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1. 抛物线$y=-x^2+2x-3$与$y$轴的交点坐标为 （
A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
B
）A.$(0,3)$
B.$(0,-3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定抛物线与y轴的交点坐标，首先需明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0。因此解题思路为：将x=0代入抛物线的解析式，计算出对应的y值，即可得到交点的纵坐标，进而得到交点坐标，注意不要和求x轴交点（令y=0）的方法混淆。
【解析】
∵ y轴上的点的横坐标为0
∴ 求抛物线$y=-x^2+2x-3$与y轴的交点时，令$x=0$
将$x=0$代入解析式得：$y=-0^2+2×0-3=-3$
∴ 抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数图象与y轴交点的求解方法，解题核心是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，是二次函数性质相关的基础必考题。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线与y轴的交点坐标，首先需明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0。因此解题思路为：将x=0代入抛物线的解析式，计算出对应的y值，即可得到交点的纵坐标，进而得到交点坐标，注意不要和求x轴交点（令y=0）的方法混淆。
【解析】
∵ y轴上的点的横坐标为0
∴ 求抛物线$y=-x^2+2x-3$与y轴的交点时，令$x=0$
将$x=0$代入解析式得：$y=-0^2+2×0-3=-3$
∴ 抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数图象与y轴交点的求解方法，解题核心是牢记y轴上点的横坐标为0的特征，是二次函数性质相关的基础必考题。
【难度系数】
0.9
2. 若$A(-4,y_1),B(-2,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=-(x+2)^2+9$图象上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
2. C
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较；二是性质判断法，先根据二次函数的顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越近，对应的函数值越大，反之越小，通过计算三个点到对称轴的距离即可判断y值大小。
【解析】
方法1：代入求值法
将三点横坐标分别代入$y=-(x+2)^2+9$计算：
当$x=-4$时，$y_1=-(-4+2)^2+9=-4+9=5$；
当$x=-2$时，$y_2=-(-2+2)^2+9=0+9=9$；
当$x=1$时，$y_3=-(1+2)^2+9=-9+9=0$；
因为$0＜5＜9$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法2：性质判断法
二次函数$y=-(x+2)^2+9$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$。
点$B(-2,y_2)$在对称轴上，因此$y_2$是三个值中的最大值；
点A到对称轴的距离：$\vert -4 - (-2)\vert=2$，点C到对称轴的距离：$\vert1 - (-2)\vert=3$；
开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，$3＞2$，因此$y_3＜y_1$；
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都易掌握，既可以直接代入计算比较，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解题核心。
【难度系数】
0.75
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较；二是性质判断法，先根据二次函数的顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越近，对应的函数值越大，反之越小，通过计算三个点到对称轴的距离即可判断y值大小。
【解析】
方法1：代入求值法
将三点横坐标分别代入$y=-(x+2)^2+9$计算：
当$x=-4$时，$y_1=-(-4+2)^2+9=-4+9=5$；
当$x=-2$时，$y_2=-(-2+2)^2+9=0+9=9$；
当$x=1$时，$y_3=-(1+2)^2+9=-9+9=0$；
因为$0＜5＜9$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法2：性质判断法
二次函数$y=-(x+2)^2+9$中，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$。
点$B(-2,y_2)$在对称轴上，因此$y_2$是三个值中的最大值；
点A到对称轴的距离：$\vert -4 - (-2)\vert=2$，点C到对称轴的距离：$\vert1 - (-2)\vert=3$；
开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，$3＞2$，因此$y_3＜y_1$；
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都易掌握，既可以直接代入计算比较，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解题核心。
【难度系数】
0.75
3. 如图，观察图中的二次函数图象可得：抛物线的对称轴是
直线$x=3$
。当x$≤ 3$
时，y随x的增大而增大；当x$≥ 3$
时，y随x的增大而减小；当x=3
时，y达到最（填“大”或“小”）值9
。答案
3. 直线$x=3 \quad ≤ 3 \quad ≥ 3 \quad 3 \quad 大 \quad 9$
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数图象获取关键信息：首先图中垂直于x轴的虚线为抛物线的对称轴，标注的横坐标为3，可确定对称轴；再判断抛物线开口方向向下，结合二次函数增减性规律：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；最后顶点是抛物线的最高点，对应x的值为对称轴横坐标，对应y值为最大值。
【解析】
1. 观察图象可知，抛物线的对称轴为过点$(3,0)$且垂直于x轴的直线，即直线$x=3$；
2. 该抛物线开口向下，根据二次函数增减性规律：
当$x≤ 3$时，y随x的增大而增大；
当$x≥ 3$时，y随x的增大而减小；
3. 抛物线顶点坐标为$(3,9)$，且开口向下，因此当$x=3$时，y达到最大值9。
【答案】
直线$x=3$；$≤ 3$；$≥ 3$；$3$；大；$9$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，主要考查学生从函数图象中提取有效信息的能力，结合开口方向即可快速判断增减性和最值，是对二次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察二次函数图象获取关键信息：首先图中垂直于x轴的虚线为抛物线的对称轴，标注的横坐标为3，可确定对称轴；再判断抛物线开口方向向下，结合二次函数增减性规律：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；最后顶点是抛物线的最高点，对应x的值为对称轴横坐标，对应y值为最大值。
【解析】
1. 观察图象可知，抛物线的对称轴为过点$(3,0)$且垂直于x轴的直线，即直线$x=3$；
2. 该抛物线开口向下，根据二次函数增减性规律：
当$x≤ 3$时，y随x的增大而增大；
当$x≥ 3$时，y随x的增大而减小；
3. 抛物线顶点坐标为$(3,9)$，且开口向下，因此当$x=3$时，y达到最大值9。
【答案】
直线$x=3$；$≤ 3$；$≥ 3$；$3$；大；$9$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，主要考查学生从函数图象中提取有效信息的能力，结合开口方向即可快速判断增减性和最值，是对二次函数基础性质的巩固练习。
【难度系数】
0.9
4. 若二次函数$y=x^2+2x+c$的图象与x轴有且仅有一个交点，则c的值是
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
要解决二次函数图象与x轴交点个数相关的问题，首先想到二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数图象与x轴的交点个数和一元二次方程根的个数一一对应。题目说图象与x轴有且仅有一个交点，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0，我们只要代入二次函数的系数列方程求解，就能得到c的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+2x+c$的图象与x轴有且仅有一个交点
∴ 一元二次方程$x^2+2x+c=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+2x+c$中，$a=1$，$b=2$，常数项为$c$，代入判别式得：
$2^2 - 4×1× c = 0$
$4 - 4c = 0$
解得 $c=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数与x轴交点；根的判别式应用；解一元一次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，掌握判别式的不同取值对应的交点情况是解题的关键。
【难度系数】
0.85
要解决二次函数图象与x轴交点个数相关的问题，首先想到二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数图象与x轴的交点个数和一元二次方程根的个数一一对应。题目说图象与x轴有且仅有一个交点，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0，我们只要代入二次函数的系数列方程求解，就能得到c的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+2x+c$的图象与x轴有且仅有一个交点
∴ 一元二次方程$x^2+2x+c=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+2x+c$中，$a=1$，$b=2$，常数项为$c$，代入判别式得：
$2^2 - 4×1× c = 0$
$4 - 4c = 0$
解得 $c=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数与x轴交点；根的判别式应用；解一元一次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，掌握判别式的不同取值对应的交点情况是解题的关键。
【难度系数】
0.85
5.已知二次函数$y=x^2 -4x +3$。
(1)求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标。
(2)在坐标系中画出该函数的大致图象，并根据图象直接写出当$y＜0$时，自变量$x$的取值范围。
(1)求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标。
(2)在坐标系中画出该函数的大致图象，并根据图象直接写出当$y＜0$时，自变量$x$的取值范围。
答案
5. (1)顶点坐标:$(2,-1)$;与坐标轴的交点:$(1,0),(3,0),(0,3)$ (2)图象略，$1＜x＜3$
解析
【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到，也可使用顶点坐标公式计算；求函数与坐标轴交点时，与x轴交点令y=0解一元二次方程即可，与y轴交点令x=0代入函数式计算y值即可。
(2) 画二次函数图象先确定开口方向、顶点、与坐标轴的交点，描点后用平滑曲线连接即可；y＜0对应图象位于x轴下方的部分，直接读取该部分对应的自变量x的取值范围即可。
【解析】
(1) 对函数解析式进行配方：
$y=x^2 -4x +3 = x^2-4x+4 -4 +3 = (x-2)^2 -1$
因此函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$。
求与x轴交点：令$y=0$，得方程$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$。
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=0-0+3=3$，即与y轴交点为$(0,3)$。
(2) 该二次函数二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上，描出顶点$(2,-1)$、与坐标轴的交点$(1,0),(3,0),(0,3)$，再根据对称性描出点$(4,3)$，用平滑曲线连接各点即可得到大致图象。观察图象可得，图象位于x轴下方时对应的x取值范围为$1＜x＜3$，即$y＜0$时$1＜x＜3$。
【答案】
(1)顶点坐标:$(2,-1)$;与坐标轴的交点:$(1,0),(3,0),(0,3)$ (2)图象略，$1＜x＜3$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数基本性质的应用，解题过程中用到的配方法、解方程、数形结合分析不等式范围都是二次函数部分的核心技能，熟练掌握相关方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到，也可使用顶点坐标公式计算；求函数与坐标轴交点时，与x轴交点令y=0解一元二次方程即可，与y轴交点令x=0代入函数式计算y值即可。
(2) 画二次函数图象先确定开口方向、顶点、与坐标轴的交点，描点后用平滑曲线连接即可；y＜0对应图象位于x轴下方的部分，直接读取该部分对应的自变量x的取值范围即可。
【解析】
(1) 对函数解析式进行配方：
$y=x^2 -4x +3 = x^2-4x+4 -4 +3 = (x-2)^2 -1$
因此函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$。
求与x轴交点：令$y=0$，得方程$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$。
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=0-0+3=3$，即与y轴交点为$(0,3)$。
(2) 该二次函数二次项系数$a=1＞0$，因此图象开口向上，描出顶点$(2,-1)$、与坐标轴的交点$(1,0),(3,0),(0,3)$，再根据对称性描出点$(4,3)$，用平滑曲线连接各点即可得到大致图象。观察图象可得，图象位于x轴下方时对应的x取值范围为$1＜x＜3$，即$y＜0$时$1＜x＜3$。
【答案】
(1)顶点坐标:$(2,-1)$;与坐标轴的交点:$(1,0),(3,0),(0,3)$ (2)图象略，$1＜x＜3$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数基本性质的应用，解题过程中用到的配方法、解方程、数形结合分析不等式范围都是二次函数部分的核心技能，熟练掌握相关方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图象如图所示，则下列判断正确的是 （
A.$ ab＞0, b^2 -4ac ＜0 $
B.$ ab＜0, b^2 -4ac ＜0 $
C.$ ab＞0, b^2 -4ac ＞0 $
D.$ ab＜0, b^2 -4ac ＞0 $
D
）A.$ ab＞0, b^2 -4ac ＜0 $
B.$ ab＜0, b^2 -4ac ＜0 $
C.$ ab＞0, b^2 -4ac ＞0 $
D.$ ab＜0, b^2 -4ac ＞0 $
答案
6. D
解析
【分析】
解题时可分三步推导：第一步先根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导b的符号，进而判断ab的正负；第三步根据抛物线与x轴的交点个数，判断判别式$b^2-4ac$的正负，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 判断$a$的符号：
∵ 抛物线开口向下，
∴ $a ＜ 0$。
2. 判断$ab$的符号：
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
结合$a ＜ 0$，可得：$-b ＜ 0$，即$b＞0$，
∴ $ab = 负数×正数 ＜ 0$。
3. 判断判别式的符号：
∵ 抛物线与x轴有2个不同的交点，
∴ 对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
综上，$ab＜0$且$b^2-4ac＞0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、二次函数判别式的意义、二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查图象特征与参数、判别式的对应关系，解题时只要牢记开口方向、对称轴位置、交点个数分别对应的结论，即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步推导：第一步先根据抛物线开口方向判断a的符号；第二步结合对称轴的位置，利用对称轴公式推导b的符号，进而判断ab的正负；第三步根据抛物线与x轴的交点个数，判断判别式$b^2-4ac$的正负，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 判断$a$的符号：
∵ 抛物线开口向下，
∴ $a ＜ 0$。
2. 判断$ab$的符号：
∵ 抛物线的对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
结合$a ＜ 0$，可得：$-b ＜ 0$，即$b＞0$，
∴ $ab = 负数×正数 ＜ 0$。
3. 判断判别式的符号：
∵ 抛物线与x轴有2个不同的交点，
∴ 对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
综上，$ab＜0$且$b^2-4ac＞0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、二次函数判别式的意义、二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查图象特征与参数、判别式的对应关系，解题时只要牢记开口方向、对称轴位置、交点个数分别对应的结论，即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
7. 当$1≤ x≤ 5$时，二次函数$y=2x^2 - 8x + 1$的函数值$y$的最大值是（
A.$-7$
B.$-5$
C.$11$
D.$13$
C
）A.$-7$
B.$-5$
C.$11$
D.$13$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向与对称轴：①先利用对称轴公式求出抛物线对称轴，判断对称轴是否落在给定的区间[1,5]内；②由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，此时区间内的最小值在顶点处，最大值出现在离对称轴更远的区间端点处；③最后计算两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 - 8x + 1$，其中$a=2$，$b=-8$，$c=1$：
1. 确定开口方向与对称轴：
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上；
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2×2}=2$，显然$2$在$1≤ x≤5$的范围内。
2. 判断最值位置：
开口向上的抛物线，在给定区间内离对称轴越远，函数值越大。
端点$x=1$到对称轴的距离：$|1-2|=1$；端点$x=5$到对称轴的距离：$|5-2|=3$，$3＞1$，因此$x=5$时函数取得最大值。
3. 计算最大值：
当$x=5$时，$y=2×5^2 - 8×5 + 1=50-40+1=11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴求法，二次函数增减性，区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数闭区间最值的求解逻辑，易错点是忽略自变量的取值范围，误将顶点的函数值当作最大值，解题关键是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点的位置。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向与对称轴：①先利用对称轴公式求出抛物线对称轴，判断对称轴是否落在给定的区间[1,5]内；②由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，此时区间内的最小值在顶点处，最大值出现在离对称轴更远的区间端点处；③最后计算两个端点的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 - 8x + 1$，其中$a=2$，$b=-8$，$c=1$：
1. 确定开口方向与对称轴：
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上；
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2×2}=2$，显然$2$在$1≤ x≤5$的范围内。
2. 判断最值位置：
开口向上的抛物线，在给定区间内离对称轴越远，函数值越大。
端点$x=1$到对称轴的距离：$|1-2|=1$；端点$x=5$到对称轴的距离：$|5-2|=3$，$3＞1$，因此$x=5$时函数取得最大值。
3. 计算最大值：
当$x=5$时，$y=2×5^2 - 8×5 + 1=50-40+1=11$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴求法，二次函数增减性，区间最值求解
【点评】
本题核心考查二次函数闭区间最值的求解逻辑，易错点是忽略自变量的取值范围，误将顶点的函数值当作最大值，解题关键是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点的位置。
【难度系数】
0.8
