和为180°就可以计算出α的度数；也可以直接利用三角形外角的性质求解，外角等于与它不相邻的两个内角的和。
【解析】
解法1：利用三角形内角和计算
已知等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺中，与30°互余的角为$90°-30°=60°$。
角α所在的三角形内角和为180°，因此$α = 180° - 45° - 60° = 75°$。
解法2：利用三角形外角性质计算
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，α是下方小三角形的外角，对应的两个不相邻内角分别是30°和45°，因此$α = 30° + 45° = 75°$。
【答案】
A
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题的核心是牢记两种三角尺的固定角度，结合三角形的相关角度性质即可快速求解，是对几何基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
6.如图，已知$BE⊥ AC$，$∠ A=30°$，$∠ B=42°$，则$∠ ADC$的度数为。
答案
6. $102°$
解析
【分析】
要求∠ADC的度数，可利用三角形内角和为180°求解。已知△ADC中∠A=30°，只需要先求出∠C的度数即可。由BE⊥AC可得∠BEC=90°，在△BEC中已知∠B=42°，结合三角形内角和就能算出∠C，再代入△ADC的内角和公式即可求出∠ADC。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°（垂直的定义）。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BEC = 180° - 42° - 90° = 48°。
在△ADC中，同样根据三角形内角和为180°，得：
∠ADC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 48° = 102°。
【答案】
102°
【知识点】
垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题关键是利用垂直得到直角，先通过已知三角形的内角和求出未知角∠C的度数，再代入目标三角形计算所求角度，熟练掌握三角形内角和定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
要求∠ADC的度数，可利用三角形内角和为180°求解。已知△ADC中∠A=30°，只需要先求出∠C的度数即可。由BE⊥AC可得∠BEC=90°，在△BEC中已知∠B=42°，结合三角形内角和就能算出∠C，再代入△ADC的内角和公式即可求出∠ADC。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°（垂直的定义）。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠C = 180° - ∠B - ∠BEC = 180° - 42° - 90° = 48°。
在△ADC中，同样根据三角形内角和为180°，得：
∠ADC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 48° = 102°。
【答案】
102°
【知识点】
垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题关键是利用垂直得到直角，先通过已知三角形的内角和求出未知角∠C的度数，再代入目标三角形计算所求角度，熟练掌握三角形内角和定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
7.在$△ ABC$中,已知$∠ A - ∠ B = 30°,∠ C = 3∠ B$,求$∠ A,∠ B,∠ C$的度数。
答案
7. 解:在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$。
由$∠ A-∠ B=30°$,得$∠ A=30°+∠ B$。
又因为$∠ C=3∠ B$,
所以$30°+∠ B+∠ B+3∠ B=180°$,
解得$∠ B=30°$,则$∠ A=60°$,$∠ C=90°$。
由$∠ A-∠ B=30°$,得$∠ A=30°+∠ B$。
又因为$∠ C=3∠ B$,
所以$30°+∠ B+∠ B+3∠ B=180°$,
解得$∠ B=30°$,则$∠ A=60°$,$∠ C=90°$。
解析
【分析】
解决本题首先要回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。观察题目给出的角的关系，∠A和∠C都可以用∠B表示，因此我们可以将∠A、∠C都转化为含∠B的式子，代入内角和公式得到只含有∠B的一元一次方程，解出∠B的度数后，再根据角的和差、倍数关系分别求出∠A和∠C的度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
由$∠ A - ∠ B = 30°$，可得$∠ A = ∠ B + 30°$。
又已知$∠ C = 3∠ B$，将$∠ A$和$∠ C$代入内角和公式得：
$∠ B + 30° + ∠ B + 3∠ B = 180°$
合并同类项得：$5∠ B + 30° = 180°$
移项计算得：$5∠ B = 150°$，解得$∠ B = 30°$。
则$∠ A = 30° + 30° = 60°$，$∠ C = 3 × 30° = 90°$。
【答案】
$∠ A=60°$，$∠ B=30°$，$∠ C=90°$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理建立等量关系，通过将多个未知角统一用同一个角表示，转化为一元一次方程求解，掌握这种转化思想可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。观察题目给出的角的关系，∠A和∠C都可以用∠B表示，因此我们可以将∠A、∠C都转化为含∠B的式子，代入内角和公式得到只含有∠B的一元一次方程，解出∠B的度数后，再根据角的和差、倍数关系分别求出∠A和∠C的度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
由$∠ A - ∠ B = 30°$，可得$∠ A = ∠ B + 30°$。
又已知$∠ C = 3∠ B$，将$∠ A$和$∠ C$代入内角和公式得：
$∠ B + 30° + ∠ B + 3∠ B = 180°$
合并同类项得：$5∠ B + 30° = 180°$
移项计算得：$5∠ B = 150°$，解得$∠ B = 30°$。
则$∠ A = 30° + 30° = 60°$，$∠ C = 3 × 30° = 90°$。
【答案】
$∠ A=60°$，$∠ B=30°$，$∠ C=90°$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理建立等量关系，通过将多个未知角统一用同一个角表示，转化为一元一次方程求解，掌握这种转化思想可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.8
