8. 如图，把抛物线$y=-x^2 +2$向右平移1个单位，则曲线AB扫过的面积（图中阴影部分）是。

8. 2

【分析】
遇到二次函数平移后求曲线扫过的不规则阴影面积的题目，首先回忆平移的性质：平移前后图形的形状、大小完全不变，仅位置改变。对于不规则的阴影面积，优先考虑用割补法（等积变换）转化为规则图形计算。首先确定平移的距离是向右1个单位，观察图形可发现，阴影部分可以通过割补等价为一个平行四边形，平行四边形的底就是平移的水平距离1，高就是原抛物线顶点的纵坐标2，再用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
解：抛物线$y=-x^2+2$的顶点$A$的坐标为$(0,2)$，将抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
根据平移的性质，平移前后抛物线的形状、大小完全相同，因此阴影部分的面积可通过割补转化为平行四边形的面积：
该平行四边形的底为平移的水平距离$1$，高为顶点$A$到$x$轴的距离$2$，
所以阴影部分面积$S=底×高=1×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的平移；等积变换求面积；平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平移性质的应用和不规则图形面积的求解，解题的核心是利用平移前后图形全等的特点，将不规则的阴影面积转化为规则的平行四边形面积计算，方法巧妙，能很好地考查学生的转化思维。
【难度系数】
0.7

9.若一个二次函数的图象由抛物线$y=-2x^2$平移得到，它的顶点坐标是$(1,-2)$，则该二次函数的表达式是。

9. $y=-2(x-1)^2-2$

【分析】
解题时首先明确抛物线平移的性质：平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a与原抛物线相同，为-2；其次已知二次函数的顶点坐标，选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）求解最为简便，只需将a、h、k的对应值代入顶点式即可得到表达式。
【解析】
∵ 二次函数的图象由抛物线$y=-2x^2$平移得到
∴ 该二次函数的二次项系数$a=-2$
已知该二次函数的顶点坐标为$(1,-2)$，设其表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=1$，$k=-2$
将$a=-2$、$h=1$、$k=-2$代入顶点式，得：
$y=-2(x-1)^2-2$
【答案】
$y=-2(x-1)^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题考查二次函数平移的性质及顶点式的应用，解题核心是牢记抛物线平移时二次项系数不变，熟练掌握顶点式与顶点坐标的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

10. 如图,抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$ 的顶点为A,与y轴交于点B。
(1)求点A,B的坐标;
(2)若$BC// x$轴且交抛物线于另一点C,求BC的长。

10. (1)$A(2,0),B(0,-1)$
(2)令$y=-1$,得$C(4,-1),\therefore BC=4$

【分析】
(1)求点A坐标：已知抛物线解析式为顶点式，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得出顶点A的坐标；求点B坐标：B是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入抛物线解析式计算即可得到B的纵坐标。
(2)因为$BC// x$轴，平行于x轴的所有点纵坐标相等，所以点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，令抛物线解析式中$y$等于B的纵坐标，解一元二次方程得到两个x值，一个对应点B的横坐标，另一个就是点C的横坐标，同纵坐标的两点距离等于横坐标差的绝对值，即可求出BC的长。
【解析】
(1) 抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2$，$k=0$，所以顶点A的坐标为$(2,0)$。
求与y轴交点B的坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=-\dfrac{1}{4}×(0-2)^2=-\dfrac{1}{4}×4=-1$，所以点B的坐标为$(0,-1)$。
(2) 因为$BC// x$轴，所以点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$y=-1$。
令$y=-1$，代入抛物线解析式得：
$-1=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$
两边同乘$-4$得：$4=(x-2)^2$
开平方得：$x-2=\pm2$
解得$x_1=0$，$x_2=4$
$x=0$对应点B的横坐标，所以点C的坐标为$(4,-1)$
因为B、C纵坐标相同，所以$BC=|4-0|=4$。
【答案】
(1)$A(2,0)$，$B(0,-1)$；(2)$BC$的长为$4$。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数与坐标轴的交点；平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查二次函数的基本性质和平行于坐标轴的点的坐标规律，解题思路清晰，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

11.如图，把抛物线$y_1=ax^2(a＞0)$向上平移4个单位得到抛物线$y_2$，再
将抛物线$y_2$向右平移6个单位得到抛物线$y_3$。若$y_3$的图象分别与$y_1,y_2$的图象交于点$A,B$，且点$A$与点$B$横坐标之差为1，则$a$的值为（）


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

11. B[提示:利用轴对称性先求出点B的横坐标是3,再求出点A的横坐标是4,再将点A的横坐标分别代入两条抛物线表达式,联立方程求解]

【分析】
解题时首先根据二次函数平移的“上加下减常数项，左加右减自变量”规律，写出平移后抛物线$y_2$、$y_3$的解析式；再利用二次函数的对称性：两个开口大小、方向完全相同的抛物线，交点的横坐标在两条抛物线对称轴的中点位置，先求出点$B$的横坐标，结合$A$、$B$横坐标差为1得到点$A$的横坐标；最后根据交点处两个函数的函数值相等，列方程求解$a$即可。
【解析】
1. 求平移后抛物线的解析式
抛物线$y_1=ax^2(a＞0)$向上平移4个单位得$y_2$，根据平移规律可得：
$y_2=ax^2+4$
再将$y_2$向右平移6个单位得$y_3$，可得：
$y_3=a(x-6)^2+4$
2. 求点$B$的横坐标
$y_2$的对称轴为直线$x=0$，$y_3$的对称轴为直线$x=6$，两个抛物线二次项系数相同，开口大小、方向一致，因此交点$B$的横坐标为两条对称轴的中点：
$x_B=\frac{0+6}{2}=3$
3. 求点$A$的横坐标
由图象可知$A$在$B$右侧，已知两点横坐标差为1，因此：
$x_A=3+1=4$
4. 列方程求解$a$
点$A$是$y_1$和$y_3$的交点，即$x=4$时$y_1=y_3$，代入解析式得：
$a×4^2=a×(4-6)^2+4$
$16a=4a+4$
$12a=4$
解得$a=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数对称性，二次函数交点计算
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，解题关键是灵活运用同开口抛物线的对称特征快速确定交点横坐标，再结合交点的函数值相等列方程求解，能有效检验对二次函数性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.65

12.已知点$A(2,-2)$和点$B(-4,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上。
(1)求$a$的值及点$B$的坐标；
(2)将抛物线$y=ax^2(a≠0)$先向右，再向下平移，记平移后点$A$的对应点为$A'$，点$B$的对应点为$B'$，若四边形$ABB'A'$为正方形，求此时抛物线的表达式。

12. (1)把点$A(2,-2)$代入$y=ax^2$,得到$a=-\frac{1}{2}$,$\therefore$抛物线为$y=-\frac{1}{2}x^2$,$\therefore x=-4$时,$y=-8$,$\therefore$点B的坐标为$(-4,-8)$
(2)如图,四边形$ABB'A'$是正方形。过点A作y轴的垂线,过点$A'$,点B作x轴的垂线得到点E,F。$\because$直线AB的解析式为$y=x-4$,$\therefore△ ABF,△ AA'E$都是等腰直角三角形。$\because AB=AA'=6\sqrt{2}$,$\therefore AE=A'E=6$,$\therefore$点$A'$坐标为$(8,-8)$,$\therefore$点A到点$A'$是向右平移6个单位,向下平移6个单位,$\therefore$抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点$(0,0)$,向右平移6个单位,向下平移6个单位后为$(6,-6)$,$\therefore$此时抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2-6$

【分析】
(1) 求a的值和点B坐标时，利用抛物线上的点满足抛物线解析式的性质，先将已知点A的坐标代入$y=ax^2$求解a，得到完整的抛物线解析式后，再将点B的横坐标代入解析式即可求出纵坐标，得到点B的坐标。
(2) 求平移后的抛物线表达式，核心是确定抛物线的平移方向和距离：先根据A、B的坐标计算线段AB的长度，结合坐标差判断△ABF为等腰直角三角形，再利用正方形四边相等、邻边垂直的性质，推出点A到对应点$A'$的平移距离，最后根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，即可得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
(1) 将点$A(2,-2)$代入$y=ax^2$，得：
$-2=a× 2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
将点B的横坐标$x=-4$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{2}× (-4)^2=-8$
即点B的坐标为$(-4,-8)$。
(2) 过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点F。
由$A(2,-2)$、$B(-4,-8)$得：$AF=\vert -2 - (-8)\vert=6$，$BF=\vert 2 - (-4)\vert=6$，因此△ABF为等腰直角三角形，$AB=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，∠BAF=45°。
∵ 四边形$ABB'A'$是正方形，
∴ $AA'=AB=6\sqrt{2}$，∠BAA'=90°，则∠A'AE=45°（过A作x轴平行线，过$A'$作x轴的垂线，垂足为E），△AA'E也为等腰直角三角形。
因此$AE=A'E=\frac{AA'}{\sqrt{2}}=6$，即点A向右平移6个单位、向下平移6个单位得到$A'$，抛物线的平移方式与点的平移方式一致。
原抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后顶点坐标为$(6,-6)$，因此平移后抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2-6$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$，点B的坐标为$(-4,-8)$；
(2) 如图，此时抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2-6$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，正方形的性质
【点评】
本题将二次函数的基础运算与几何图形性质相结合，既考查了二次函数解析式求解、图象平移的基础知识点，又需要结合正方形的性质推导平移距离，能有效锻炼数形结合的应用能力，解题的关键是准确找到抛物线的平移规律。
【难度系数】
0.7