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1. 已知$\cos A · \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{4}$，则锐角$∠ A$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，先将已知的$\sin30°$代入原式，计算出$\cos A$的数值，再根据锐角的余弦值与角度的对应关系，即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，将其代入已知等式$\cos A · \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{4}$得：
$\cos A × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘2，解得：
$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$∠ A$是锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$∠ A=30°$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊角三角函数值的应用，熟练记忆30°、45°、60°等常见锐角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，先将已知的$\sin30°$代入原式，计算出$\cos A$的数值，再根据锐角的余弦值与角度的对应关系，即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，将其代入已知等式$\cos A · \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{4}$得：
$\cos A × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘2，解得：
$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$∠ A$是锐角，且$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$∠ A=30°$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊角三角函数值的应用，熟练记忆30°、45°、60°等常见锐角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a:b=3:4$，运用计算器计算，$∠ A$的度数为（精确到$1°$）（
A.$30°$
B.$37°$
C.$38°$
D.$39°$
B
）A.$30°$
B.$37°$
C.$38°$
D.$39°$
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题首先明确已知条件：直角三角形中两直角边的比为3:4，要求锐角∠A的度数。思考路径：第一步，回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，∠A的正切值等于它的对边a与邻边b的比值，刚好对应已知的边的比例关系；第二步，代入比例算出tanA的数值；第三步，使用计算器的反正切功能计算∠A的度数，最后按要求精确到1°即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切函数的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{a}{b}$
已知$a:b=3:4$，代入得：
$\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$
运用计算器计算反正切值，可得$∠ A \approx 37°$（精确到$1°$）。
【答案】
B
【知识点】
1. 正切函数的定义
2. 用计算器求锐角度数
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，核心是根据已知的边的比例关系选择对应的三角函数建立边角联系，解题时要注意近似值的精确度要求，避免因计算偏差出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确已知条件：直角三角形中两直角边的比为3:4，要求锐角∠A的度数。思考路径：第一步，回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，∠A的正切值等于它的对边a与邻边b的比值，刚好对应已知的边的比例关系；第二步，代入比例算出tanA的数值；第三步，使用计算器的反正切功能计算∠A的度数，最后按要求精确到1°即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切函数的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{a}{b}$
已知$a:b=3:4$，代入得：
$\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$
运用计算器计算反正切值，可得$∠ A \approx 37°$（精确到$1°$）。
【答案】
B
【知识点】
1. 正切函数的定义
2. 用计算器求锐角度数
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，核心是根据已知的边的比例关系选择对应的三角函数建立边角联系，解题时要注意近似值的精确度要求，避免因计算偏差出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\tan A=1.7321$，用计算器求锐角$A$，得到$∠ A\approx$
$60°$
（精确到$1°$）。答案
3. $60°$
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：已知锐角的正切值求角度，结果精确到1°。首先可联想特殊角的三角函数值，tan60°=√3≈1.732，和题干给出的1.7321非常接近；也可以通过计算器操作求解：先将计算器调整为角度模式，调用反正切（arctan）功能输入数值1.7321，得到结果后按要求四舍五入到1°即可。
【解析】
1. 回忆特殊角的正切值：$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，与题目给出的$\tan A=1.7321$误差极小。
2. 若使用计算器验证，先将计算器切换至角度模式，输入$\arctan(1.7321)$，计算可得结果约为$60.002°$。
3. 按照精确到$1°$的要求四舍五入，得$∠ A\approx60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
锐角三角函数计算、特殊角的三角函数值、近似数取值
【点评】
本题是基础题型，考查已知三角函数值求对应锐角的能力，既可以通过熟记特殊角的三角函数值快速判断结果，也可以借助计算器运算求解，注意最终结果要符合题目要求的精度。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求：已知锐角的正切值求角度，结果精确到1°。首先可联想特殊角的三角函数值，tan60°=√3≈1.732，和题干给出的1.7321非常接近；也可以通过计算器操作求解：先将计算器调整为角度模式，调用反正切（arctan）功能输入数值1.7321，得到结果后按要求四舍五入到1°即可。
【解析】
1. 回忆特殊角的正切值：$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，与题目给出的$\tan A=1.7321$误差极小。
2. 若使用计算器验证，先将计算器切换至角度模式，输入$\arctan(1.7321)$，计算可得结果约为$60.002°$。
3. 按照精确到$1°$的要求四舍五入，得$∠ A\approx60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
锐角三角函数计算、特殊角的三角函数值、近似数取值
【点评】
本题是基础题型，考查已知三角函数值求对应锐角的能力，既可以通过熟记特殊角的三角函数值快速判断结果，也可以借助计算器运算求解，注意最终结果要符合题目要求的精度。
【难度系数】
0.9
4. 如图，水坝的迎水坡AB=25 m，坝高为$5\sqrt{5}$ m，则坡角 α≈
$26°33'54''$
（精确到1″）。答案
4. $26°33'54''$
解析
【分析】
要求坡角α的大小，首先明确坡角是坡面与水平面的夹角，我们可以过点A作水平面的垂线构造直角三角形。在直角三角形中，已知坡面AB的长度（斜边）和坝高（角α的对边），可先根据正弦函数的定义求出sinα的值，再通过反正弦运算求出α的度数，最后将度数换算为度分秒的形式，精确到1秒即可。
【解析】
过点A作水平面的垂线，垂足为C，则AC为坝高，$AC=5\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
代入$AC=5\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$AB=25\ \mathrm{m}$，得：
$\sinα=\frac{5\sqrt{5}}{25}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.4472136$
利用反正弦计算角度：$α=\arcsin0.4472136\approx26.56505°$
将度数的小数部分换算为分：$0.56505°×60\approx33.903'$
将分的小数部分换算为秒：$0.903'×60\approx54''$
因此$α\approx26°33'54''$。
【答案】
$26°33'54''$
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 正弦函数定义
3. 度分秒换算
【点评】
本题是坡角相关的实际应用题，解题关键是构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义求出对应三角函数值，再完成角度的计算与单位换算，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求坡角α的大小，首先明确坡角是坡面与水平面的夹角，我们可以过点A作水平面的垂线构造直角三角形。在直角三角形中，已知坡面AB的长度（斜边）和坝高（角α的对边），可先根据正弦函数的定义求出sinα的值，再通过反正弦运算求出α的度数，最后将度数换算为度分秒的形式，精确到1秒即可。
【解析】
过点A作水平面的垂线，垂足为C，则AC为坝高，$AC=5\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正弦函数的定义：
$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
代入$AC=5\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$AB=25\ \mathrm{m}$，得：
$\sinα=\frac{5\sqrt{5}}{25}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.4472136$
利用反正弦计算角度：$α=\arcsin0.4472136\approx26.56505°$
将度数的小数部分换算为分：$0.56505°×60\approx33.903'$
将分的小数部分换算为秒：$0.903'×60\approx54''$
因此$α\approx26°33'54''$。
【答案】
$26°33'54''$
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 正弦函数定义
3. 度分秒换算
【点评】
本题是坡角相关的实际应用题，解题关键是构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义求出对应三角函数值，再完成角度的计算与单位换算，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5.已知三角函数值,用计算器求锐角A的度数(精确到$1°$)。
(1)$\sin A=0.8660$。
(2)$\cos A=0.7071$。
(3)$\tan A=0.5774$。
(1)$\sin A=0.8660$。
(2)$\cos A=0.7071$。
(3)$\tan A=0.5774$。
答案
5. (1)$60°$ (2)$45°$ (3)$30°$
解析
【分析】
本题考查已知锐角三角函数值求锐角的度数，解题思路如下：①方法一：使用计算器求解，先将计算器调整为角度模式，根据三角函数类型选择对应的反三角函数键（正弦对应$\sin^{-1}$、余弦对应$\cos^{-1}$、正切对应$\tan^{-1}$），输入对应三角函数值后读取结果，再按要求精确到$1°$即可；②方法二：结合已掌握的30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，直接匹配数值得到角度，两种方法可互相验证结果。
【解析】
(1) 已知$\sin A=0.8660$，特殊角三角函数值中$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$，也可通过计算器按下$\sin^{-1}$键输入0.8660，得到结果约为$60°$，因此$∠ A\approx60°$。
(2) 已知$\cos A=0.7071$，特殊角三角函数值中$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7071$，也可通过计算器按下$\cos^{-1}$键输入0.7071，得到结果约为$45°$，因此$∠ A\approx45°$。
(3) 已知$\tan A=0.5774$，特殊角三角函数值中$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.5774$，也可通过计算器按下$\tan^{-1}$键输入0.5774，得到结果约为$30°$，因此$∠ A\approx30°$。
【答案】
(1)$60°$ (2)$45°$ (3)$30°$
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 特殊角的三角函数值
3. 计算器求锐角角度
【点评】
本题属于基础运算类题目，既可以通过计算器直接求解，也可以通过记忆特殊角的三角函数值快速得出答案，解题时要注意计算器需切换为角度模式，避免因模式错误得到错误结果，最终结果要按要求的精度保留。
【难度系数】
0.9
本题考查已知锐角三角函数值求锐角的度数，解题思路如下：①方法一：使用计算器求解，先将计算器调整为角度模式，根据三角函数类型选择对应的反三角函数键（正弦对应$\sin^{-1}$、余弦对应$\cos^{-1}$、正切对应$\tan^{-1}$），输入对应三角函数值后读取结果，再按要求精确到$1°$即可；②方法二：结合已掌握的30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，直接匹配数值得到角度，两种方法可互相验证结果。
【解析】
(1) 已知$\sin A=0.8660$，特殊角三角函数值中$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$，也可通过计算器按下$\sin^{-1}$键输入0.8660，得到结果约为$60°$，因此$∠ A\approx60°$。
(2) 已知$\cos A=0.7071$，特殊角三角函数值中$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7071$，也可通过计算器按下$\cos^{-1}$键输入0.7071，得到结果约为$45°$，因此$∠ A\approx45°$。
(3) 已知$\tan A=0.5774$，特殊角三角函数值中$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.5774$，也可通过计算器按下$\tan^{-1}$键输入0.5774，得到结果约为$30°$，因此$∠ A\approx30°$。
【答案】
(1)$60°$ (2)$45°$ (3)$30°$
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 特殊角的三角函数值
3. 计算器求锐角角度
【点评】
本题属于基础运算类题目，既可以通过计算器直接求解，也可以通过记忆特殊角的三角函数值快速得出答案，解题时要注意计算器需切换为角度模式，避免因模式错误得到错误结果，最终结果要按要求的精度保留。
【难度系数】
0.9
6. 如图,在矩形ABCD中$,AD=1,AB=\sqrt{3},$该矩形的两条对角线所成锐角的度数为 (
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
C
)A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线被交点分成的四条线段长度相等，可得到等腰三角形。要求两条对角线所成锐角的度数，可先在矩形的直角三角形中利用勾股定理求出对角线的长度，再结合等腰三角形的性质和三角形内角和，计算出对角线夹角的度数，筛选出锐角即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，对角线AC=BD，且OA=½AC，OB=½BD，
∴ OA=OB，△AOB为等腰三角形。
在Rt△ABD中，AD=1，AB=√3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$，
∴ $OB=OA=\frac{1}{2}BD=1$。
在Rt△ABD中，$\sin∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴ ∠ABD=30°，
∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA=30°，
在△AOB中，∠AOB=180°-30°-30°=120°，
则两条对角线所成的锐角为180°-120°=60°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的相关性质计算角度，掌握特殊角的三角函数值能加快解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线被交点分成的四条线段长度相等，可得到等腰三角形。要求两条对角线所成锐角的度数，可先在矩形的直角三角形中利用勾股定理求出对角线的长度，再结合等腰三角形的性质和三角形内角和，计算出对角线夹角的度数，筛选出锐角即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，对角线AC=BD，且OA=½AC，OB=½BD，
∴ OA=OB，△AOB为等腰三角形。
在Rt△ABD中，AD=1，AB=√3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$，
∴ $OB=OA=\frac{1}{2}BD=1$。
在Rt△ABD中，$\sin∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴ ∠ABD=30°，
∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA=30°，
在△AOB中，∠AOB=180°-30°-30°=120°，
则两条对角线所成的锐角为180°-120°=60°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的相关性质计算角度，掌握特殊角的三角函数值能加快解题速度。
【难度系数】
0.8
7. 已知$\cos α ＜ 0.5$，那么锐角$α$的取值范围是（
A.$60° ＜ α ＜ 90°$
B.$0 ＜ α ＜ 60°$
C.$30° ＜ α ＜ 90°$
D.$0° ＜ α ＜ 30°$
A
）A.$60° ＜ α ＜ 90°$
B.$0 ＜ α ＜ 60°$
C.$30° ＜ α ＜ 90°$
D.$0° ＜ α ＜ 30°$
答案
7. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆两个核心知识：一是特殊角的三角函数值，二是锐角余弦函数的增减性。首先先找到余弦值等于0.5对应的锐角，再根据余弦值随角度变化的规律，判断$\cosα＜0.5$时对应的角度范围，最后结合$α$是锐角的限制确定最终取值范围。
【解析】
1. 先确定特殊角的余弦值：由特殊角的三角函数值可知，$\cos60°=0.5$。
2. 明确锐角余弦的增减性：在$0°＜α＜90°$的范围内，余弦值随角度的增大而减小。
3. 结合已知条件推导角度范围：
已知$\cosα＜0.5$，即$\cosα＜\cos60°$，根据上述增减性可得$α＞60°$。
又因为$α$是锐角，所以$α＜90°$。
综上，锐角$α$的取值范围是$60°＜α＜90°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握锐角余弦函数的变化规律，结合特殊角的三角函数值即可快速判断角度范围，注意不要混淆正弦和余弦的增减性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆两个核心知识：一是特殊角的三角函数值，二是锐角余弦函数的增减性。首先先找到余弦值等于0.5对应的锐角，再根据余弦值随角度变化的规律，判断$\cosα＜0.5$时对应的角度范围，最后结合$α$是锐角的限制确定最终取值范围。
【解析】
1. 先确定特殊角的余弦值：由特殊角的三角函数值可知，$\cos60°=0.5$。
2. 明确锐角余弦的增减性：在$0°＜α＜90°$的范围内，余弦值随角度的增大而减小。
3. 结合已知条件推导角度范围：
已知$\cosα＜0.5$，即$\cosα＜\cos60°$，根据上述增减性可得$α＞60°$。
又因为$α$是锐角，所以$α＜90°$。
综上，锐角$α$的取值范围是$60°＜α＜90°$。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握锐角余弦函数的变化规律，结合特殊角的三角函数值即可快速判断角度范围，注意不要混淆正弦和余弦的增减性。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AC$边上的中线$BD=5$，$AB=8$，则$\cos∠ ACB=$
$\frac{3}{5}$
。答案
8. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
首先观察题目特征，△ABC是直角三角形，且已知斜边的中线长度，可先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AC的长度；再结合已知的直角边AB的长度，用勾股定理求出另一条直角边BC的长度；最后根据锐角余弦的定义，即锐角的邻边与斜边的比值，计算出cos∠ACB的值。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠B=90°，BD是AC边上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AC = 2BD = 2×5 = 10$
又已知$AB=8$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$
根据余弦的定义，$\cos∠ ACB = \frac{\mathrm{∠ACB的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角三角函数的定义，先求出斜边长度是解题的突破口，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察题目特征，△ABC是直角三角形，且已知斜边的中线长度，可先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AC的长度；再结合已知的直角边AB的长度，用勾股定理求出另一条直角边BC的长度；最后根据锐角余弦的定义，即锐角的邻边与斜边的比值，计算出cos∠ACB的值。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠B=90°，BD是AC边上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AC = 2BD = 2×5 = 10$
又已知$AB=8$，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$
根据余弦的定义，$\cos∠ ACB = \frac{\mathrm{∠ACB的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角三角函数的定义，先求出斜边长度是解题的突破口，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
9. 如图,已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4:5,E是AB上一点,沿CE将△EBC向上翻折,若点B恰好落在边AD上的点F,则tan∠DCF 
答案
9. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：1. 要计算$\tan∠ DCF$，根据正切的定义，需先确定$∠ DCF$所在直角三角形的两条直角边的比值；2. 翻折变换的核心性质是对应边相等，可得翻折后$CF=BC$；3. 结合矩形的性质可知$CD=AB$，$∠ D$为直角，再利用已知的$AB:BC=4:5$的比例关系，通过勾股定理求出$DF$的长度，最终就能算出$\tan∠ DCF$的值。
【解析】
解：设$AB=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore CD=AB=4k$，$∠ D=90°$，$BC=AD=5k$，
$\because$沿$CE$将$△ EBC$向上翻折，点$B$落在$AD$上的点$F$处，
$\therefore CF=BC=5k$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$，
$\therefore \tan∠ DCF=\dfrac{DF}{CD}=\dfrac{3k}{4k}=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
翻折的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是利用翻折的性质得到相等的边，结合矩形的直角特征，通过勾股定理求出未知边的长度，再代入正切定义计算即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：1. 要计算$\tan∠ DCF$，根据正切的定义，需先确定$∠ DCF$所在直角三角形的两条直角边的比值；2. 翻折变换的核心性质是对应边相等，可得翻折后$CF=BC$；3. 结合矩形的性质可知$CD=AB$，$∠ D$为直角，再利用已知的$AB:BC=4:5$的比例关系，通过勾股定理求出$DF$的长度，最终就能算出$\tan∠ DCF$的值。
【解析】
解：设$AB=4k$，$BC=5k$（$k＞0$），
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore CD=AB=4k$，$∠ D=90°$，$BC=AD=5k$，
$\because$沿$CE$将$△ EBC$向上翻折，点$B$落在$AD$上的点$F$处，
$\therefore CF=BC=5k$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$，
$\therefore \tan∠ DCF=\dfrac{DF}{CD}=\dfrac{3k}{4k}=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
翻折的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是利用翻折的性质得到相等的边，结合矩形的直角特征，通过勾股定理求出未知边的长度，再代入正切定义计算即可。
【难度系数】
0.7
