7. 右图所示为我国国旗上的五角星(即点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点)，已知AC=a，则此五角星的外接圆直径可表示为 ()

A.$ a \sin 72° $
B.$ \frac{a}{\tan 72°} $
C.$ \frac{a}{\cos 18°} $
D.$ \frac{a}{\cos 36°} $

7. C

【分析】
首先，已知五个点是⊙O的五等分点，可先计算出弧AC对应的圆心角度数；再通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理得到AC长度的一半与外接圆半径的关系，结合三角函数的性质转化，即可推导出外接圆直径的表达式。
【解析】
连接OA、OC，过点O作OF⊥AC于点F。
∵ 点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，
∴ 每段弧的度数为 $ 360° ÷ 5 = 72° $，
∴ 弧AC的度数为 $ 2×72°=144° $，即圆心角 $ ∠ AOC=144° $。
∵ OA=OC=r（r为⊙O的半径），OF⊥AC，
∴ 由垂径定理得 $ AF=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2} $，且 $ ∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOC=72° $。
在Rt△AOF中，$ \sin∠ AOF=\frac{AF}{OA} $，
代入得 $ \sin72°=\frac{\frac{a}{2}}{r} $，解得 $ r=\frac{a}{2\sin72°} $。
∴ 外接圆直径 $ d=2r=\frac{a}{\sin72°} $。
又
∵ 互余两角的三角函数关系：$ \sin72°=\sin(90°-18°)=\cos18° $，
∴ $ d=\frac{a}{\cos18°} $。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，解直角三角形
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与解直角三角形的应用，解题的核心是通过五等分点求出对应圆心角，构造直角三角形建立弦长与半径的边角关系，同时要熟练运用互余角的三角函数转换公式。
【难度系数】
0.6

8. 如图，某公路的一处弯道是一段圆弧 $\overset{\frown}{AB}$，点O是这条弧所在圆的圆心，C是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，OC与AB相交于点D。经测量，$AB=120\ \mathrm{m}$，$CD=20\ \mathrm{m}$，则这段弯道的长为 m（精确到1 m）。

8. 129

【分析】
解题时首先结合圆的性质思考：已知C是弧AB的中点，O是圆心，根据垂径定理可得OC垂直平分AB，得到直角三角形OAD。接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程即可求出半径。再通过解直角三角形求出圆心角∠AOB的度数，最后代入弧长公式计算弯道的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，O为圆心，
∴OC⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×120=60\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=OC-CD=(r-20)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入数据得：$r^2=(r-20)^2+60^2$
展开整理得：$r^2=r^2-40r+400+3600$
解得：$r=100$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}=\frac{60}{100}=0.6$，
∴$∠ AOD\approx36.87°$，
∴$∠ AOB=2∠ AOD\approx73.74°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}\approx\frac{73.74×3.14×100}{180}\approx129\ \mathrm{m}$。
【答案】
129
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题是圆的实际应用类题型，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解半径，再结合解直角三角形和弧长公式得到结果，注重考查几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

9. 2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射。如图，若飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上，且运行到地球表面P点的正上方F点时，直接看到地球表面一个最远的点是Q。若已知此时∠OQF=90°，OP=OQ≈6 400 km。在⊙O中，$\overset{\frown}{PQ}$的长为。（结果取整数，参考数据：cos 16°≈0.96，cos 18°≈0.95，cos 20°≈0.94，cos 22°≈0.93，π≈3.14）

9. 2010 km

【分析】
要求弧$\overset{\frown}{PQ}$的长度，需先明确弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此解题分为两步：第一步先求圆心角$∠ POQ$（即$α$）的度数，第二步代入弧长公式计算结果。首先根据已知条件先求出$OF$的长度，再在$Rt△ OQF$中利用余弦的定义求出$\cosα$的值，对照参考数据得到$α$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：由题意可知，$PF=330\ \mathrm{km}$，$OP=OQ=6400\ \mathrm{km}$，
$\therefore OF = OP + PF = 6400 + 330 = 6730\ \mathrm{km}$。
在$Rt△ OQF$中，$∠ OQF=90°$，
$\therefore \cosα = \frac{OQ}{OF} = \frac{6400}{6730}\approx0.95$。
结合参考数据$\cos18°\approx0.95$，可得$α\approx18°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{PQ}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{PQ}}=\frac{18×π×6400}{180}\approx\frac{18×3.14×6400}{180}=2009.6\approx2010\ \mathrm{km}$。
【答案】
$\boxed{2010\ \mathrm{km}}$
【知识点】
弧长计算；解直角三角形；余弦的定义
【点评】
本题结合航天热点背景，考查了直角三角形的边角关系和弧长公式的综合应用，解题的关键是先通过余弦值确定圆心角的度数，再代入公式求解，注重对基础公式和计算能力的考查。
【难度系数】
0.7

10. 如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC)从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中$\tan B=\dfrac{1}{5}$。

(1)如果楔子从木桩①的底端点P打入，并沿水平方向前进了10 cm，那么木桩①上升了多少厘米？
(2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为8 cm，两个木桩在同一水平上。施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点P和点Q打入木桩底下，木桩1比木桩2多上升4 cm。求两个木桩之间的施工预留水平间隙$l$（即两桩在楔子上的水平间距）。

10. (1)2 cm (2)12 cm

【分析】
（1）首先明确楔子的坡面与水平方向的夹角为∠B，木桩上升的竖直高度、楔子水平移动的距离满足直角三角形中正切的定义关系：$\tan B=\frac{\mathrm{竖直上升高度}}{\mathrm{水平移动距离}}$，代入已知数值即可直接求出木桩上升高度。
（2）先根据两个木桩的上升高度差，结合正切的定义求出对应水平距离的差值，该水平差值等于木桩自身水平宽度加预留间隙$l$，代入数值计算即可得到$l$的值。
【解析】
（1）设木桩①上升的高度为$h\ \mathrm{cm}$。
根据正切的定义可得：$\tan B=\frac{\mathrm{上升高度}}{\mathrm{水平前进距离}}$，
已知$\tan B=\frac{1}{5}$，水平前进距离为$10\ \mathrm{cm}$，
则$h=10×\tan B=10×\frac{1}{5}=2\ \mathrm{cm}$。
（2）设预留水平间隙为$l\ \mathrm{cm}$。
已知木桩①比木桩②多上升$4\ \mathrm{cm}$，设该高度差对应的水平距离差为$\Delta x$，
由$\tan B=\frac{\mathrm{高度差}}{\mathrm{水平距离差}}$，可得$\Delta x=\frac{\mathrm{高度差}}{\tan B}=\frac{4}{\frac{1}{5}}=20\ \mathrm{cm}$。
由题意可知水平距离差等于木桩宽度加预留间隙，即$\Delta x=8+l$，
解得$l=\Delta x-8=20-8=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
解直角三角形、正切的实际应用
【点评】
本题结合生活中的施工场景考查解直角三角形的应用，核心是准确理解正切函数中竖直量和水平量的对应关系，能将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7