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1. 二次函数$y=5(x-1)^2+3$最小值是（
A.1
B.3
C.5
D.8
B
）A.1
B.3
C.5
D.8
答案
1. B
解析
【分析】
拿到这道题首先观察二次函数的解析式，它是顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的形式。我们需要回忆二次函数顶点式的性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最小值；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$k$是函数的最大值。本题中$a=5＞0$，因此直接找到解析式里的$k$值就能得到最小值。
【解析】
解：题中二次函数$y=5(x-1)^2+3$为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$a=5＞0$，$k=3$。
因为$a=5＞0$，所以该二次函数的抛物线开口向上，顶点$(1,3)$为函数的最低点，即当$x=1$时，$y$取最小值，最小值为3。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数顶点式的最值判断，只要掌握顶点式中参数的含义以及开口方向和最值的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察二次函数的解析式，它是顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的形式。我们需要回忆二次函数顶点式的性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最小值；当$a＜0$时，抛物线开口向下，$k$是函数的最大值。本题中$a=5＞0$，因此直接找到解析式里的$k$值就能得到最小值。
【解析】
解：题中二次函数$y=5(x-1)^2+3$为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$a=5＞0$，$k=3$。
因为$a=5＞0$，所以该二次函数的抛物线开口向上，顶点$(1,3)$为函数的最低点，即当$x=1$时，$y$取最小值，最小值为3。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数最值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数顶点式的最值判断，只要掌握顶点式中参数的含义以及开口方向和最值的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=a(x+1)^2+2$的部分图象$(-4≤ x≤0)$如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（
A.函数有最大值2，无最小值
B.函数有最大值2，有最小值0
C.函数有最大值2，有最小值$-2.5$
D.函数有最大值1.5，有最小值$-2.5$
C
）A.函数有最大值2，无最小值
B.函数有最大值2，有最小值0
C.函数有最大值2，有最小值$-2.5$
D.函数有最大值1.5，有最小值$-2.5$
答案
2. C
解析
【分析】
首先从二次函数的顶点式入手，可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，结合图像判断抛物线开口向下，因此顶点处为函数最大值点。接下来利用图像上的已知点$(-3,0)$代入解析式求出参数$a$，再比较给定区间$[-4,0]$的两个端点到对称轴的距离，开口向下的二次函数离对称轴越远函数值越小，即可找到最小值点，代入计算后对照选项判断即可。
【解析】
解：由二次函数解析式$y=a(x+1)^2+2$可得：
抛物线对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，结合图像可知抛物线开口向下，且顶点在$-4\le x\le0$的范围内，因此当$x=-1$时，函数取得最大值$2$。
观察图像可知抛物线过点$(-3,0)$，将该点代入解析式：
$0=a·(-3+1)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，即函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
计算区间端点到对称轴的距离：
$x=-4$到$x=-1$的距离：$|-4-(-1)|=3$
$x=0$到$x=-1$的距离：$|0-(-1)|=1$
开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，因此$x=-4$时函数取得最小值，代入得：
$y=-\frac{1}{2}×(-4+1)^2+2=-2.5$
综上，函数有最大值$2$，最小值$-2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数图像与性质
【点评】
本题考查二次函数在给定区间的最值求解，解题核心是结合开口方向、对称轴判断最值的位置，再代入已知点求参数计算即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先从二次函数的顶点式入手，可直接得到对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，结合图像判断抛物线开口向下，因此顶点处为函数最大值点。接下来利用图像上的已知点$(-3,0)$代入解析式求出参数$a$，再比较给定区间$[-4,0]$的两个端点到对称轴的距离，开口向下的二次函数离对称轴越远函数值越小，即可找到最小值点，代入计算后对照选项判断即可。
【解析】
解：由二次函数解析式$y=a(x+1)^2+2$可得：
抛物线对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$，结合图像可知抛物线开口向下，且顶点在$-4\le x\le0$的范围内，因此当$x=-1$时，函数取得最大值$2$。
观察图像可知抛物线过点$(-3,0)$，将该点代入解析式：
$0=a·(-3+1)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，即函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
计算区间端点到对称轴的距离：
$x=-4$到$x=-1$的距离：$|-4-(-1)|=3$
$x=0$到$x=-1$的距离：$|0-(-1)|=1$
开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，因此$x=-4$时函数取得最小值，代入得：
$y=-\frac{1}{2}×(-4+1)^2+2=-2.5$
综上，函数有最大值$2$，最小值$-2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数的最值，二次函数图像与性质
【点评】
本题考查二次函数在给定区间的最值求解，解题核心是结合开口方向、对称轴判断最值的位置，再代入已知点求参数计算即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知二次函数$y=x^2 -6x +8$，则该函数的最小值是
-1
。答案
3. -1
解析
【分析】
本题考查二次函数最小值的求解，解题思路如下：首先观察二次函数的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，因此顶点处的函数值就是函数的最小值。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者直接代入顶点纵坐标公式计算得到最小值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方化为顶点式：
$y=x^2-6x+8$
$=x^2-6x+9 - 9 +8$
$=(x-3)^2 -1$
∵平方数是非负数，即$(x-3)^2≥0$，
∴当$x=3$时，$(x-3)^2$取得最小值0，此时$y$的最小值为$0-1=-1$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即为函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-6$，$c=8$，代入得：
$\frac{4×1×8 - (-6)^2}{4×1}=\frac{32-36}{4}=\frac{-4}{4}=-1$
因此函数的最小值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质；配方法求最值；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，核心是掌握开口向上的二次函数顶点处取最小值的性质，熟练运用配方法或顶点公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数最小值的求解，解题思路如下：首先观察二次函数的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，因此顶点处的函数值就是函数的最小值。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式，或者直接代入顶点纵坐标公式计算得到最小值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数配方化为顶点式：
$y=x^2-6x+8$
$=x^2-6x+9 - 9 +8$
$=(x-3)^2 -1$
∵平方数是非负数，即$(x-3)^2≥0$，
∴当$x=3$时，$(x-3)^2$取得最小值0，此时$y$的最小值为$0-1=-1$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即为函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-6$，$c=8$，代入得：
$\frac{4×1×8 - (-6)^2}{4×1}=\frac{32-36}{4}=\frac{-4}{4}=-1$
因此函数的最小值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质；配方法求最值；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，核心是掌握开口向上的二次函数顶点处取最小值的性质，熟练运用配方法或顶点公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 当$0≤ x≤ 5$时，二次函数$y=x^2 - 2x + 3$的最大值是
18
。答案
4. 18
解析
【分析】
要解决二次函数在给定闭区间内的最大值问题，首先要明确二次函数的基本性质：第一步通过二次项系数的符号判断抛物线开口方向；第二步计算抛物线的对称轴；第三步结合开口方向和给定区间[0,5]判断最大值位置：开口向上的抛物线在闭区间上的最大值出现在离对称轴更远的区间端点处，最后代入对应自变量计算即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2x + 3$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$；
3. 判断最大值位置：给定区间为$0≤ x≤5$，开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，计算端点到对称轴的距离：$|0-1|=1$，$|5-1|=4$，因此$x=5$时函数取得最大值；
4. 代入计算：当$x=5$时，$y=5^2 - 2×5 + 3=25-10+3=18$。
【答案】
18
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，解题核心是结合抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值对应的自变量取值，熟练掌握二次函数的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数在给定闭区间内的最大值问题，首先要明确二次函数的基本性质：第一步通过二次项系数的符号判断抛物线开口方向；第二步计算抛物线的对称轴；第三步结合开口方向和给定区间[0,5]判断最大值位置：开口向上的抛物线在闭区间上的最大值出现在离对称轴更远的区间端点处，最后代入对应自变量计算即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2x + 3$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-2$，可得对称轴为$x=\frac{2}{2×1}=1$；
3. 判断最大值位置：给定区间为$0≤ x≤5$，开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，计算端点到对称轴的距离：$|0-1|=1$，$|5-1|=4$，因此$x=5$时函数取得最大值；
4. 代入计算：当$x=5$时，$y=5^2 - 2×5 + 3=25-10+3=18$。
【答案】
18
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，解题核心是结合抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值对应的自变量取值，熟练掌握二次函数的图象性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为40 m的栅栏按如图所示方式围起来。若设花园的AB边长为x m，花园的面积为y m²。
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时，花园的面积最大，最大面积为多少？
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时，花园的面积最大，最大面积为多少？
答案
5. (1)$y=x(40-2x)(0＜x＜20)$ (2)$x=10\ \mathrm{m}$时,花园面积最大,为$200\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
(1)要推导y与x的函数关系式，首先需明确矩形两条邻边的长度：已知AB=x m，矩形中CD与AB长度相等，均为垂直于墙的边，因此平行于墙的BC边长度为栅栏总长减去2倍AB的长度，再根据矩形面积=长×宽即可得到函数式；自变量的取值范围需结合实际意义，边长必须为正数，据此列不等式求解即可。
(2)得到的函数是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处函数值为最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求出对应x的值和最大面积。
【解析】
(1)已知AB边长为x m，矩形ABCD中CD=AB=x m，
因为三边栅栏总长为40 m，所以BC边的长度为：$40 - 2x$ m，
根据矩形面积公式可得：
$y = AB × BC = x(40 - 2x)$，
由边长为正数可得：$\begin{cases}x＞0 \\ 40-2x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜20$，
因此y与x的函数关系式为$y=x(40-2x)$，自变量取值范围是$0＜x＜20$。
(2)将函数关系式整理为二次函数一般式：$y=-2x^2+40x$，
其中$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，存在最大值，
用配方法转化为顶点式：
$y=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x^2-20x+100-100)=-2(x-10)^2+200$，
因此当$x=10$时，y取得最大值，最大值为$200 \ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$y=x(40-2x)(0＜x＜20)$
(2)当$x=10\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，将几何图形面积问题和二次函数性质相结合，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值，这类问题是应用题中的常见考查方向。
【难度系数】
0.7
(1)要推导y与x的函数关系式，首先需明确矩形两条邻边的长度：已知AB=x m，矩形中CD与AB长度相等，均为垂直于墙的边，因此平行于墙的BC边长度为栅栏总长减去2倍AB的长度，再根据矩形面积=长×宽即可得到函数式；自变量的取值范围需结合实际意义，边长必须为正数，据此列不等式求解即可。
(2)得到的函数是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处函数值为最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求出对应x的值和最大面积。
【解析】
(1)已知AB边长为x m，矩形ABCD中CD=AB=x m，
因为三边栅栏总长为40 m，所以BC边的长度为：$40 - 2x$ m，
根据矩形面积公式可得：
$y = AB × BC = x(40 - 2x)$，
由边长为正数可得：$\begin{cases}x＞0 \\ 40-2x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜20$，
因此y与x的函数关系式为$y=x(40-2x)$，自变量取值范围是$0＜x＜20$。
(2)将函数关系式整理为二次函数一般式：$y=-2x^2+40x$，
其中$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，存在最大值，
用配方法转化为顶点式：
$y=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x^2-20x+100-100)=-2(x-10)^2+200$，
因此当$x=10$时，y取得最大值，最大值为$200 \ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$y=x(40-2x)(0＜x＜20)$
(2)当$x=10\ \mathrm{m}$时，花园面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，将几何图形面积问题和二次函数性质相结合，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求解最值，这类问题是应用题中的常见考查方向。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示,喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线,右侧水流的竖直高度y(m)与距水管的水平距离x(m)之间满足$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}(x＞0)$,则AB的长为 (
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.6 m
A
)A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.6 m
答案
6. A
解析
【分析】
要求AB的长度，首先AB是水流与x轴两个交点的距离，且图形关于y轴对称，因此只需求出右侧抛物线与x轴正半轴交点B的横坐标，得到OB的长度，再根据对称性可得OA=OB，AB=2OB即可求解。具体步骤为：1. 令右侧抛物线解析式中y=0，解对应的一元二次方程；2. 取x＞0的根得到B点横坐标；3. 利用对称性计算AB的总长度。
【解析】
当水流落到x轴上时，竖直高度y=0，将y=0代入右侧水流的解析式$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}(x＞0)$，得：
$-\dfrac{3}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}=0$
方程两边同时乘$-2$消去分母，得：
$3x^2 -2x -1=0$
因式分解得：
$(3x+1)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$。
因为$x＞0$，所以舍去$x=-\dfrac{1}{3}$，即点B的坐标为$(1,0)$，$OB=1\mathrm{m}$。
又因为水流截面关于y轴对称，所以点A的坐标为$(-1,0)$，$OA=1\mathrm{m}$。
因此$AB=OA+OB=1+1=2\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点 2. 轴对称性质 3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合喷泉的实际场景考查二次函数的基础应用，解题的关键是理解二次函数与x轴交点的实际意义（y=0对应水流落到水平面），再结合轴对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求AB的长度，首先AB是水流与x轴两个交点的距离，且图形关于y轴对称，因此只需求出右侧抛物线与x轴正半轴交点B的横坐标，得到OB的长度，再根据对称性可得OA=OB，AB=2OB即可求解。具体步骤为：1. 令右侧抛物线解析式中y=0，解对应的一元二次方程；2. 取x＞0的根得到B点横坐标；3. 利用对称性计算AB的总长度。
【解析】
当水流落到x轴上时，竖直高度y=0，将y=0代入右侧水流的解析式$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}(x＞0)$，得：
$-\dfrac{3}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2}=0$
方程两边同时乘$-2$消去分母，得：
$3x^2 -2x -1=0$
因式分解得：
$(3x+1)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$。
因为$x＞0$，所以舍去$x=-\dfrac{1}{3}$，即点B的坐标为$(1,0)$，$OB=1\mathrm{m}$。
又因为水流截面关于y轴对称，所以点A的坐标为$(-1,0)$，$OA=1\mathrm{m}$。
因此$AB=OA+OB=1+1=2\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点 2. 轴对称性质 3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合喷泉的实际场景考查二次函数的基础应用，解题的关键是理解二次函数与x轴交点的实际意义（y=0对应水流落到水平面），再结合轴对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
