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10. 如图，$∠ ACB=90°, AB=13, AC=12, ∠ BCM=∠ BAC$。
(1) 求 $\sin∠ BAC$ 的值。
(2) 求点B到直线MC的距离。
(1) 求 $\sin∠ BAC$ 的值。
(2) 求点B到直线MC的距离。
答案
10. (1)$\frac{5}{13}$ (2)$\frac{25}{13}$
解析
【分析】
(1) 首先观察△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边AC的长度，先利用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，再根据正弦函数的定义，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即可求出sin∠BAC的值。
(2) 求点B到直线MC的距离，需先过点B作MC的垂线，垂线段的长度即为所求距离；结合已知∠BCM=∠BAC，可得两个角的正弦值相等，在构造的直角三角形中，利用正弦的定义列式即可算出所求距离。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
根据正弦的定义，$\sin∠ BAC=\frac{∠BAC的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
(2) 过点B作$BD⊥ MC$于点D，则BD的长度就是点B到直线MC的距离。
∵$∠ BCM=∠ BAC$
∴$\sin∠ BCM=\sin∠ BAC=\frac{5}{13}$
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，$\sin∠ BCM=\frac{BD}{BC}$
∴$BD=BC·\sin∠ BCM=5×\frac{5}{13}=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{13}$；(2) $\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质，第一问直接利用勾股定理和正弦定义即可求解，第二问通过作垂线构造直角三角形，结合等角的三角函数值相等的性质即可算出结果，考查了学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边AC的长度，先利用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，再根据正弦函数的定义，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，即可求出sin∠BAC的值。
(2) 求点B到直线MC的距离，需先过点B作MC的垂线，垂线段的长度即为所求距离；结合已知∠BCM=∠BAC，可得两个角的正弦值相等，在构造的直角三角形中，利用正弦的定义列式即可算出所求距离。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
根据正弦的定义，$\sin∠ BAC=\frac{∠BAC的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
(2) 过点B作$BD⊥ MC$于点D，则BD的长度就是点B到直线MC的距离。
∵$∠ BCM=∠ BAC$
∴$\sin∠ BCM=\sin∠ BAC=\frac{5}{13}$
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，$\sin∠ BCM=\frac{BD}{BC}$
∴$BD=BC·\sin∠ BCM=5×\frac{5}{13}=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{13}$；(2) $\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质，第一问直接利用勾股定理和正弦定义即可求解，第二问通过作垂线构造直角三角形，结合等角的三角函数值相等的性质即可算出结果，考查了学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则$\sin∠ ACB$的值为
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
。答案
11. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要计算$\sin∠ACB$的值，可按以下思路求解：首先设每个小正方形的边长为1，将所求锐角置于直角三角形中计算：1. 先用勾股定理求出$AC$、$BC$的长度，再通过割补法计算$△ ABC$的面积；2. 过点$A$作$AH⊥BC$，垂足为$H$，利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求出高$AH$的长度；3. 根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ACB$等于$∠ACB$的对边$AH$与斜边$AC$的比值，代入数值化简即可得到结果。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算边长：由勾股定理可得，$AC=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$；
2. 计算$△ ABC$的面积：通过割补法可得$S_{△ ABC}=6\sqrt{5}$；
3. 求高$AH$：由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH$，代入数据得$6\sqrt{5}=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×AH$，解得$AH=4$；
4. 计算$\sin∠ACB$：根据正弦的定义，$\sin∠ACB=\frac{AH}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，网格面积计算
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求值的常见题型，解题的核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，结合面积法、勾股定理得到所需边长，再利用三角函数定义计算，设小正方形边长为1是此类题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
要计算$\sin∠ACB$的值，可按以下思路求解：首先设每个小正方形的边长为1，将所求锐角置于直角三角形中计算：1. 先用勾股定理求出$AC$、$BC$的长度，再通过割补法计算$△ ABC$的面积；2. 过点$A$作$AH⊥BC$，垂足为$H$，利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求出高$AH$的长度；3. 根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ACB$等于$∠ACB$的对边$AH$与斜边$AC$的比值，代入数值化简即可得到结果。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算边长：由勾股定理可得，$AC=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$；
2. 计算$△ ABC$的面积：通过割补法可得$S_{△ ABC}=6\sqrt{5}$；
3. 求高$AH$：由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH$，代入数据得$6\sqrt{5}=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×AH$，解得$AH=4$；
4. 计算$\sin∠ACB$：根据正弦的定义，$\sin∠ACB=\frac{AH}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，网格面积计算
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求值的常见题型，解题的核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，结合面积法、勾股定理得到所需边长，再利用三角函数定义计算，设小正方形边长为1是此类题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
12.如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α要满足$60°≤α≤75°$,现有一架长5.5 m的梯子。
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)?
(2)当梯子底端距离墙面2.2 m时,α等于多少度(结果保留小数点后一位)?此时人是否能够安全使用这架梯子?
(参考数据:$\sin75°\approx0.97,\cos75°\approx0.26,\tan75°\approx3.73,\sin23.6°\approx0.40,\cos66.4°\approx0.40,\tan21.8°\approx0.40$)
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)?
(2)当梯子底端距离墙面2.2 m时,α等于多少度(结果保留小数点后一位)?此时人是否能够安全使用这架梯子?
(参考数据:$\sin75°\approx0.97,\cos75°\approx0.26,\tan75°\approx3.73,\sin23.6°\approx0.40,\cos66.4°\approx0.40,\tan21.8°\approx0.40$)
答案
12. (1)5.3 m
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\cos α =\frac{BC}{AB}=0.4$,则$α \approx 66.4°$。$\because 60°≤66.4°≤75°$,$\therefore$此时人能够安全使用这架梯子
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\cos α =\frac{BC}{AB}=0.4$,则$α \approx 66.4°$。$\because 60°≤66.4°≤75°$,$\therefore$此时人能够安全使用这架梯子
解析
【分析】
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 要使攀上的墙最高，需梯子与地面的夹角α取允许的最大值75°，在Rt△ABC中，墙高AC是∠α的对边，梯子AB是斜边，选择正弦函数即可求出AC的最大值；
(2) 已知梯子底端到墙面的距离BC是∠α的邻边，梯子AB是斜边，选择余弦函数求出cosα的值，结合参考数据得到α的度数，再和安全角度范围$60°≤α≤75°$对比，判断是否安全。
【解析】
(1) 当α=75°时，可攀上的墙高最高，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦函数定义：
$\sinα=\frac{AC}{AB}$
代入$AB=5.5\mathrm{m}$，$\sin75°\approx0.97$，得：
$AC=AB·\sin75°\approx5.5×0.97\approx5.3\mathrm{m}$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据余弦函数定义：
$\cosα=\frac{BC}{AB}=\frac{2.2}{5.5}=0.4$
由参考数据$\cos66.4°\approx0.4$，得$α\approx66.4°$
$\because 60°≤66.4°≤75°$，符合安全角度要求，因此此时人能够安全使用这架梯子。
【答案】
(1)5.3 m
(2)$α\approx66.4°$，此时人能够安全使用这架梯子
【知识点】
解直角三角形的应用、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题的核心是准确判断直角三角形中边角的对应关系，选择合适的三角函数列式计算，同时要结合题目给出的参考数据和限定范围验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 要使攀上的墙最高，需梯子与地面的夹角α取允许的最大值75°，在Rt△ABC中，墙高AC是∠α的对边，梯子AB是斜边，选择正弦函数即可求出AC的最大值；
(2) 已知梯子底端到墙面的距离BC是∠α的邻边，梯子AB是斜边，选择余弦函数求出cosα的值，结合参考数据得到α的度数，再和安全角度范围$60°≤α≤75°$对比，判断是否安全。
【解析】
(1) 当α=75°时，可攀上的墙高最高，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦函数定义：
$\sinα=\frac{AC}{AB}$
代入$AB=5.5\mathrm{m}$，$\sin75°\approx0.97$，得：
$AC=AB·\sin75°\approx5.5×0.97\approx5.3\mathrm{m}$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据余弦函数定义：
$\cosα=\frac{BC}{AB}=\frac{2.2}{5.5}=0.4$
由参考数据$\cos66.4°\approx0.4$，得$α\approx66.4°$
$\because 60°≤66.4°≤75°$，符合安全角度要求，因此此时人能够安全使用这架梯子。
【答案】
(1)5.3 m
(2)$α\approx66.4°$，此时人能够安全使用这架梯子
【知识点】
解直角三角形的应用、锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题的核心是准确判断直角三角形中边角的对应关系，选择合适的三角函数列式计算，同时要结合题目给出的参考数据和限定范围验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
