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8. 已知二次函数$y=ax^2+bx+3(a＞0)$的对称轴是$x=2$的直线，则当$x=4$时，$y$的值为
3
。答案
8. 3
解析
【分析】
解题思路：首先利用二次函数的对称性，对称轴为直线$x=2$的二次函数，关于$x=2$对称的两个点的函数值相等。先找到$x=4$关于$x=2$的对称点，计算可得对称点为$x=0$，再将$x=0$代入二次函数解析式求出对应的$y$值，这个值就是$x=4$时的$y$值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+3$的对称轴是直线$x=2$，
∴ $x=4$和$x=0$关于直线$x=2$对称，两点对应的函数值相等。
将$x=0$代入解析式得：$y=a×0^2 + b×0 +3=3$，
因此当$x=4$时，$y=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需计算$a$、$b$的具体值，通过对称点函数值相等的性质即可快速求解，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用二次函数的对称性，对称轴为直线$x=2$的二次函数，关于$x=2$对称的两个点的函数值相等。先找到$x=4$关于$x=2$的对称点，计算可得对称点为$x=0$，再将$x=0$代入二次函数解析式求出对应的$y$值，这个值就是$x=4$时的$y$值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+3$的对称轴是直线$x=2$，
∴ $x=4$和$x=0$关于直线$x=2$对称，两点对应的函数值相等。
将$x=0$代入解析式得：$y=a×0^2 + b×0 +3=3$，
因此当$x=4$时，$y=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需计算$a$、$b$的具体值，通过对称点函数值相等的性质即可快速求解，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
9. 已知二次函数$y=ax^2-(a+1)x-2$，当$x＞1$时，$y$的值随$x$的值增大而增大，当$x＜1$时，$y$的值随$x$的值增大而减小，则实数$a$的值为
1
。答案
9. 1
解析
【分析】
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。题目中给出当x＞1时y随x增大而增大，x＜1时y随x增大而减小，说明该二次函数开口向上（a＞0），且对称轴为直线x=1。接下来我们可以利用二次函数的对称轴公式，代入对应系数列出方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线$x=1$，且$a＞0$。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
在函数$y=ax^2-(a+1)x-2$中，$A=a$，$B=-(a+1)$，代入对称轴公式得：
$\frac{a+1}{2a}=1$
方程两边同乘$2a$（$a≠0$）得：
$a+1=2a$
解得$a=1$。
验证：$a=1＞0$，符合开口向上的要求，满足题意。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的核心是根据函数的增减性判断出对称轴的位置，再结合对称轴公式建立方程求解，属于基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。题目中给出当x＞1时y随x增大而增大，x＜1时y随x增大而减小，说明该二次函数开口向上（a＞0），且对称轴为直线x=1。接下来我们可以利用二次函数的对称轴公式，代入对应系数列出方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线$x=1$，且$a＞0$。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
在函数$y=ax^2-(a+1)x-2$中，$A=a$，$B=-(a+1)$，代入对称轴公式得：
$\frac{a+1}{2a}=1$
方程两边同乘$2a$（$a≠0$）得：
$a+1=2a$
解得$a=1$。
验证：$a=1＞0$，符合开口向上的要求，满足题意。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的核心是根据函数的增减性判断出对称轴的位置，再结合对称轴公式建立方程求解，属于基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
10.已知二次函数$y=-x^2+2x+2$。
(1)先补全表格：$m=$
(2)根据表格图象可知，当$-1＜x＜2$时，$y$的取值范围是
(3)点$A(3,y_1)$和$B(n,y_2)$都在此函数的图象上，且点$A$与点$B$不重合。若$y_1≥y_2$，结合函数图象，直接写出$n$的取值范围。
(1)先补全表格：$m=$
3
，然后在平面直角坐标系$xOy$中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象。(2)根据表格图象可知，当$-1＜x＜2$时，$y$的取值范围是
$-1＜y≤3$
。(3)点$A(3,y_1)$和$B(n,y_2)$都在此函数的图象上，且点$A$与点$B$不重合。若$y_1≥y_2$，结合函数图象，直接写出$n$的取值范围。
答案
10. (1)3 (2)$-1＜y≤ 3$
(3)由题意,$\because$点$A(3,y_1)$在此函数的图象上,$\therefore y_1=-1$。$\because$点$A$与点$B$不重合,且$y_1≥ y_2$,
$\therefore y_2≤ -1,$$\therefore$结合函数图象,$n≤ -1$或$n＞3$
(3)由题意,$\because$点$A(3,y_1)$在此函数的图象上,$\therefore y_1=-1$。$\because$点$A$与点$B$不重合,且$y_1≥ y_2$,
$\therefore y_2≤ -1,$$\therefore$结合函数图象,$n≤ -1$或$n＞3$
解析
【分析】
（1）求表格中m的值，可将对应自变量x的值代入二次函数解析式计算，本题中m为函数顶点的纵坐标，代入对称轴x=1即可求出结果；后续画图象按照列表、描点、连线的标准步骤操作即可。
（2）求指定区间内y的取值范围，先判断二次函数的开口方向、对称轴位置，确定区间内的最值，再计算区间端点处的函数值，结合函数增减性即可确定y的范围。
（3）先代入x=3求出y₁的值，将y₁≥y₂转化为关于n的不等式，结合二次函数图象求解集，注意排除A、B两点重合的情况。
【解析】
（1）二次函数解析式为$y=-x^2+2x+2$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，将$x=1$代入解析式得：$y=-1^2+2×1+2=3$，故$m=3$。
（2）由二次函数$y=-x^2+2x+2$可知，$a=-1＜0$，函数开口向下，顶点坐标为$(1,3)$。当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)+2=-1$；当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+2=2$。在$-1＜x＜2$区间内，函数在$x=1$处取最大值3，x趋近于-1时y趋近于-1，因此y的取值范围是$-1＜y≤3$。
（3）将$x=3$代入函数解析式得：$y_1=-3^2+2×3+2=-1$。由$y_1≥y_2$可得$y_2≤-1$，即$-n^2+2n+2≤-1$，整理得$n^2-2n-3≥0$，因式分解为$(n-3)(n+1)≥0$，解得$n≤-1$或$n≥3$。又因为点A与点B不重合，故$n≠3$，因此n的取值范围为$n≤-1$或$n＞3$。
【答案】
(1) $3$；(2) $-1＜y≤ 3$；(3) $n≤ -1$或$n＞3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设计，侧重考查数形结合思想的应用，解题时要熟练掌握二次函数的对称轴、最值、增减性等特点，结合图象求解取值范围能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
（1）求表格中m的值，可将对应自变量x的值代入二次函数解析式计算，本题中m为函数顶点的纵坐标，代入对称轴x=1即可求出结果；后续画图象按照列表、描点、连线的标准步骤操作即可。
（2）求指定区间内y的取值范围，先判断二次函数的开口方向、对称轴位置，确定区间内的最值，再计算区间端点处的函数值，结合函数增减性即可确定y的范围。
（3）先代入x=3求出y₁的值，将y₁≥y₂转化为关于n的不等式，结合二次函数图象求解集，注意排除A、B两点重合的情况。
【解析】
（1）二次函数解析式为$y=-x^2+2x+2$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，将$x=1$代入解析式得：$y=-1^2+2×1+2=3$，故$m=3$。
（2）由二次函数$y=-x^2+2x+2$可知，$a=-1＜0$，函数开口向下，顶点坐标为$(1,3)$。当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)+2=-1$；当$x=2$时，$y=-2^2+2×2+2=2$。在$-1＜x＜2$区间内，函数在$x=1$处取最大值3，x趋近于-1时y趋近于-1，因此y的取值范围是$-1＜y≤3$。
（3）将$x=3$代入函数解析式得：$y_1=-3^2+2×3+2=-1$。由$y_1≥y_2$可得$y_2≤-1$，即$-n^2+2n+2≤-1$，整理得$n^2-2n-3≥0$，因式分解为$(n-3)(n+1)≥0$，解得$n≤-1$或$n≥3$。又因为点A与点B不重合，故$n≠3$，因此n的取值范围为$n≤-1$或$n＞3$。
【答案】
(1) $3$；(2) $-1＜y≤ 3$；(3) $n≤ -1$或$n＞3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设计，侧重考查数形结合思想的应用，解题时要熟练掌握二次函数的对称轴、最值、增减性等特点，结合图象求解取值范围能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
11. 已知点$A(x_1,m)$，$B(x_2,n)$分别在抛物线$y_1=x^2 - 4x + c$（$c$为常数）和$y_2=x^2 - 6x + c$上，当$x_1＞0$时，下列说法正确的是（
A.若$x_2 - x_1=1$，则$m - n=5$
B.若$x_2 - x_1=2$，则$m - n=9$
C.若$x_1 - x_2=1$，则$m - n=-5$
D.若$x_1 - x_2=2$，则$m - n=-9$
A
）A.若$x_2 - x_1=1$，则$m - n=5$
B.若$x_2 - x_1=2$，则$m - n=9$
C.若$x_1 - x_2=1$，则$m - n=-5$
D.若$x_1 - x_2=2$，则$m - n=-9$
答案
11. A[提示:根据题意,用$x_1,x_2$表示出$m-n$,再据此进行分析即可]
解析
【分析】
首先，二次函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式，因此我们可以先将点A、B的纵坐标m、n分别用含$x_1$、$x_2$、$c$的表达式表示，再推导$m-n$的化简式，最后将各选项给出的$x_1$与$x_2$的数量关系代入$m-n$的表达式计算，判断结果是否符合选项描述即可。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,m)$在抛物线$y_1=x^2 - 4x + c$上
∴$m = x_1^2 - 4x_1 + c$
∵点$B(x_2,n)$在抛物线$y_2=x^2 - 6x + c$上
∴$n = x_2^2 - 6x_2 + c$
则$m-n = (x_1^2 - 4x_1 + c) - (x_2^2 - 6x_2 + c) = x_1^2 - x_2^2 - 4x_1 + 6x_2$
逐个验证选项：
选项A：若$x_2 - x_1=1$，即$x_2 = x_1 + 1$，代入$m-n$得：
$m-n = x_1^2 - (x_1+1)^2 -4x_1 + 6(x_1+1)$
$=x_1^2 - (x_1^2 + 2x_1 + 1) -4x_1 + 6x_1 + 6$
$=5$，故A正确。
选项B：若$x_2 - x_1=2$，即$x_2 = x_1 + 2$，代入得：
$m-n = x_1^2 - (x_1+2)^2 -4x_1 + 6(x_1+2)$
$=-2x_1 + 8$，结果随$x_1$变化，不是定值9，故B错误。
选项C：若$x_1 - x_2=1$，即$x_1 = x_2 + 1$，代入得：
$m-n = (x_2+1)^2 - x_2^2 -4(x_2+1) + 6x_2$
$=4x_2 - 3$，结果随$x_2$变化，不是定值-5，故C错误。
选项D：若$x_1 - x_2=2$，即$x_1 = x_2 + 2$，代入得：
$m-n = (x_2+2)^2 - x_2^2 -4(x_2+2) + 6x_2$
$=6x_2 - 4$，结果随$x_2$变化，不是定值-9，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；整式的化简求值
【点评】
本题核心考查二次函数图象上点的性质，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点坐标满足对应函数解析式”的规律，代入化简时注意去括号的符号处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先，二次函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式，因此我们可以先将点A、B的纵坐标m、n分别用含$x_1$、$x_2$、$c$的表达式表示，再推导$m-n$的化简式，最后将各选项给出的$x_1$与$x_2$的数量关系代入$m-n$的表达式计算，判断结果是否符合选项描述即可。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,m)$在抛物线$y_1=x^2 - 4x + c$上
∴$m = x_1^2 - 4x_1 + c$
∵点$B(x_2,n)$在抛物线$y_2=x^2 - 6x + c$上
∴$n = x_2^2 - 6x_2 + c$
则$m-n = (x_1^2 - 4x_1 + c) - (x_2^2 - 6x_2 + c) = x_1^2 - x_2^2 - 4x_1 + 6x_2$
逐个验证选项：
选项A：若$x_2 - x_1=1$，即$x_2 = x_1 + 1$，代入$m-n$得：
$m-n = x_1^2 - (x_1+1)^2 -4x_1 + 6(x_1+1)$
$=x_1^2 - (x_1^2 + 2x_1 + 1) -4x_1 + 6x_1 + 6$
$=5$，故A正确。
选项B：若$x_2 - x_1=2$，即$x_2 = x_1 + 2$，代入得：
$m-n = x_1^2 - (x_1+2)^2 -4x_1 + 6(x_1+2)$
$=-2x_1 + 8$，结果随$x_1$变化，不是定值9，故B错误。
选项C：若$x_1 - x_2=1$，即$x_1 = x_2 + 1$，代入得：
$m-n = (x_2+1)^2 - x_2^2 -4(x_2+1) + 6x_2$
$=4x_2 - 3$，结果随$x_2$变化，不是定值-5，故C错误。
选项D：若$x_1 - x_2=2$，即$x_1 = x_2 + 2$，代入得：
$m-n = (x_2+2)^2 - x_2^2 -4(x_2+2) + 6x_2$
$=6x_2 - 4$，结果随$x_2$变化，不是定值-9，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；整式的化简求值
【点评】
本题核心考查二次函数图象上点的性质，解题关键是熟练掌握“函数图象上的点坐标满足对应函数解析式”的规律，代入化简时注意去括号的符号处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
12.已知抛物线 $ y = x^2 -4x + m^2 -2m $（$ m $为任意实数）。
(1)当$ m=1 $时，请回答下列问题：
①请求出抛物线的顶点坐标；
②若将点$ A(1,t) $向左平移$ 3n $个单位后得点$ A_1 $；若将点$ A(1,t) $向右平移$ 4n $个单位后得点$ A_2 $，若点$ A_1,A_2 $都在此抛物线上，求$ t $的值。
(2)若抛物线与$ y $轴交于点$ B(0,n) $，且$ 1≤ n≤6 $，求此抛物线顶点到$ x $轴的最远距离。
(1)当$ m=1 $时，请回答下列问题：
①请求出抛物线的顶点坐标；
②若将点$ A(1,t) $向左平移$ 3n $个单位后得点$ A_1 $；若将点$ A(1,t) $向右平移$ 4n $个单位后得点$ A_2 $，若点$ A_1,A_2 $都在此抛物线上，求$ t $的值。
(2)若抛物线与$ y $轴交于点$ B(0,n) $，且$ 1≤ n≤6 $，求此抛物线顶点到$ x $轴的最远距离。
答案
12. (1)①$(2,-5)$ ②由题意得$A_1(1-3n,t),A_2(1+4n,t)$。$\because$点$A_1,A_2$的纵坐标相等,点$A_1$,$A_2$都在此抛物线上,抛物线的对称轴为直线$x=2$,$\therefore$点$A_1,A_2$关于对称轴$x=2$对称,则$1-3n+1+4n=4$,解得$n=2$,则$A_1(-5,t)$,将$A_1(-5,t)$代入解析式,得$t=(-5)^2-4×(-5)-1=44$
(2)若抛物线与$y$轴交于点$B(0,n)$,且$1≤ n≤ 6$,$\because y=x^2-4x+m^2-2m=(x-2)^2+m^2-2m-4$,故顶点坐标为$(2,m^2-2m-4)$。令$x=0$,则$y=m^2-2m$,则$B(0,m^2-2m)$,由题得$n=m^2-2m$,则顶点纵坐标为$n-4$。又$\because 1≤ n≤ 6$,则$-3≤ n-4≤ 2$,则顶点到$x$轴最远距离是顶点纵坐标绝对值的最大值,即为3
(2)若抛物线与$y$轴交于点$B(0,n)$,且$1≤ n≤ 6$,$\because y=x^2-4x+m^2-2m=(x-2)^2+m^2-2m-4$,故顶点坐标为$(2,m^2-2m-4)$。令$x=0$,则$y=m^2-2m$,则$B(0,m^2-2m)$,由题得$n=m^2-2m$,则顶点纵坐标为$n-4$。又$\because 1≤ n≤ 6$,则$-3≤ n-4≤ 2$,则顶点到$x$轴最远距离是顶点纵坐标绝对值的最大值,即为3
解析
【分析】
本题围绕二次函数的性质展开考查，解题思路如下：
(1)①先将m=1代入抛物线解析式，再通过配方法将解析式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
②根据平移规则先写出$A_1$、$A_2$的坐标，由于两点纵坐标相同且均在抛物线上，可知两点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线对称轴为直线$x=2$，利用对称轴是两点横坐标中点的性质列方程求出n的值，再将点代入解析式即可求出t；
(2)先将抛物线配方为顶点式，写出顶点坐标，再求出抛物线与y轴交点B的纵坐标，结合B点坐标可得顶点纵坐标与n的关系，最后根据n的取值范围，求顶点纵坐标绝对值的最大值，即为顶点到x轴的最远距离。
【解析】
(1)①当$m=1$时，代入抛物线解析式得：
$y=x^2-4x+1^2-2×1=x^2-4x-1$
配方得：$y=(x-2)^2-5$
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-5)$
②根据坐标平移规则：点向左平移横坐标减，向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得：
$A_1(1-3n,t)$，$A_2(1+4n,t)$
∵$A_1$、$A_2$纵坐标相等，且都在抛物线上，
∴两点关于抛物线的对称轴对称
已知抛物线对称轴为直线$x=2$，因此两点横坐标的中点为对称轴，即：
$\frac{(1-3n)+(1+4n)}{2}=2$
化简得：$2+n=4$，解得$n=2$
∴$A_1$的坐标为$(1-3×2,t)=(-5,t)$，将其代入$y=x^2-4x-1$得：
$t=(-5)^2-4×(-5)-1=25+20-1=44$
(2)将抛物线配方为顶点式：
$y=x^2-4x+m^2-2m=(x-2)^2+(m^2-2m-4)$
∴抛物线顶点坐标为$(2, m^2-2m-4)$
当$x=0$时，$y=m^2-2m$，即抛物线与y轴交点$B(0, m^2-2m)$
由题意知$B(0,n)$，故$n=m^2-2m$，代入顶点纵坐标得：顶点纵坐标为$n-4$
∵$1≤n≤6$，
∴$1-4≤n-4≤6-4$，即$-3≤n-4≤2$
顶点到x轴的距离为顶点纵坐标的绝对值，即$|n-4|$：
当$n=1$时，$|n-4|=3$；当$n=6$时，$|n-4|=2$
∴顶点到x轴的最远距离为3
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(2,-5)}$；②$\boldsymbol{t=44}$
(2)$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的性质，坐标平移规律，二次函数对称性
【点评】
本题综合考查了二次函数的核心性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标求解、抛物线对称性、坐标平移规则等基础内容，结合给定的取值范围分析最值即可解题，考查了学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
本题围绕二次函数的性质展开考查，解题思路如下：
(1)①先将m=1代入抛物线解析式，再通过配方法将解析式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
②根据平移规则先写出$A_1$、$A_2$的坐标，由于两点纵坐标相同且均在抛物线上，可知两点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线对称轴为直线$x=2$，利用对称轴是两点横坐标中点的性质列方程求出n的值，再将点代入解析式即可求出t；
(2)先将抛物线配方为顶点式，写出顶点坐标，再求出抛物线与y轴交点B的纵坐标，结合B点坐标可得顶点纵坐标与n的关系，最后根据n的取值范围，求顶点纵坐标绝对值的最大值，即为顶点到x轴的最远距离。
【解析】
(1)①当$m=1$时，代入抛物线解析式得：
$y=x^2-4x+1^2-2×1=x^2-4x-1$
配方得：$y=(x-2)^2-5$
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-5)$
②根据坐标平移规则：点向左平移横坐标减，向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得：
$A_1(1-3n,t)$，$A_2(1+4n,t)$
∵$A_1$、$A_2$纵坐标相等，且都在抛物线上，
∴两点关于抛物线的对称轴对称
已知抛物线对称轴为直线$x=2$，因此两点横坐标的中点为对称轴，即：
$\frac{(1-3n)+(1+4n)}{2}=2$
化简得：$2+n=4$，解得$n=2$
∴$A_1$的坐标为$(1-3×2,t)=(-5,t)$，将其代入$y=x^2-4x-1$得：
$t=(-5)^2-4×(-5)-1=25+20-1=44$
(2)将抛物线配方为顶点式：
$y=x^2-4x+m^2-2m=(x-2)^2+(m^2-2m-4)$
∴抛物线顶点坐标为$(2, m^2-2m-4)$
当$x=0$时，$y=m^2-2m$，即抛物线与y轴交点$B(0, m^2-2m)$
由题意知$B(0,n)$，故$n=m^2-2m$，代入顶点纵坐标得：顶点纵坐标为$n-4$
∵$1≤n≤6$，
∴$1-4≤n-4≤6-4$，即$-3≤n-4≤2$
顶点到x轴的距离为顶点纵坐标的绝对值，即$|n-4|$：
当$n=1$时，$|n-4|=3$；当$n=6$时，$|n-4|=2$
∴顶点到x轴的最远距离为3
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(2,-5)}$；②$\boldsymbol{t=44}$
(2)$\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次函数的性质，坐标平移规律，二次函数对称性
【点评】
本题综合考查了二次函数的核心性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标求解、抛物线对称性、坐标平移规则等基础内容，结合给定的取值范围分析最值即可解题，考查了学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
