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1. 已知一坡面的坡角为$30°$,则坡比为
（
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
（
A
）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. A
解析
【分析】
首先要明确坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，它等于坡角的正切值。本题已经给出坡角为30°，因此只需要计算30°角的正切值，即可得到对应的坡比，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
根据坡比的定义可知，坡比$i = \tanα$（其中$α$为坡面的坡角）。
已知坡角$α = 30°$，代入得：
$i = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度坡角问题；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是掌握坡比与坡角的对应关系，同时熟记常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先要明确坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，它等于坡角的正切值。本题已经给出坡角为30°，因此只需要计算30°角的正切值，即可得到对应的坡比，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
根据坡比的定义可知，坡比$i = \tanα$（其中$α$为坡面的坡角）。
已知坡角$α = 30°$，代入得：
$i = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度坡角问题；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是掌握坡比与坡角的对应关系，同时熟记常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，坡角为$30°$的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为（
A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
C
）A.4 m
B.$\sqrt{3}$ m
C.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
答案
2. C
解析
【分析】
本题可通过解直角三角形求解，首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=30°，邻边AC的长度为2m，要求斜边AB的长度，可利用余弦函数的定义建立已知量和未知量的关系，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2m。
根据余弦函数的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
变形可得$AB = \frac{AC}{\cos A}$，
将$AC=2m$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$AB=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形、余弦函数定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数在坡面问题中的基础应用，解题关键是明确直角三角形中边角的对应关系，牢记特殊角的三角函数值，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可通过解直角三角形求解，首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=30°，邻边AC的长度为2m，要求斜边AB的长度，可利用余弦函数的定义建立已知量和未知量的关系，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2m。
根据余弦函数的定义：$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
变形可得$AB = \frac{AC}{\cos A}$，
将$AC=2m$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$AB=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形、余弦函数定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数在坡面问题中的基础应用，解题关键是明确直角三角形中边角的对应关系，牢记特殊角的三角函数值，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,斜坡AC的坡度(坡比)为$1:\sqrt{3}$,AC=10 m。坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连,AB=14 m。则旗杆BC的高度为
6
m。答案
3. 6
解析
【分析】
首先利用坡度的定义构造直角三角形，先延长BC交AD于点E，可得BE⊥AD。第一步在Rt△AEC中，根据坡比$1:\sqrt{3}$设出CE和AE的长度，结合AC的长度用勾股定理算出CE、AE的长度；第二步在Rt△ABE中，已知AB和AE的长度，用勾股定理算出BE的长度；最后用BE的长度减去CE的长度，即可得到旗杆BC的高度。
【解析】
延长BC交AD于点E，则$BE⊥ AD$。
∵ 斜坡AC的坡比为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
设$CE=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数据：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$
化简得：$4x^2=100$，解得$x=5$（长度为正，舍去负根）。
∴ $CE=5\ \mathrm{m}$，$AE=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$
代入数据：$BE^2 + (5\sqrt{3})^2 = 14^2$
计算得：$BE^2 = 196 - 75 = 121$，
∴ $BE=11\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
∴ $BC=BE - CE=11 - 5=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
坡度坡角概念、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合坡度的定义和勾股定理逐步计算即可，解题时要注意各线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
首先利用坡度的定义构造直角三角形，先延长BC交AD于点E，可得BE⊥AD。第一步在Rt△AEC中，根据坡比$1:\sqrt{3}$设出CE和AE的长度，结合AC的长度用勾股定理算出CE、AE的长度；第二步在Rt△ABE中，已知AB和AE的长度，用勾股定理算出BE的长度；最后用BE的长度减去CE的长度，即可得到旗杆BC的高度。
【解析】
延长BC交AD于点E，则$BE⊥ AD$。
∵ 斜坡AC的坡比为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
设$CE=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数据：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$
化简得：$4x^2=100$，解得$x=5$（长度为正，舍去负根）。
∴ $CE=5\ \mathrm{m}$，$AE=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$
代入数据：$BE^2 + (5\sqrt{3})^2 = 14^2$
计算得：$BE^2 = 196 - 75 = 121$，
∴ $BE=11\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
∴ $BC=BE - CE=11 - 5=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
6
【知识点】
坡度坡角概念、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合坡度的定义和勾股定理逐步计算即可，解题时要注意各线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
4. 人字梯是现代家庭常用的工具(如图)。若AB，AC的长都为2 m，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是
1.5
m。(结果精确到0.1 m，参考依据：$\sin 50° \approx 0.77$，$\cos 50° \approx 0.64$，$\tan 50° \approx 1.19$)答案
4. 1.5
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先观察图形可知AD垂直于地面BC，因此△ADC是直角三角形；其次明确已知条件：斜边AC长为2m，锐角∠C=α=50°，要求的是∠C的对边AD的长度；最后根据锐角三角函数的定义，已知斜边求对边，选择正弦函数列式计算即可。
【解析】
由题意可知$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ C=α=50°$，
根据正弦函数的定义：$\sin C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AC}$，
可得$AD=AC·\sin50°$，
代入参考数据$\sin50°\approx0.77$，得：
$AD\approx2×0.77=1.54\approx1.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1.5
【知识点】
解直角三角形的应用；正弦函数的定义
【点评】
本题结合生活中的人字梯场景考查锐角三角函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，准确选择对应的三角函数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先观察图形可知AD垂直于地面BC，因此△ADC是直角三角形；其次明确已知条件：斜边AC长为2m，锐角∠C=α=50°，要求的是∠C的对边AD的长度；最后根据锐角三角函数的定义，已知斜边求对边，选择正弦函数列式计算即可。
【解析】
由题意可知$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ C=α=50°$，
根据正弦函数的定义：$\sin C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AC}$，
可得$AD=AC·\sin50°$，
代入参考数据$\sin50°\approx0.77$，得：
$AD\approx2×0.77=1.54\approx1.5\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1.5
【知识点】
解直角三角形的应用；正弦函数的定义
【点评】
本题结合生活中的人字梯场景考查锐角三角函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，准确选择对应的三角函数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC//AD，BE⊥AD于点E，AB=50 m，BC=30 m，∠A=60°，∠D=30°，求AD的长度。
答案
5. 130 m
解析
【分析】
要计算梯形下底AD的长度，可通过作辅助线将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形求解：首先过点C作CF⊥AD于F，易得四边形BEFC是矩形，可得EF=BC、CF=BE；先在Rt△ABE中利用∠A的三角函数求出AE、BE的长度，再在Rt△CFD中利用∠D的三角函数求出FD的长度，最后将AE、EF、FD相加即可得到AD的长。
【解析】
过点C作CF⊥AD于点F，
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=30m，CF=BE。
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=50m：
$AE = AB·\cos∠A = 50×\cos60° = 50×\frac{1}{2} = 25\mathrm{m}$，
$BE = AB·\sin∠A = 50×\sin60° = 50×\frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\mathrm{m}$，
∴$CF=BE=25\sqrt{3}\mathrm{m}$。
在Rt△CFD中，∠D=30°：
$\tan∠D = \frac{CF}{FD}$，
∴$FD = \frac{CF}{\tan30°} = 25\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{3}}{3} = 75\mathrm{m}$。
∴$AD = AE + EF + FD = 25 + 30 + 75 = 130\mathrm{m}$。
【答案】
130 m
【知识点】
解直角三角形；梯形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，解题关键是通过作高将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，结合特殊角的三角函数值计算对应边长，掌握辅助线的构造方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要计算梯形下底AD的长度，可通过作辅助线将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形求解：首先过点C作CF⊥AD于F，易得四边形BEFC是矩形，可得EF=BC、CF=BE；先在Rt△ABE中利用∠A的三角函数求出AE、BE的长度，再在Rt△CFD中利用∠D的三角函数求出FD的长度，最后将AE、EF、FD相加即可得到AD的长。
【解析】
过点C作CF⊥AD于点F，
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=30m，CF=BE。
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=50m：
$AE = AB·\cos∠A = 50×\cos60° = 50×\frac{1}{2} = 25\mathrm{m}$，
$BE = AB·\sin∠A = 50×\sin60° = 50×\frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\mathrm{m}$，
∴$CF=BE=25\sqrt{3}\mathrm{m}$。
在Rt△CFD中，∠D=30°：
$\tan∠D = \frac{CF}{FD}$，
∴$FD = \frac{CF}{\tan30°} = 25\sqrt{3} ÷ \frac{\sqrt{3}}{3} = 75\mathrm{m}$。
∴$AD = AE + EF + FD = 25 + 30 + 75 = 130\mathrm{m}$。
【答案】
130 m
【知识点】
解直角三角形；梯形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的应用，解题关键是通过作高将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，结合特殊角的三角函数值计算对应边长，掌握辅助线的构造方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
6. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置。已知AO＝4米，若栏杆的转角∠AOD＝31°，则栏杆端点A上升的垂直距离为（
（第6题）
A.$4\sin31°$米
B.$4\cos31°$米
C.$4\tan31°$米
D.$\dfrac{4}{\sin31°}$米
A
）（第6题）A.$4\sin31°$米
B.$4\cos31°$米
C.$4\tan31°$米
D.$\dfrac{4}{\sin31°}$米
答案
6. A
解析
【分析】
要求栏杆端点A上升的垂直距离，首先过旋转后的对应点D向原水平栏杆AB作垂线，得到直角三角形；结合旋转的性质可知OD=AO=4米，所求垂直距离就是该直角三角形中31°角的对边，可利用正弦函数的定义列式计算。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF的长即为栏杆端点A上升的垂直距离。
由旋转的性质可得：$OD = AO = 4$米。
在$Rt△ DOF$中，$∠ DFO=90°$，$∠ DOF=31°$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ DOF=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{DF}{OD}$，
因此$DF=OD·\sin31°=4\sin31°$（米）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合停车场栏杆的实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，再结合旋转性质和三角函数定义求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要求栏杆端点A上升的垂直距离，首先过旋转后的对应点D向原水平栏杆AB作垂线，得到直角三角形；结合旋转的性质可知OD=AO=4米，所求垂直距离就是该直角三角形中31°角的对边，可利用正弦函数的定义列式计算。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF的长即为栏杆端点A上升的垂直距离。
由旋转的性质可得：$OD = AO = 4$米。
在$Rt△ DOF$中，$∠ DFO=90°$，$∠ DOF=31°$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ DOF=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{DF}{OD}$，
因此$DF=OD·\sin31°=4\sin31°$（米）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合停车场栏杆的实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，再结合旋转性质和三角函数定义求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
