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【例1】如图，写出符合下列条件的角（图中所有的角都是指小于平角的角）.
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以A为顶点的角；
(3)所有小于平角的角.
解:
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以A为顶点的角；
(3)所有小于平角的角.
解:
答案
(1)$∠B,∠C$.
(2)$∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB$.
(3)$∠C,∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB,∠B,∠3$(或$∠ADC$),$∠4$(或$∠ADB$).
(2)$∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB$.
(3)$∠C,∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB,∠B,∠3$(或$∠ADC$),$∠4$(或$∠ADB$).
解析
【分析】
解题前先明确核心规则：①只有当顶点处仅有1个小于平角的角时，才能用一个大写字母表示该角，否则会产生歧义；②找指定顶点的角时，先列出该顶点出发的所有射线，按顺序两两组合计数可避免漏数；③找所有小于平角的角时，可按顶点分类逐个枚举，能有效避免重复或漏数。
具体思考路径：
(1) 逐一判断各顶点的角的数量，筛选出顶点处只有1个小于平角的角的顶点，即可得到能用单大写字母表示的角；
(2) 先找出以A为端点的所有射线，再两两组合得到所有以A为顶点的小于平角的角；
(3) 按顶点C、A、B、D的顺序依次枚举所有小于平角的角，汇总即可。
【解析】
(1) 能用一个大写字母表示的角需满足顶点处仅有1个小于平角的角，观察图形可知，顶点B、C处各只有1个符合要求的角，因此为$\boldsymbol{∠B,∠C}$。
(2) 以A为顶点的射线有AC、AD、AB共3条，两两组合形成的小于平角的角为：AC与AD的夹角$∠1$（或$∠CAD$）、AD与AB的夹角$∠2$（或$∠DAB$）、AC与AB的夹角$∠CAB$。
(3) 按顶点分类枚举所有小于平角的角：顶点C处的$∠C$，顶点A处的$∠1$（或$∠CAD$）、$∠2$（或$∠DAB$）、$∠CAB$，顶点B处的$∠B$，顶点D处的$∠3$（或$∠ADC$）、$∠4$（或$∠ADB$），以上均为符合要求的角。
【答案】
(1)$∠B,∠C$.
(2)$∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB$.
(3)$∠C,∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB,∠B,∠3$(或$∠ADC$),$∠4$(或$∠ADB$).
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的基础概念应用题，解题关键是牢记角的不同表示方法的适用规则，计数时采用分类枚举的思路可有效避免漏数、重复数的问题，是角相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
解题前先明确核心规则：①只有当顶点处仅有1个小于平角的角时，才能用一个大写字母表示该角，否则会产生歧义；②找指定顶点的角时，先列出该顶点出发的所有射线，按顺序两两组合计数可避免漏数；③找所有小于平角的角时，可按顶点分类逐个枚举，能有效避免重复或漏数。
具体思考路径：
(1) 逐一判断各顶点的角的数量，筛选出顶点处只有1个小于平角的角的顶点，即可得到能用单大写字母表示的角；
(2) 先找出以A为端点的所有射线，再两两组合得到所有以A为顶点的小于平角的角；
(3) 按顶点C、A、B、D的顺序依次枚举所有小于平角的角，汇总即可。
【解析】
(1) 能用一个大写字母表示的角需满足顶点处仅有1个小于平角的角，观察图形可知，顶点B、C处各只有1个符合要求的角，因此为$\boldsymbol{∠B,∠C}$。
(2) 以A为顶点的射线有AC、AD、AB共3条，两两组合形成的小于平角的角为：AC与AD的夹角$∠1$（或$∠CAD$）、AD与AB的夹角$∠2$（或$∠DAB$）、AC与AB的夹角$∠CAB$。
(3) 按顶点分类枚举所有小于平角的角：顶点C处的$∠C$，顶点A处的$∠1$（或$∠CAD$）、$∠2$（或$∠DAB$）、$∠CAB$，顶点B处的$∠B$，顶点D处的$∠3$（或$∠ADC$）、$∠4$（或$∠ADB$），以上均为符合要求的角。
【答案】
(1)$∠B,∠C$.
(2)$∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB$.
(3)$∠C,∠1$(或$∠CAD$),$∠2$(或$∠DAB$),$∠CAB,∠B,∠3$(或$∠ADC$),$∠4$(或$∠ADB$).
【知识点】
角的表示方法；角的计数；平角的概念
【点评】
本题是角的基础概念应用题，解题关键是牢记角的不同表示方法的适用规则，计数时采用分类枚举的思路可有效避免漏数、重复数的问题，是角相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
1.如图，图中所有的角都是指小于平角的角.
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来.
（2）请分别指出以射线BA为边的角.
（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来.
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来.
（2）请分别指出以射线BA为边的角.
（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来.
答案
(1)以点B为顶点的角有3个,分别为$∠ABC,∠ABD,∠DBC$.
(2)以射线BA为边的角:$∠ABE,∠ABC$.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有2个,分别为$∠BDC,∠EDC$.
(2)以射线BA为边的角:$∠ABE,∠ABC$.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有2个,分别为$∠BDC,∠EDC$.
解析
【分析】
解决这类角的识别与计数问题，首先要明确角的定义：由有公共顶点的两条射线组成的图形，且本题要求所有角均为小于平角的角。解题时采用“固定要素法”：①找以某点为顶点的角时，先固定该顶点，有序枚举从该顶点出发的所有射线两两组成的符合要求的角；②找以某射线为边的角时，固定该射线，枚举和它共顶点的其他射线组成的符合要求的角；③找固定顶点和固定边的角时，同时固定顶点和边，枚举另一边即可，枚举时要按顺序，避免漏数、多数。
【解析】
（1）先确定以点B为顶点的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角，共3个，分别是射线BA和BC组成的$∠ ABC$、射线BA和BD组成的$∠ ABD$、射线BD和BC组成的$∠ DBC$。
（2）固定射线BA为边，其公共顶点为B，和BA共顶点的射线有BE、BC，可组成2个小于平角的角，分别是射线BA和BE组成的$∠ ABE$、射线BA和BC组成的$∠ ABC$。
（3）固定顶点为D、边为DC，和DC共顶点D的射线有DB、DE，可组成2个小于平角的角，分别是射线DC和DB组成的$∠ BDC$、射线DC和DE组成的$∠ EDC$。
【答案】
(1)以点B为顶点的角有3个,分别为$∠ABC,∠ABD,∠DBC$.
(2)以射线BA为边的角:$∠ABE,∠ABC$.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有2个,分别为$∠BDC,∠EDC$.
【知识点】
角的概念；角的表示；角的计数
【点评】
本题属于基础的角的识别类题目，解题核心是按照固定顶点或固定边的方法有序枚举，计数时注意题干中“所有角都是小于平角的角”的限制条件，避免多算不符合要求的角。
【难度系数】
0.8
解决这类角的识别与计数问题，首先要明确角的定义：由有公共顶点的两条射线组成的图形，且本题要求所有角均为小于平角的角。解题时采用“固定要素法”：①找以某点为顶点的角时，先固定该顶点，有序枚举从该顶点出发的所有射线两两组成的符合要求的角；②找以某射线为边的角时，固定该射线，枚举和它共顶点的其他射线组成的符合要求的角；③找固定顶点和固定边的角时，同时固定顶点和边，枚举另一边即可，枚举时要按顺序，避免漏数、多数。
【解析】
（1）先确定以点B为顶点的射线有BA、BD、BC共3条，两两组合形成小于平角的角，共3个，分别是射线BA和BC组成的$∠ ABC$、射线BA和BD组成的$∠ ABD$、射线BD和BC组成的$∠ DBC$。
（2）固定射线BA为边，其公共顶点为B，和BA共顶点的射线有BE、BC，可组成2个小于平角的角，分别是射线BA和BE组成的$∠ ABE$、射线BA和BC组成的$∠ ABC$。
（3）固定顶点为D、边为DC，和DC共顶点D的射线有DB、DE，可组成2个小于平角的角，分别是射线DC和DB组成的$∠ BDC$、射线DC和DE组成的$∠ EDC$。
【答案】
(1)以点B为顶点的角有3个,分别为$∠ABC,∠ABD,∠DBC$.
(2)以射线BA为边的角:$∠ABE,∠ABC$.
(3)以D为顶点,DC为一边的角有2个,分别为$∠BDC,∠EDC$.
【知识点】
角的概念；角的表示；角的计数
【点评】
本题属于基础的角的识别类题目，解题核心是按照固定顶点或固定边的方法有序枚举，计数时注意题干中“所有角都是小于平角的角”的限制条件，避免多算不符合要求的角。
【难度系数】
0.8
【例2】（1）将$31.24°$化为用度、分、秒表示的形式；
（2）将$38°37'12''$化成以度为单位的形式.
解:
【规律方法】
角的换算方法
（1）用度、分、秒表示角度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒.
（2）用度表示度、分、秒时，要利用$1''=(\frac{1}{60})'$，$1'=(\frac{1}{60})°$，先把秒化成分，再把分化成度.
|变式训练|
2.(1)用度、分、秒表示$36.62°$.
（2）把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$；②$33°24'36''$.
（2）将$38°37'12''$化成以度为单位的形式.
解:
【规律方法】
角的换算方法
（1）用度、分、秒表示角度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒.
（2）用度表示度、分、秒时，要利用$1''=(\frac{1}{60})'$，$1'=(\frac{1}{60})°$，先把秒化成分，再把分化成度.
|变式训练|
2.(1)用度、分、秒表示$36.62°$.
（2）把下列角转化成以度为单位的形式：
①$27°14'24''$；②$33°24'36''$.
答案
【例2】解:(1)$31°14'24''$.
(2)$38.62°$.
变式训练2.解:(1)$36°37'12''$.
(2)①$27.24°$. ②$33.41°$.
(2)$38.62°$.
变式训练2.解:(1)$36°37'12''$.
(2)①$27.24°$. ②$33.41°$.
解析
【分析】
解决角度单位换算问题的核心是牢记度、分、秒相邻单位间的进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$。①将度化为度、分、秒形式时，先取整数部分为度，再把度的小数部分乘60得到分，取分的整数部分后，将分的小数部分再乘60得到秒即可；②将度、分、秒化为度的形式时，先把秒除以60转化为分，加上原有分后再除以60转化为度，最后加上原有的度即可。
【解析】
【例2】
(1) 拆分$31.24°$，整数部分为$31°$，剩余$0.24°$。
将$0.24°$换算为分：$0.24×60' = 14.4'$，取整数部分$14'$，剩余$0.4'$。
将$0.4'$换算为秒：$0.4×60'' = 24''$。
因此$31.24°=31°14'24''$。
(2) 先把秒换算为分：$12'' = (12÷60)' = 0.2'$，加上原有$37'$得$37.2'$。
再把分换算为度：$37.2' = (37.2÷60)° = 0.62°$，加上原有$38°$得$38.62°$。
因此$38°37'12''=38.62°$。
---
变式训练2
(1) 拆分$36.62°$，整数部分为$36°$，剩余$0.62°$。
$0.62×60' = 37.2'$，取整数部分$37'$，剩余$0.2'$。
$0.2×60'' = 12''$。
因此$36.62°=36°37'12''$。
(2) ① 先把秒换算为分：$24''=(24÷60)'=0.4'$，加原有$14'$得$14.4'$。
再把分换算为度：$14.4'=(14.4÷60)°=0.24°$，加原有$27°$得$27.24°$。
② 先把秒换算为分：$36''=(36÷60)'=0.6'$，加原有$24'$得$24.6'$。
再把分换算为度：$24.6'=(24.6÷60)°=0.41°$，加原有$33°$得$33.41°$。
【答案】
【例2】(1)$31°14'24''$；(2)$38.62°$
变式训练2.(1)$36°37'12''$；(2)①$27.24°$；②$33.41°$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 角度单位互化
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题关键是牢记度、分、秒的60进制进率，注意大单位转小单位乘进率、小单位转大单位除以进率，避免和十进制换算混淆。
【难度系数】
0.8
解决角度单位换算问题的核心是牢记度、分、秒相邻单位间的进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$。①将度化为度、分、秒形式时，先取整数部分为度，再把度的小数部分乘60得到分，取分的整数部分后，将分的小数部分再乘60得到秒即可；②将度、分、秒化为度的形式时，先把秒除以60转化为分，加上原有分后再除以60转化为度，最后加上原有的度即可。
【解析】
【例2】
(1) 拆分$31.24°$，整数部分为$31°$，剩余$0.24°$。
将$0.24°$换算为分：$0.24×60' = 14.4'$，取整数部分$14'$，剩余$0.4'$。
将$0.4'$换算为秒：$0.4×60'' = 24''$。
因此$31.24°=31°14'24''$。
(2) 先把秒换算为分：$12'' = (12÷60)' = 0.2'$，加上原有$37'$得$37.2'$。
再把分换算为度：$37.2' = (37.2÷60)° = 0.62°$，加上原有$38°$得$38.62°$。
因此$38°37'12''=38.62°$。
---
变式训练2
(1) 拆分$36.62°$，整数部分为$36°$，剩余$0.62°$。
$0.62×60' = 37.2'$，取整数部分$37'$，剩余$0.2'$。
$0.2×60'' = 12''$。
因此$36.62°=36°37'12''$。
(2) ① 先把秒换算为分：$24''=(24÷60)'=0.4'$，加原有$14'$得$14.4'$。
再把分换算为度：$14.4'=(14.4÷60)°=0.24°$，加原有$27°$得$27.24°$。
② 先把秒换算为分：$36''=(36÷60)'=0.6'$，加原有$24'$得$24.6'$。
再把分换算为度：$24.6'=(24.6÷60)°=0.41°$，加原有$33°$得$33.41°$。
【答案】
【例2】(1)$31°14'24''$；(2)$38.62°$
变式训练2.(1)$36°37'12''$；(2)①$27.24°$；②$33.41°$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 角度单位互化
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，解题关键是牢记度、分、秒的60进制进率，注意大单位转小单位乘进率、小单位转大单位除以进率，避免和十进制换算混淆。
【难度系数】
0.8
