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11. 如图,要在宽AB为20 m的瓯海大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC成$120°$角,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时照明效果最佳。若$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,则路灯的灯柱BC高度应该设计为
$8\sqrt{3}$
m。(计算结果保留根号)答案
11. $8\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时需通过添加辅助线构造直角三角形，结合已知角度和线段长度逐步推导：1. 延长OD交BC延长线于点E，构造出Rt△CDE和Rt△OBE两个直角三角形；2. 利用已知的120°角和垂直关系求出∠E=30°，先在小直角三角形中算出CE的长度；3. 根据O是AB中点得到OB的长度，再在大直角三角形中利用30°角的直角三角形性质算出BE的长度；4. 用BE减去CE即可得到灯柱BC的高度。
【解析】
解：延长OD交BC的延长线于点E。
∵ $DO ⊥ CD$，
∴ $∠ CDE=90°$
∵ $∠ DCB=120°$，
∴ $∠ DCE=180°-120°=60°$
在$Rt△ CDE$中，$∠ E=90°-60°=30°$
已知$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，根据含30°角的直角三角形性质，斜边$CE=2CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∵ O是AB的中点，$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{m}$
在$Rt△ OBE$中，$∠ B=90°$，$∠ E=30°$
由$\tan E=\frac{OB}{BE}$，得$BE=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $BC=BE-CE=10\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的相关性质，是该章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时需通过添加辅助线构造直角三角形，结合已知角度和线段长度逐步推导：1. 延长OD交BC延长线于点E，构造出Rt△CDE和Rt△OBE两个直角三角形；2. 利用已知的120°角和垂直关系求出∠E=30°，先在小直角三角形中算出CE的长度；3. 根据O是AB中点得到OB的长度，再在大直角三角形中利用30°角的直角三角形性质算出BE的长度；4. 用BE减去CE即可得到灯柱BC的高度。
【解析】
解：延长OD交BC的延长线于点E。
∵ $DO ⊥ CD$，
∴ $∠ CDE=90°$
∵ $∠ DCB=120°$，
∴ $∠ DCE=180°-120°=60°$
在$Rt△ CDE$中，$∠ E=90°-60°=30°$
已知$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，根据含30°角的直角三角形性质，斜边$CE=2CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∵ O是AB的中点，$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{m}$
在$Rt△ OBE$中，$∠ B=90°$，$∠ E=30°$
由$\tan E=\frac{OB}{BE}$，得$BE=\frac{OB}{\tan30°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $BC=BE-CE=10\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形的相关性质，是该章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
12. 水坝的横截面是梯形ABCD(如图1)，上底AD=4 m，坝高AM=DN=3 m，斜坡AB的坡比$i_1=1:\sqrt{3}$，斜坡DC的坡比$i_2=1:1$。
(1)求坝底BC的长(结果保留根号)。
(2)为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度(如图2)，使得水坝的上底EF=2 m，求水坝增加的高度(精确到0.1 m，参考数据$\sqrt{3}\approx1.73$)。
(1)求坝底BC的长(结果保留根号)。
(2)为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度(如图2)，使得水坝的上底EF=2 m，求水坝增加的高度(精确到0.1 m，参考数据$\sqrt{3}\approx1.73$)。
答案
12. (1)$(7+3\sqrt{3})\mathrm{m}$ (2)$0.7\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
(1) 求坝底BC的长时，可将BC拆分为BM、MN、NC三段求和：首先由AM、DN均为梯形的高，可得四边形AMND是矩形，因此MN=AD=4m；再根据坡比的定义（坡比为垂直高度与水平宽度的比值），分别利用斜坡AB、DC的坡比求出BM和NC的长度，三者相加即可得到BC的长。
(2) 设水坝增加的高度为x m，加固后新斜坡的坡度与原斜坡坡度保持不变，过E、F分别作AD的垂线，可得新的矩形EFQP，PQ=EF=2m，再根据坡比表示出AP、QD的长度，结合AP+PQ+QD=AD列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵AM⊥BC，DN⊥BC，AD//BC，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=4m，AM=DN=3m。
∵斜坡AB的坡比$i_1=AM:BM=1:\sqrt{3}$，
∴$\frac{3}{BM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$BM=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵斜坡DC的坡比$i_2=DN:NC=1:1$，
∴$\frac{3}{NC}=1$，解得$NC=3\ \mathrm{m}$。
∴$BC=BM+MN+NC=3\sqrt{3}+4+3=(7+3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 设水坝增加的高度为$x$ m，过E作$EP⊥ AD$于点P，过F作$FQ⊥ AD$于点Q，
则四边形EFQP为矩形，
∴$PQ=EF=2\ \mathrm{m}$，$EP=FQ=x\ \mathrm{m}$。
∵加固后斜坡坡度与原坡度一致，
∴$EP:AP=1:\sqrt{3}$，$FQ:QD=1:1$，
∴$AP=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，$QD=x\ \mathrm{m}$。
∵$AP+PQ+QD=AD$，
∴$\sqrt{3}x + 2 + x = 4$，
解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\approx1.73-1=0.73\approx0.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(7+3\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{0.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
坡度坡角问题，矩形的性质，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合水坝加固的实际场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是准确理解坡比的含义，将实际问题中的线段关系转化为几何图形中的边的计算，第二问需抓住坡度不变的隐含条件建立方程求解，难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求坝底BC的长时，可将BC拆分为BM、MN、NC三段求和：首先由AM、DN均为梯形的高，可得四边形AMND是矩形，因此MN=AD=4m；再根据坡比的定义（坡比为垂直高度与水平宽度的比值），分别利用斜坡AB、DC的坡比求出BM和NC的长度，三者相加即可得到BC的长。
(2) 设水坝增加的高度为x m，加固后新斜坡的坡度与原斜坡坡度保持不变，过E、F分别作AD的垂线，可得新的矩形EFQP，PQ=EF=2m，再根据坡比表示出AP、QD的长度，结合AP+PQ+QD=AD列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵AM⊥BC，DN⊥BC，AD//BC，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=4m，AM=DN=3m。
∵斜坡AB的坡比$i_1=AM:BM=1:\sqrt{3}$，
∴$\frac{3}{BM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$BM=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵斜坡DC的坡比$i_2=DN:NC=1:1$，
∴$\frac{3}{NC}=1$，解得$NC=3\ \mathrm{m}$。
∴$BC=BM+MN+NC=3\sqrt{3}+4+3=(7+3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 设水坝增加的高度为$x$ m，过E作$EP⊥ AD$于点P，过F作$FQ⊥ AD$于点Q，
则四边形EFQP为矩形，
∴$PQ=EF=2\ \mathrm{m}$，$EP=FQ=x\ \mathrm{m}$。
∵加固后斜坡坡度与原坡度一致，
∴$EP:AP=1:\sqrt{3}$，$FQ:QD=1:1$，
∴$AP=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，$QD=x\ \mathrm{m}$。
∵$AP+PQ+QD=AD$，
∴$\sqrt{3}x + 2 + x = 4$，
解得$x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\approx1.73-1=0.73\approx0.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(7+3\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{0.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
坡度坡角问题，矩形的性质，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合水坝加固的实际场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是准确理解坡比的含义，将实际问题中的线段关系转化为几何图形中的边的计算，第二问需抓住坡度不变的隐含条件建立方程求解，难度适中，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
